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- 2021-04-27 发布
屯溪一中高二年级开学考试数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知是奇函数，当时，当时，等于
A. B. C. D.
2. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是
A. B. C. D.
3. 已知，，，则
A. B. C. D.
4. 若向量，满足，，，则与的夹角为
A. B. C. D.
5. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为
A. B. C. 2 D. 1
6. 已知等比数列中，，，则
A. 3 B. 15 C. 48 D. 63
7. 已知是锐角，，且，则为
A. B. C. 或 D. 或
8. 的图象为
A. B.
C. D.
9. 已知函数，若在区间上取一个随机数，则的概率是
A. B. C. D.
1. 若，，且，则的最小值是
A. 2 B. C. D.
2. 设x，y满足约束条件则的取值范围是
A. B. C. D.
3. 已知函数满足：，且当时，，那么方程的解的个数为
A. 1个 B. 8个 C. 9个 D. 10个
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
4. 已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值为______ ．
5. 已知向量，，则在方向上的投影等于______．
6. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则 ______ ．
7. 数列1，的前n项和为，则正整数n的值为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
8. 已知等差数列的前n项和为，，．
求；
设数列的前n项和为，证明：．
1. 已知函数．
求的最小正周期；
求图象的对称轴方程和对称中心的坐标．
2. 20名学生某次数学考试成绩单位：分的频率分布直方图如图：Ⅰ求频率分布直方图中a的值；Ⅱ分别求出成绩落在与中的学生人数；Ⅲ从成绩在的学生任选2人，求此2人的成绩都在中的概率．
1. 已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足．
求角A的大小；
若，，求的面积．
1. 已知函数，且时，总有成立．
求a的值；
判断并证明函数的单调性；
求在上的值域．
2. 设函数，其中．
若，求函数在区间上的取值范围；
若
，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．
若对任意的，，都有，求t的取值范围．
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知是奇函数，当时，当时，等于
A. B. C. D.
解：当时，，
则．
又是R上的奇函数，所以当时．
故选项A正确．
2. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是
A. B. C. D.
解：是偶函数，，
不等式等价为，
在区间单调递增，
，解得．
故选：A．
3. 已知，，，则
A. B. C. D.
解：，
，
，
综上可得：，
故选：A．
4. 若向量，满足，，，则与的夹角为
A. B. C. D.
解：设与的夹角为，，
，，，
，，，
故选：C．
1. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为
A. B. C. 2 D. 1
解：数是上的偶函数，且对于，都有，
又当时，，
，
故选D．
2. 已知等比数列中，，，则
A. 3 B. 15 C. 48 D. 63
解：，，
，
，
．
故选C．
3. 已知是锐角，，且，则为
A. B. C. 或 D. 或
解：根据题意，，
若，则有，
即有，
又由是锐角，则有，
即或，
则或，
故选C．
1. 的图象为
A. B.
C. D.
可知函数的定义域为：或，函数的图象关于对称．
由函数的图象，可知，A、B、D不满足题意．
故选：C．
2. 已知函数，若在区间上取一个随机数，则的概率是
A. B. C. D.
令，可得或，则，或，时，．所求概率为．故选C．
1. 若，，且，则的最小值是
A. 2 B. C. D.
解：
当且仅当时，等号成立故选D
2. 设x，y满足约束条件则的取值范围是
A. B. C. D.
解：x，y满足约束条件的可行域如图：
目标函数，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，
由解得，
由解得，
目标函数的最大值为：2，最小值为：，
目标函数的取值范围：．
故选：B．
3. 已知函数满足：，且当时，，那么方程的解的个数为
A. 1个 B. 8个 C. 9个 D. 10个
解：函数满足：，
是周期为2的周期函数，
当时，，
作出和两个函数的图象，如下图：
结合图象，得：方程的解的个数为10个．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
1. 已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值为______ ．
解：因为集合有且只有一个元素，
当时，只有一个解，
当时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，即即．
所以实数或．
2. 已知向量，，则在方向上的投影等于______．
解：根据投影的定义可得：在方向上的投影为，．
故答案为：
3. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则 ______ ．
解：，
或 当时，，，，
由正弦定理可得， 则 当时，，与三角形的内角和为矛盾
故答案为：1
1. 数列1，的前n项和为，则正整数n的值为______ ．
解：由题意可知，数列的通项
故答案为9
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
2. 已知等差数列的前n项和为，，．
求；
设数列的前n项和为，证明：．
解：设等差数列的公差为d，
，
，，
，
；
证明：，
则
．
1. 已知函数．
求的最小正周期；
求图象的对称轴方程和对称中心的坐标．
解：函数
，
的最小正周期为；
函数，
令，，
解得，，
图象的对称轴方程为：，；
再令，，
解得，，
图象的对称中心的坐标为，．
2. 20名学生某次数学考试成绩单位：分的频率分布直方图如图：Ⅰ求频率分布直方图中a的值；Ⅱ分别求出成绩落在与中的学生人数；Ⅲ从成绩在的学生任选2人，求此2人的成绩都在中的概率．
解：Ⅰ根据直方图知组距，由，解得．Ⅱ成绩落在中的学生人数为，
成绩落在中的学生人数为．Ⅲ记成绩落在中的2人为A，B，成绩落在中的3人为C，D，E，则成绩在的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，
其中2人的成绩都在中的基本事件有CD，CE，DE共3个，
故所求概率为．
1. 已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足．
求角A的大小；
若，，求的面积．
解：，可得：，
由余弦定理可得：，
又，
由及正弦定理可得：，
，，由余弦定理可得：，
解得：，，
2. 已知函数，且时，总有成立．
求a的值；
判断并证明函数的单调性；
求在上的值域．
解：，，即，，．
函数为R上的减函数，
的定义域为 R，
任取，，且，
，．
即
函数为 R 上的减函数．
由知，函数在上的为减函数，
，
即，
即函数的值域为
1. 设函数，其中．
若，求函数在区间上的取值范围；
若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．
若对任意的，，都有，求t的取值范围．
解：因为，
所以在区间上单调减，在区间上单调增，且对任意的，都有，
若，则．
当时单调减，从而最大值，最小值．
所以的取值范围为；
当时单调增，从而最大值，最小值．
所以的取值范围为；
所以在区间上的取值范围为 分
“对任意的，都有”等价于“在区间上，”．
若，则，
所以在区间上单调减，在区间上单调增．
当，即
时，
由，得，
从而 ．
当，即时，由，得，
从而．
综上，a的取值范围为区间 分
设函数在区间上的最大值为M，最小值为m，
所以“对任意的，，都有”等价于“”．
当时，，．
由，得．
从而 ．
当时，，．
由，得
．
从而 ．
当时，，．
由，得．
从而 ．
当时，，．
由，得．
从而 ．
综上，t的取值范围为区间