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密 封 线 内 不 准 答 题
昆明黄冈实验学校2016-2017学年度上学期期中考试
高二理科 数学试卷
第Ⅰ部分 选择题
一． 选择题（共12小题，每小题5分，共60分。每个小题的四个选项中只有一个选项符合题目要求）
1．已知命题：，总有，则￢为（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，总有 D．，总有
2．“若，则全为”的逆否命题是（ ）
A．若，全不为，则
B．若，不全为，则
C．若，不全为，则
D．若，全为，则
3．如图1，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第4题图 图2
4．根据如图2的框图，当输入为6时，输出的（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
5．函数的零点所在区间是（ ）
A．（，1） B．（1，e﹣1） C．（e﹣1，2） D．（2，e）
第3题图 图1
6．已知点，则线段MN的垂直平分线方程为（ ）
A． B．C． D．
第7题图 图3
7．如图3，在□中，，点在边上，且，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
8．光线从点射到轴上的B点后，被轴反射，这时反射光线恰好过点，则光线BC所在直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
第9题图 图4
9．如右图4所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
10．已知函数，若，则 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为与，则（ ）
A．的最小正周期为，且在上为单调递增函数
B．的最小正周期为，且在上为单调递减函数
C．的最小正周期为， 且在上为单调递增函数
D．的最小正周期为， 且在上为单调递减函数
12．已知点，直线与线段相交，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ部分 非选择题
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）
13．“”是“”的 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
14．已知是上的一个随机数，则使满足的概率为 ．
15．函数的单调递减区间为 ．
16．若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是 ．
三．解答题（共6小题，17题10分，18题-22题每小题各12分，共70分；写出必要的解答、证明或计算过程，只写出结果不得分.）
17．已知：，：.
（1）若￢是￢的充分不必要条件，求的取值范围；
（2）若，且假真，求的取值范围．
18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．求证：
（1） EF∥平面A1BC1；
（2） 平面AEF⊥平面BCC1B1．
19．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．
（1）求和的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
20．已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线经过点（2，﹣2），且与圆C相交所得弦长为，求直线的方程．
21．已知，满足.
（1） 将表示为的函数，求函数的最小正周期；
（2） 已知分别为的三个内角对应的边长，的最大值是，且，求的取值范围.
22．设数列的前项和为，已知．
（1）求的通项公式；
（2）若数列，满足，求的前项和．
昆明黄冈实验学校2016-2017学年度上学期期中考试
高二理科数学 参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
B
C
B
D
C
B
D
B
B
B
C
C
1.解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，
故选：B．
2.解：依题意得，原命题的题设为若x2+y2=0，结论为则x，y全为零．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2+y2≠0，故选C．
3.解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2
由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形，由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3
此棱锥的体积为=2故选B．
4.解：模拟执行程序框图，可得
x=6
x=3
满足条件x≥0，x=0
满足条件x≥0，x=﹣3
不满足条件x≥0，y=10
输出y的值为10．故选：D．
5.解：∵f（e﹣1）=lne﹣=1﹣=＜0，
f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，
∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是 （e﹣1，2），
故选C．
6.解：由中点坐标公式可得M，N的中点为（1，4），
可得直线MN的斜率为k===﹣1，
由垂直关系可得其垂直平分线的斜率为k′=1，
故可得所求直线的方程为：y﹣4=1×（x﹣1），
化为一般式可得x﹣y+3=0故选B．
7. 解：根据题意及图形，
故选D
8.解：点A关于x轴的对称点为A′（﹣2，﹣），
A′在直线BC上，
∴直线BC的斜率是
kBC===；
∴直线BC的倾斜角是．
故选：B．
9.解：将其还原成正方体ABCD﹣PQRS，连接SC，AS，则PB∥SC，
∴∠ACS（或其补角）是PB与AC所成的角
∵△ACS为正三角形，
∴∠ACS=60°
∴PB与AC所成的角是60°
故选B．
10.解：设k=，则k的几何意义为图象f（x）上的点（x，y）与原点的斜率，
作出函数f（x）的图象，
当0＜c＜b＜a时，
由图象知k0C＞k0B＞k0A，
即＞＞，
故选：B．
11.解：∵f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）
=sin（ωx+φ﹣）（ω＞0，|φ|＜2π），
∵图象相邻的两条对称轴方程为x=0与x=，
∴T=π，∴ω=2，
∵对称轴方程为x=0，
∴f（0）=或f（0）=﹣，
sin（φ﹣）=1或﹣1，
∵|φ|＜，∴φ=﹣，
∴f（x）=sin（2x﹣），
∴f（x）的最小正周期为π，
当x∈（0，）时，2x﹣∈（﹣，），
且在（0，）上为单调递增．
故选：C
12.解：由已知有，作出可行域，
令，则d的几何意义为平面区域内的点到点（1，0）的距离，
由图象可知d的最小值为点（1，0）到直线a-3b+1=0的距离，此时，
∴的最小值为，故选C.
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分。）
13.
充分不必要
14.
15.
16.
13.解：∵α=30⇒sinα=0.5，又当sinα=0.5时，α=+kπ，
∴sinα=0.5推不出α=30°，
∴α=30°是“sinα=0.5”的充分不必要条件，
故答案为充分不必要条件．
14.解：x对应的所有结果构成的区间长度是4﹣（﹣4）=8
∵x2+x﹣2＜0∴﹣2＜x＜1
∴满足x2+x﹣2＜0的x构成的区间长度是1﹣（﹣2）=3
由几何概型概率公式得P=，故答案为
15.解：由于函数=﹣sin（2x﹣），本题即求函数t=sin（2x﹣）的增区间．
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得 kπ﹣≤x≤kπ+，
故函数的单调递减区间为kπ﹣，kπ+]，
故答案为kπ﹣，kπ+]，k∈z．
16.解：当01时，y＝|ax－1|的图象如图(2)，由已知得0<2a<1，此时无解．
综上可知a的取值范围是(0，)．
三． 解答题（共6小题，17题--21题每小题各12分，第22题10分，共70分）
17.
解：解不等式得：或，；........................2分
（1）∵¬p是¬q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，.......................................................................................3分
∴不等式2x2+9x﹣18＜0的解集是的解集的子集，
∴或，.....................................................................................5分
即a≥3或a≤﹣，....................................................................................................6分
（2）当a=1时，或，...................................................................7分
则，，...............................................................8分
∴p假q真时x的范围是．.....................................................................10分
18.
证明：（1）因为E，F分别是BC，CC1的中点，
所以EF∥BC1．.........................................................2分
又因为BC1⊂平面A1BC1，EF⊄平面A1BC1，
所以EF∥平面A1BC1．...........................................6分
（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC．
又AE⊂平面ABC，
所以AE⊥BB1．..................................................................8分
又因为△ABC为正三角形，E为BC的中点，
所以AE⊥BC．
又BB1∩BC=B，所以AE⊥平面BCC1B1．...........................10分
又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面BCC1B1．..............12分
19.解：（1）∵甲班学生的平均分是85，
∴，
∴x=5，.....................................................................2分
∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；.....................................4分
（2）甲班7位学生成绩的方差为s2==40；..........6分
（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），
（B，C），（B，D），（B，E），
（C，D），（C，E），
（D，E）...........................................................................................................................8分
其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），
（B，D），（B，E）．..............................................................................................................9分
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
甲班至少有一名学生”为事件M，则．............................................................11分
答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．...................12分
20.解：（1）设圆C的圆心坐标为（a，a），
依题意，有，....................................2分
即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，....................................................................................4分
所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，
所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．..............................................................6分.
（2）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，
所以直线x=2符合题意．................................................................................................8分
设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，
则，解得，
所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2=0．...........................................10分
综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．..............................................................12分
21.
22.解：（1）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，...........................2分
当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，
此时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1，..................................4分
所以an=．..................................................................................6分
（2）因为anbn=log3an，所以b1=，当n＞1时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，
所以T1=b1=；................................................................8分
当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），
所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），
两式相减得：2Tn=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n=﹣，
所以Tn=﹣，......................................10分
经检验，n=1时也适合，
综上可得Tn=﹣．.........................................................................12分