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- 2021-04-27 发布
第四节 直线、平面平行的判定及其性质
[考纲传真] (教师用书独具)1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
(对应学生用书第99页)
[基础知识填充]
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
∵l∥a,
a⊂α,l⊄α,
∴l∥α
性质
定理
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
∵l∥α,
l⊂β,
α∩β=b,
∴l∥b
2. 面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
∵a∥β,b∥β,
a∩b=P,
a⊂α,b⊂α,
∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
∵α∥β,
α∩γ=a,
β∩γ=b,
∴a∥b
[知识拓展]
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β;
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b;
(3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
(4)两个平面平行,则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行,即α∥β,m⊂α,则m∥β.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.( )
(2)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( )
(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.( )
(4)若两个平面平行,则一个平面内的直线与另一个平面平行.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(教材改编)下列命题中,正确的是( )
A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行
C.若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b
D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α
D [根据线面平行的判定与性质定理知,选D.]
3.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β ”是“α∥β ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
B [当m∥β时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥βα∥β;当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为m⊂α,所以m∥β.综上知,“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件.]
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系是________.
平行 [如图所示,连接BD交AC于F,连接EF,则EF是△BDD1的中位线,
∴EF∥BD1,
又EF⊂平面ACE,
BD1⊄平面ACE,
∴BD1∥平面ACE.]
5.(2017·河北石家庄质检)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若m⊂α,n∥α,则m∥n;
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;
③若α∩β=n,m∥n,m∥α,则m∥β;
④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.
其中是真命题的是________(填上序号). 【导学号:79170247】
② [①,m∥n或m,n异面,故①错误;易知②正确;③,m∥β或m⊂β,故③错误;④,α∥β或α与β相交,
故④错误.]
(对应学生用书第100页)
与线、面平行相关命题真假的判断
(2017·全国卷Ⅰ)在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是
( )
A [A项,作如图①所示的辅助线,其中D为BC的中点,则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ=Q,∴QD与平面MNQ相交,
∴直线AB与平面MNQ相交.
B项,作如图②所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,∴AB∥MQ.
又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.
C项,作如图③所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,∴AB∥MQ.
又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.
D项,作如图④所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥NQ,∴AB∥NQ.
又AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.
故选A.]
[规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项.
2.(1)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情形,通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
[变式训练1] (1)(2018·唐山模拟)若m,n表示不同的直线,α,β表示不同的平面,则下列结论中正确的是( ) 【导学号:79170248】
A.若m∥α,m∥n,则n∥α
B.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β
C.若α⊥β,m∥α,n∥β,则m∥n
D.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥β
(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,给出下列四个推断:
①FG∥平面AA1D1D;②EF∥平面BC1D1;
③FG∥平面BC1D1;④平面EFG∥平面BC1D1
其中推断正确的序号是( )
图741
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
(1)D (2)A [(1)在A中,若m∥α,m∥n,则n∥α或n⊂α,故A错误.在B中,若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α与β相交或平行,故B错误.在C中,若α⊥β,m∥α,n∥β,则m与n相交、平行或异面,故C错误.在D中,若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则由线面平行的判定定理得n∥β,故D正确.
(2)∵在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,
∴FG∥BC1,∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1,
∵FG⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,∴FG∥平面AA1D1D,故①正确;
∵EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,∴EF与平面BC1D1相交,故②错误;
∵E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,
∴FG∥BC1,∵FG⊄平面BC1D1,BC1⊂平面BC1D1,
∴FG∥平面BC1D1,故③正确;
∵EF与平面BC1D1相交,∴平面EFG与平面BC1D1相交,故④错误.]
直线与平面平行的判定与性质
(2016·南通模拟)如图742所示,斜三棱柱ABCA1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.
(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1;
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.
图742
[解] (1)如图所示,取D1为线段A1C1的中点,此时=1. 2分
连接A1B,交AB1于点O,连接OD1.
由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形,
∴点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
∴OD1∥BC1. 4分
又∵OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当=1时,BC1∥平面AB1D1. 6分
(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O得
BC1∥D1O, 8分
同理AD1∥DC1,∴=,
=,又∵=1,
∴=1,即=1. 12分
[规律方法] 1.判断或证明线面平行的常用方法有:
(1)利用反证法(线面平行的定义);
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α);
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);
(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
2.利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
[变式训练2] (2018·西安模拟)如图743,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,CD=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点,设F是棱AB的中点,证明:直线EE1∥平面FCC1;
【导学号:79170249】
图743
[证明] 法一:取A1B1的中点为F1,连接FF1,C1F1,
由于FF1∥BB1∥CC1,所以F1∈平面FCC1,因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连接A1D,F1C,由于A1F1綊D1C1綊CD,所以四边形A1DCF1为平行四边形,因此A1D∥F1C.
又EE1∥A1D,得EE1∥F1C,而EE1⊄平面FCC1,F1C⊂平面FCC1,故EE1∥平面FCC1.
法二:因为F为AB的中点,CD=2,AB=4,AB∥CD,所以CD綊AF,因此
四边形AFCD为平行四边形,所以AD∥FC.又CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC⊂平面FCC1,CC1⊂平面FCC1,所以平面ADD1A1∥平面FCC1,又EE1⊂平面ADD1A1,所以EE1∥平面FCC1.
平面与平面平行的判定与性质
如图744所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
图744
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[证明] (1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
∴GH是△A1B1C1的中位线,GH∥B1C1. 2分
又∵B1C1∥BC,
∴GH∥BC,
∴B,C,H,G四点共面. 5分
(2)在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG. 7分
∵A1G綊EB,
∴四边形A1EBG是平行四边形,
则A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG. 10分
∵A1E∩EF=E,
∴平面EFA1∥平面BCHG. 12分
[母题探究] 在本例条件下,若点D为BC1的中点,求证:HD∥平面A1B1BA.
[证明] 如图所示,连接HD,A1B,
∵D为BC1的中点,H为A1C1的中点,
∴HD∥A1B. 5分
又HD⊄平面A1B1BA,
A1B⊂平面A1B1BA,
∴HD∥平面A1B1BA. 12分
[规律方法] 1.判定面面平行的主要方法:
(1)面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行的性质定理的作用:
(1)判定线面平行;(2)判断线线平行.
线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想.解题时要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.
线线平行线面平行面面判定定理性质定理平行
易错警示:利用面面平行的判定定理证明两平面平行时,需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.
[变式训练3] (2016·山东高考)在如图745所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.
(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB;
(2)已知G,H分别是EC和FB的中点,求证:GH∥平面ABC.
图745
[证明] (1)因为EF∥DB,
所以EF与DB确定平面BDEF. 2分
如图①,连接DE.
①
因为AE=EC,D为AC的中点,
所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF. 4分
因为FB⊂平面BDEF,所以AC⊥FB. 5分
(2)如图②,设FC的中点为I,连接GI,HI.
②
在△CEF中,因为G是CE的中点,
所以GI∥EF. 8分
又EF∥DB,所以GI∥DB.
在△CFB中,因为H是FB的中点,
所以HI∥BC.又HI∩GI=I,
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC. 12分