2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第1章 章末综合提升 16页

www.ks5u.com ‎[巩固层·知识整合] ‎ ‎[提升层·题型探究]‎ ‎(教师独具)‎ 空间向量的线性运算和数量积 ‎【例1】　(1)如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．‎ ‎(2)已知正四面体OABC的棱长为1，如图．求：‎ ‎①·；‎ ‎②(＋)·(＋)；‎ ‎③|＋＋|.‎ ‎[思路探究]　(1)利用向量共线定理证明．‎ ‎(2)利用数量积的定义及运算法则进行．‎ ‎[解]　(1)证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴＝，＝.‎ 则＝－＝－＝(－)＝.‎ ‎∵＝－＝－＝(－)＝，‎ ‎∴∥且||＝||≠||.‎ 又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形．‎ ‎(2)在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1.‎ ‎〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°.‎ ‎①·＝||||·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.‎ ‎②(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋)·(－＋－)‎ ‎＝(＋)·(＋－2)‎ ‎＝＋2·－2·＋2－2O· ‎＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1.‎ ‎③|＋＋|＝＝＝.‎ ‎1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．‎ ‎2．空间向量的数量积 ‎(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，‎ b〉＝是两个重要公式．‎ ‎(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影＝|a|·cos θ等．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1.如图，已知ABCDA′B′C′D′是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝α＋β＋γ，则α＋β＋γ＝________.‎ 　[连接BD，则M为BD的中点，‎ ＝＋＝＋＝(＋)＋‎ (＋)＝(－＋)＋(＋)‎ ‎＝＋＋.‎ ‎∴α＝，β＝，γ＝.‎ ‎∴α＋β＋γ＝.]‎ 空间向量基本定理 ‎【例2】　(1)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为(　　)‎ A．0　　　B．　　　C．9　　　D． ‎(2)如图，已知空间四边形OABC，对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量，，表示向量.‎ ‎(1)D　[∵a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，‎ ‎∴a与b不平行，且a，b，c三个向量共面，‎ ‎∴存在实数X，Y，使得c＝Xa＋Yb，‎ 即解得λ＝.]‎ ‎(2)[解]　＝＋＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋ ‎＝＋(＋)－ ‎＝＋＋.‎ 基底的判断方法 判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.‎ ‎(1)试用a，b，c表示向量；‎ ‎(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．‎ ‎[解]　(1)＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.‎ ‎(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，‎ ‎∴|a＋b＋c|＝，∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝.‎ 空间向量的坐标表示 ‎【例3】　(1)已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．‎ ‎(2)已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．‎ ‎①当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；‎ ‎②当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．‎ ‎[思路探究]　(1)利用|a|＝构建函数关系，再利用二次函数求最小值；‎ ‎(2)利用向量共线和垂直的充要条件，由坐标运算求解．‎ ‎(1)　[由已知，得 b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)．‎ ‎∴|b－a|＝ ‎＝＝.‎ ‎∴当t＝时，|b－a|的最小值为.]‎ ‎(2)[解]　①∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，‎ ‎∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．‎ ‎∵(λa＋b)∥(a－3b)，‎ ‎∴＝＝，‎ 解得λ＝－.‎ ‎②∵(a－3b)⊥(λa＋b)，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝.‎ 熟记空间向量的坐标运算公式 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，‎ ‎(1)加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．‎ ‎(2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.‎ ‎(3)向量夹角：cos〈a，b〉＝.‎ ‎(4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，‎ 则||＝.‎ ‎(5)a∥b⇔x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.‎ 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎3．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时Q的坐标为(　　)‎ A． B． C． D． C　[设＝λ，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝OB－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2.‎ 所以当λ＝时，·最小，此时＝＝，即点Q的坐标为.]‎ 利用空间向量证明平行、垂直问题 ‎【例4】　在四棱锥PABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．‎ ‎(1)求证：BM∥平面PAD；‎ ‎(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎[思路探究]　(1)证明向量垂直于平面PAD的一个法向量即可；‎ ‎(2)假设存在点N，设出其坐标，利用⊥，⊥，列方程求其坐标即可．‎ ‎[解]　(1)证明：以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1，1,1)，‎ ‎∴＝(0,1,1)，‎ 平面PAD的一个法向量为n＝(1,0,0)，‎ ‎∴·n＝0，即⊥n，‎ 又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD.‎ ‎(2)＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)，‎ 假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.‎ 设N(0，y，z)，则＝(－1，y－1，z－1)，‎ 从而MN⊥BD，MN⊥PB，‎ ‎∴即 ‎∴∴N，∴在平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.‎ 利用空间向量证明空间中的位置关系 线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.‎ 线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.‎ 线面平行 ‎①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；‎ ‎②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；‎ ‎③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.‎ 线面垂直 ‎①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；‎ ‎②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.‎ 面面平行 ‎①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；‎ ‎②转化为线面平行、线线平行问题.‎ 面面垂直 ‎①证明两个平面的法向量互相垂直；‎ ‎②转化为线面垂直、线线垂直问题.‎ ‎[跟进训练]‎ ‎4.如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：‎ ‎(1)MN∥平面PAD；‎ ‎(2)平面PMC⊥平面PDC.‎ ‎[证明]　(1)如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA＝AD＝a，AB＝b.‎ P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)．‎ 因为M，N分别为AB，PC的中点，‎ 所以M，N.‎ 所以＝，又＝(0,0，a)，‎ ＝(0，a,0)，‎ 所以＝＋.‎ 又因为MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.‎ ‎(2)由(1)可知P(0,0，a)，C(b，a,0)，M，D(0，a,0)．‎ 所以＝(b，a，－a)，＝，‎ ＝(0，a，－a)．‎ 设平面PMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 则故 所以 令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b) .‎ 设平面PDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，‎ 则故 所以 令z2＝1，则n2＝(0,1,1)．‎ 因为n1·n2＝0－b＋b＝0，所以n1⊥n2.‎ 所以平面PMC⊥平面PDC.‎ 用空间向量求空间角和空间距离 ‎[探究问题]‎ ‎1．用法向量求直线与平面所成的角时，直线的方向向量和平面的法向量的夹角与线面角有什么关系？‎ ‎[提示]　不是线面角，而是它的余角(或补角的余角)，即设线面角为θ，直线与平面的法向量的夹角为〈a，n〉，则θ＝－〈a，n〉(〈a，n〉为锐角)或θ＝〈a，n〉－(〈a，n〉为钝角)．应注意到线面角为锐角或直角．‎ ‎2．平面与平面的夹角一定是锐角吗？‎ ‎[提示]　不一定，可以是锐角，也可以是直角．‎ ‎【例5】　长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求：‎ ‎(1)M到直线PQ的距离；‎ ‎(2)M到平面AB1P的距离．‎ ‎[解]　如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)．‎ ‎(1)∵＝(－2，－3,2)，＝(－4，－2，－2)，‎ ‎∴在上的射影的模＝＝ ‎＝＝.‎ 故M到PQ的距离为＝＝.‎ ‎(2)设n＝(x，y，z)是平面AB1P的某一法向量，则n⊥，n⊥，‎ ‎∵＝(－4,0,4)，＝(－4,4,0)，∴ 因此可取n＝(1,1,1)，由于＝(2，－3，－4)，那么点M到平面AB1P的距离为d＝＝＝，故M到平面AB1P的距离为.‎ ‎1．本例中，把条件“∠BAD＝120°”改为“∠BAD＝90°，且PA＝1”，其它条件不变，求点A到平面PCB的距离．‎ ‎[解]　如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，C(1,1,0)，B(0,2,0)，‎ ‎∴＝(0,0,1)，＝(0，－2,1)，＝(1，－1,0)．‎ 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即.‎ 令y＝1，则x＝1，z＝2.‎ ‎∴n＝(1,1,2)，∴A点到平面PCB的距离为 d＝＝＝.‎ ‎2．在本例条件中加上“PA＝1”，求直线PA与平面PCB所成角．‎ ‎[解]　根据题目所建立的平面直角坐标系可知A(0,0,0)，P(0,0,1)，C，B(0,2,0)，‎ ‎∴＝(0,0,1)，＝ ＝(0，－2,1)，‎ 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，‎ ‎∴令y＝1，则 m＝(，1,2)，设PA与平面PCB的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝，∴θ＝45°.‎ 故直线PA与平面PBC所成的角为45°.‎ 用向量法求空间角的注意点 ‎(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．‎ ‎(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－或者－〈n，a〉．‎ ‎(3)平面与平面的夹角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补．‎ ‎[培优层·素养升华]‎ ‎【例】　如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．‎ ‎(1)证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎(2)若点M在棱BC上，且二面角M—PA—C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．‎ ‎[思路探究]　(1)首先利用等腰三角形的性质可得PO⊥AC，利用勾股定理可证得PO⊥OB，然后结合线面垂直的判定定理即可证得结果；(2)根据(1)中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出点M(含有参数)的坐标，根据已知条件求得此参数，然后求解即可．‎ ‎[解]　(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.‎ 如图，连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，‎ 且OB⊥AC，OB＝AC＝2.‎ 由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.‎ 由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)如图以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.‎ 由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，＝(0,2,2)．取平面PAC的一个法向量＝(2,0,0)．‎ 设M(a,2－a,0)(0＜a≤2)，则＝(a,4－a,0)．‎ 设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．‎ 由·n＝0，·n＝0得 取y＝a，则z＝－a，x＝(a－4)，可得n＝((a－4)，a，－a)为平面PAM的一个法向量，‎ 所以cos〈，n〉＝.‎ 由已知可得|cos〈，n〉|＝，‎ 所以＝，‎ 解得a＝，所以n＝.‎ 又＝(0,2，－2)，‎ 所以cos〈，n〉＝.‎ 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.‎ 利用向量方法求空间角问题是每年高考的热点问题，无论是二面角、直线与平面所成的角，还是异面直线所成的角，最终都利用空间向量的夹角公式来求解．不同的是求二面角时，所取的两个向量为两个平面的法向量；求直线与平面所成的角时，所取的向量为直线的方向向量与平面的法向量；求异面直线所成的角时，则只需取两条直线的方向向量即可．‎ ‎[跟进训练]‎ 如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.‎ ‎(1)证明：BE⊥平面EB1C1；‎ ‎(2)若AE＝A1E，求二面角BECC1的正弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.‎ 又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，‎ 所以BE⊥平面EB1C1.‎ ‎(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.‎ 以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，‎ E(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(1，－1,1)，＝(0,0,2)．‎ 设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 所以可取n＝(0，－1，－1)．‎ 设平面ECC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则 即 所以可取m＝(1,1,0)．‎ 于是cos〈n，m〉＝＝－.‎ 所以，二面角BECC1的正弦值为.‎