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- 2021-04-27 发布
课时作业(三十) [第30讲 等差数列]
[时间：45分钟 分值：100分]
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差为( )
A．7 B．6 C．3 D．2
2． 等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a6＋a7＝( )
A．21 B．28 C．32 D．35
3． 已知数列{an}是等差数列，若a1＋a5＋a9＝2π，则cos(a2＋a8)＝( )
A．－ B．－
C. D.
4． 已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
5． 数列{an}满足a1＝1，a2＝，且＋＝(n≥2)，则an等于( )
A. B.
C.n D.n－1
6． 已知等差数列{an}满足a3＋a13－a8＝2，则{an}的前15项和S15＝( )
A．10 B．15
C．30 D．60
7． 在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋…＋a7，则k＝( )
A．21 B．22
C．23 D．24
8． 已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列是等差数列，则a11等于( )
A．－ B.
C. D．5
9．已知数列{an}满足an＋1＝an＋1(n∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝18，则log3(a5＋a7＋a9)的值为( )
A．－3 B．3 C．2 D．－2
10． Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.
11． 已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，则a36＝________.
12． 已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a3n，则数列{bn}的前9项和等于________．
13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18的值为________．
14．(10分) 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
15．(13分)在数列{an}中，a1＝4，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线y＝x－2上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{bn}的前n项和b1＋b2＋…＋bn＝an，试比较an与bn的大小．
16．(12分)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．
课时作业(三十)
【基础热身】
1．C [解析] S2＝2a1＋d＝4，S4＝4a1＋6d＝20，解得d＝3.故选C.
2．B [解析] 因为2a4＝a3＋a5，所以3a4＝12，即a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a6＋a7＝7a4＝28.故选B.
3．A [解析] 由已知得a5＝，而a2＋a8＝2a5＝，所以cos(a2＋a8)＝－.故选A.
4．110 [解析] 设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得，解之得a1＝20，
d＝－2，∴S10＝10×20＋×(－2)＝110.
【能力提升】
5．A [解析] 解法1(直接法)：由＋＝(n≥2)，得数列是等差数列，其首项＝1，公差d＝－＝－1＝，∴＝1＋(n－1)·＝，则an＝，故选A.
解法2(特值法)：当n＝1时，a1＝1，排除B，C；当n＝2时，＋＝，∴a3＝，排除D，故选A.
6．C [解析] 由a3＋a13－a8＝2，得2a8－a8＝2，所以a8＝2，所以S15＝＝15a8＝30.故选C.
7．B [解析] 由已知等式得(k－1)d＝，所以k－1＝21，即k＝22.故选B.
8．B [解析] 设的公差为d，则有＝＋4d，解得d＝，所以＝＋8d，即＝＋，解得a11＝.故选B.
9．B [解析] 因为{an}是等差数列，公差为1，且a2＋a4＋a6＝18，所以a5＋a7＋a9＝27，所以所求值为3.故选B.
10．－1 [解析] 由S2＝S6，得2a1＋d＝6a1＋d解得4(a1＋3d)＋2d＝0，即2a4＋d＝0，所以a4＋(a4＋d)＝0，即a5＝－a4＝－1.
11．4 [解析] 因为对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，
所以an＋1－an＝a1＝，数列{an}是以a1＝为首项，公差为的等差数列，故a36＝＋(36－1)×＝4.
12．405 [解析] 由⇒所以an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝a3n＝9n，数列{bn}的前9项和为S9＝×9＝405.
13．3 [解析] 由题意知：an＋an＋1＝5，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，…，a18＝3.
14．[解答] (1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3.
解得d＝－2.
从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n.
所以Sn＝＝2n－n2.
进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.
即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N*，故k＝7为所求．
15．[解答] (1)因为点(，)在直线y＝x－2上，
所以＝＋2，即数列{}是以＝2为首项，以d＝2为公差的等差数列．
所以＝2＋2(n－1)＝2n，
所以an＝4n2.
(2)方法一：因为b1＋b2＋…＋bn＝an，所以当n≥2时，bn＝an－an－1＝4n2－4(n－1)2＝8n－4，
当n＝1时，b1＝a1＝4，满足上式．所以bn＝8n－4，
所以an－bn＝4n2－(8n－4)＝4(n－1)2≥0，所以an≥bn.
方法二：由b1＋b2＋…＋bn＝an得，an－bn＝an－1＝
4(n－1)2≥0，所以an≥bn.
【难点突破】
16．[解答] (1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，
所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列{an}不可能为等差数列．证明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an得：
a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，
a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.
于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．