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- 2021-04-27 发布
高三数学总复习教程（第 12 讲）
一、本讲内容
三角函数的概念、图象、性质
一、本讲进度，角的定义，弧度制，终边相同的角，象限角，三角函数的定义，各象限三角函数的符号，
同角三角函数间关系，诱导公式，三角函数线，三角函数的图象和性质。
二、学习指导
用平面内射线端点旋转的观点定义角，由于运动中存在“向什么方向转”和“转多少”的问题，从而
把角的范围扩大到了整个实数集。
用弧长与半径的比值来度量角，单位是统一的——弧度、而无须象角度制那样用分级单位：度、分、
秒……，比较先进在数学研究中统统采用它。
把角置于直角坐标系中，同角的终边上非顶点的一点的坐标（x，y）及它列顶点的距离 r 来定义三角
函数，克服了初中时定义的局限性，适应了角的概念的推广，由此定义就可确定各象限角三角函数的符
号和同角三角函数间的关系（按记忆法则牢记）以及诱导公式的推导。
根据三角函数的图象记忆三角函数的性质——定义域、值域、对称轴方程，对称中心，奇偶性，单调
性，周期性，不仅行之有效，而且有列于对数形结合能力的培养。
三角函数线是作三角函数图象的基础，特别二、三、四象限角的三角函数线是难点之一，应予重视。
三、典型例题讲评
例 1．（ 1）周长为定值 m 的扇形的最大面积是多少？此时扇形的中心角是多少？
（2）一扇形周长为 m，面积为 S，这样的扇形是确定的吗？满足怎样的条件，扇形是确定的？此时中
心角是多少？内切圆半径是多少？
第（1）小题中可设扇形半径为 r，则弧长为 m－2r，则其面积 S=
2
1 r(m－2r)的最大值，只要利用二次
函数或基本不等式即可求出：
第（2）小题是“开放性问题”，由（1）知，S=r(
2
m －r)是关于 r 的二次方程，如果有实根，两根均
正，故可用判解式解决它。
例 2．α 是第三象限角，是否存在实数 m，使关于 x 的方程 8x2+6mx+2m+1=0 的两根恰当 sinα 和 cos
α ？若存在求出相应的 m，若不存在，说明理由。
α 为第三象限角，故 sinα ，cosα ∈(－1，0)如果这样的 m 存在，
则
08
12cossin
04
3cossin
m
m
故 m＞0，由两式消α ，9m2－8m－20=0，m=2（－
9
20 舍去）
若此时不仅使 sin +cosα ∈ 2,1 ， cosα ∈
2
1,0 ，还使与方程判别式≥0，则此 m 即为所求，
但本领中 m=2，－
4
3 m=－
2
3 ＜－ 2 ，故不存在.
例 3．设 sinα +cosα =k，若 sin3α +cos3α ＜0 成立，求 k 的取值范围.
用 k 来表示 sin3α +cos3α ：k(1－
2
12 k )＜0 成立，亦即 k(k2－3)＞0，同时注意到 k= sin(α +
4
)
的取值范围即可求了 k 的范围.
例 4．设函数 f (x)满足 2f (－sinx)+3f (sinx)= 4sinxcosx（x∈[－
2
，
2
]）
（1）判断 f(x)的奇偶性。
（2）求出 f(x)的解析式
由 2f(－sinx)+3f(ε ·x)= 4ε ·xcosx，以－x 代 x，有 2f(sinx)+3f(－sinx)=－4sinxcosx 两式相加，5(f(－
sinx)+f(sinx))=0，知 f(x)为奇函数于是原式即 f(sinx)= 4sinxcosx，∵x∈[－
2
，
2
] ∴cosx= x2sin1 ，
∴f(x)=4x 21 x x∈[－1，1]
例 5．已知函数 f(x)=Asinω x+Bcosω x （ω ＞0）的最小正周期为 2，当 x=
3
1 时，f(x)取得最大值 2.
（1）求 f(x)的表达式；
（2）在[
4
21 ，
4
23 ]上是否有 x0，使 x=x0 是 f(x)的对称轴？
如果存在，求对称轴方程，如不存在，说明理由。
f(x)= 22 BA sin(ω x+ )，其中 tan =
A
B ，由 T=
2 =2，
知ω = a ，故
3
+ =2kπ +
2
，tan =
3
1 与 22 BA =2 联立，可解得 A、B.
第（2）小题只须写出对称轴的一般方程，看有无合适的 k 即可。
例 6．讨论函数 f(x)=cos2(x－α )－2 cos(x－α )cosxcosα +cos2α 的奇偶性，周期性，单调性，值域。
本题中把 f(x)化简是关键，配方后，利用两角差的余弦公式，做三角题，相关公式要熟记，才能“见
景生情”、“浮想联翩”
例 7．已知函数 f(x)=a+bcosx+csinx 的图象过 A（0，1）和 B（
2
，1）两点，当 x∈
[0， ]时，恒有 )(xf ≤2，求实数 a 的取值范围。
当 a 上述范围内的最大整数值时，若存在实数 m、n、 ，使 mf(x)+nf(x－ )=1，求 m、n、 的
值
f(x)图象过 A、B 可求得 b 与 a、c 与 a 的关系。
恒有 ≤2，即最大值≤2，最小值大于等于－2，可以讨论 a 与 1 的大小关系加以解决，也可换无
后无作直线段，加以解决（见附录）
后半题一下涌出 3 个未知数的 m、n、 ，似使人无所适从，因是寻找 m、n、 ，使式子恒成立，
故可取 n 个特殊值，解出 m、n、 后再以验证。
四、巩固练习
1．已知函数 f(x)=1―2a―2acosx―2sin2x 的最小值为 f(a).
（1）用 a 表示 f(a)
（2）求使 f(a)=
2
1 的 a 的值，并对此 a 求 f(x) 最大值.
2．已知函数 f(x)=2asin2x－2 2 sinx+a+b 的定义域为[0，
2
]值域为[－5，1]求 a、b 的值.
3．把函数 y=sin(
8
7 π －x)cos(x+
8
)的图象向右平移 a（a＞0）个单位后，图象关于直线 x=
4
对称。
（1）求 a 的最小值；
（2）当 a 取最小值，x∈(
8
9 π ，― π )时，图象上任意两点连线的斜率恒大于零。
4．化简：
（1）tanθ tan2θ +tan2θ tan3θ +…+tan nθ tna(n+1)θ
（2）(1+tan10)(1+tan20)…(1+tan450)
5．若函数 y=f(x)图象上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，再将图象按 a =(－
2
，－1)平移，
所得新图象的解析式为 y=
2
1 sinx，求 f(x)表达式。
6．右图为函数 y=Acos(ω x+θ )－B 的图象的一
部分，式中 A，ω ＞0 写出该图象的解析式，并
求 a 的值。
7．求下列函数的值域和单调递增区间。
（1）y=
x
xx
cos1
sin2sin
；
（2）y=sinxcosx+sinx+cosx+1
（3）y=log3
xx
xx
cossin
cossin
8．讨论函数的奇偶性：
（1）y=
xx
xx
cossin1
cossin1
（2）y=sin4x－cos4x+cos2x
（3）y=lg xx
xx
ee
ee
sinsin
sinsin
9．函数 y=5cos(
3
12 k π x－
6
)对任意实数 a，在[a，a+3]上
2
5 的值出现的次数不少于 4 次且不多于 8
次，求 k.
10．α 、β ∈(cos
2
)，x＞0，f(x)=(
sin
cos )x+(
sin
cos )x，α +β ＞
2
是 f(x)＜2 的什么条件？证明你的结
论。
五、参考答案
1．（ 1）f(x)=2cos2x－2acosx－2a－1
当
2
a ∈[－1，1]，即 a∈[－2，2]时，f(a)=
2
2a －2a－1.
当 a＞2 时，f(a)=2－2a－2a－1=1－4a
当 a＜－2 时，f(a)=2+2a－2a－1=1
∴f(a)= －
2
2a －2a－1 x∈[－2，2]
1－4a x∈（2，+∞）
1 x∈（－∞，－2）
（2）令－ －2a－1= a=－1 或－3 ∴a=－1
令 1－4a= , a=
8
1 ＜2， 舍去.
∴a=－1，此时 f(x)=2a2x+2ax+1，最大值为 2+2+1=5
2．记 t=sinx∈[0，1]，f(t)=2at2－2 2 at+a+b 的对称轴为 t=
2
2 ，故 f( )=b 和 f(0)=a+b 为其最值，当
a＞0 时
1
5
ba
b
5
6
b
a
a1
-3
y
1
0 x
当 a＜0 时
1
5
b
ba
1
6
b
a
3．（ 1）把函数 y=sin(
8
7 π －x)·cos(x+
8
)=sin[π －( π －x)]cos(x+
8
)=sin(x+
8
1 π +x)=
2
1 sin(2x+
4
)，它关于 x=
4
对称，故 2× －2a+ =kπ +
2
（k∈Z）a=－
2
k π +
8
，（ k∈Z）a 的最小
正值为
8
.
（2）此时，y=
2
1 sin2x x∈(－
8
9 π ，－ π ).
y/= ·cos2x·2=cos2x，∵2x∈(－
4
9 π ，－
4
7 π )，恒正故比较函数图象上任两点连线斜率恒正。
设学过导数的同学，也可采用如下办法：对任意的－ π ＜x1＜x2＜－ π ，
k=
12
12 2sin2
12sin2
1
xx
xx
=
)(2
)]()sin[()]()sin[(
12
21212121
xx
xxxxxxxx
=
)(2
)sin()cos(2
12
1221
xx
xxxx
∵x1+x2∈(－ π ，－ π )，∴cos(x1+x2)＞0
∵x2－x1∈（0，
4
），∴sin(x2－x1)＞0.
又 x2－x1＞0 ∴k＞0
4．（ 1）∵tan[(k+1)θ －kθ ]=
)1tan(tan1
tan)1tan(
kk
kk
∴tankθ tan(k+1)θ =
tan
tan)1tan( kk －1.
分别取 k=1，2，…，n，并把这 n 个式子相加，即得原式=
tan
tan)1tan( n －n=
tan
)1tan( n (n+1)。
（2）∵ (1+tank0)(1+tan(45－k)0)=1=tank0tan(45－k)0+tank0+tan(45－k)0=1+tank0tan(45－k)0+tan[k+(45－k)]0.
(1－tank0tan(45－k)0)=1+tank0tan(45－k)0+tan450(1－tank0tan(45－k)0)=2，又 1+tan450=2 ∴原式=223.
5．把 y= sinx 按b =(
2
，1)平移后解析式为 y= sin(x－
2
)+1，纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，
则其解析式为 y= sin(2x－
2
)+1. 也可表示为 y=1－ cos2x.
6．A=
2
)3(1 =2，B=
2
)3(1 =－1。
y=2cos(ω x+θ )－1.
过原点，故 0=2cosθ －1，取θ =
3
或－
3
.
过（ ，1）故 1=2cos(
2
+θ )－1，
2
+θ =2kπ .
ω = 4kπ －2θ （k∈Z）
过（1，0）故 0=2cos(ω +θ )－1 *
若θ =
3
，则ω = 4kπ －
3
2 π ，*式为 2cos(4kπ － π +
3
)－1=0.成立.
若θ =－
3
，则ω = 4kπ + π ，*式为 2a(4kπ + π － )－1=0，也成立.
又 T=
2 ＞2，∴ω ＜π ，∴ω = π .
f(x)=2cos( π x－ )－1.
T=
3
2
2 =3，∴a=3+1= 4.
7．（ 1）y=
x
xx
cos1
cossin2 2
=2cosx(1+cosx) （cosx≠1）
∴y∈[－
2
1 ，4]
原函数的单调递增区间，即使 cosx∈
2
1,1 的单调递减空间和使 cosx∈[－ ，1]的单调递增区间。
∴原函数的单调递增区间为
kk 2,3
22 及[2kπ － π ，2kπ ] （k∈Z）
（2）Y= sin2x+ 2 cos(x－
4
)+1= cos(2x－
2
)+ cos(x－
4
)+1=cos2(x－
4
)+ cos(x－
4
)+
∈[0，
2
3 + ]
单调增区间：x－ ∈[2kπ +
4
3 π ，2kπ +π ]或[2kπ － π ，2kπ ]
即 x∈[2kπ +π ，2kπ +
4
5 π ]及[2kπ －
2
，2kπ +
4
] (k∈Z)
（3）y=log3
)4cos(2
)4sin(2
x
x
=log3tan(x－ )∈R.
单调增区间：x－ ∈(kπ ，kπ +
2
)，x∈(kπ + ，kπ + π ) （k∈Z）
8．（ 1）y=
2cos2sin22cos2
2cos2sin22sin2
2
2
xxx
xxx
=tan
2
x
22cos
)2cos2(sin
xx
xx
=tan (tan ≠－1)
≠kπ + 且 kπ － ，x≠2kπ +π 且 x≠2kπ －
2
. (k∈Z)。定义域不是关于原点的对称区域，不是
奇偶数，也不是偶函数。
（2）y=(sin2x+cosx)(sin2x－cos2x)+cos2x
=－cos2x+cos2x=0
∴f(x)是奇函数，也是偶函数.
（3）定义域：esinx＞e—sinx sinx＞0，x(2kπ ，2kπ +π )（k∈Z）不是奇函数，也不是偶函数。
9．
32
1arccos2
32
1arccos25
T
T
又 T=
3
12
2
k =
12
6
k
，arccos
2
1 =
3
∴2k+1∈
3
23
30,
3
23
6 ， ∴2k+1=7， k=3.
10．充要条件
α +β ＞
2
，故α ＞
2
－β ，两边均∈(0，
2
)，∴sinα ＞sin (
2
－β )=cosβ ＞0
∴
sin
cos ∈(0，1)， 同理
sin
cos ∈(0，1)，而 x＞0.
∴(
sin
cos )x∈（0，1）， (
sin
cos )x∈(0，1)
∴(
sin
cos )x+(
sin
cos )x＜2。
类似地，若α +β =
2
，则
sin
cos =
sin
cos =1，f(x)=2，若α +β ＜
2
，则
sin
cos ，
sin
cos 均大于 1，
f(x)＞2.
∴f(x)＜2 的充要条件是α +β ＞ .
六、附录
例 1．（ 1）设扇形半径为 r，则弧长为 m－2r，于是扇形面积 S= r(m－2r)=
4
1 (2r)(m－2r)≤
·(
2
m )2=
16
2m ，等号当且仅当 r=
4
m 时，此时 l=m－ = ，中心角θ =
4
2
m
m
=2.
（2）设扇形半径为 r，则 S= r(m－2r).
r2－ r+S=0， △=
4
2m －4S
当 m2＞16S 时，上方程有两不等正根，故 m3=16S 时，
方程仅有一正根，即 r 是唯一确定的，此时 r= ，中
心角θ =
4
42
m
mm
=2.
2r+rθ =m，∴
2
=
r
rm
2
2 ，sin
2
=sin
r
rm
2
2 .
-x--x x--x--x -x- -x- x- -
θ
R
r
2
证内切圆半径为 R，则 sin
2
=
Rr
R
.
∴
Rm
R
4
=sin1 R=
)1sin1(4
1sin
m
例 2．若这样的 m 存在，则应有 sinα +cosα =－
4
3 m ①
sinα cosα =
8
1 (2m+1) ②
①2－2×②. 9m2－8m－20=0，m=2 或－
9
20 .
又α 为第三象限内，∴sinα +cosα = 2 sin(α +
4
)∈ 2,1 而当 m=2 时，－ m=－
2
3 ,
m=－ 时，－ m=
3
5 ，均不在上述范围内，故这样的 m 不存在.
例 3．由已知,k= sin(α + )∈[－ ， ]，又 k2=1+sinα cosα .
∴sin3α +cos3α =(sinα +cosα )(1－sinα cosα )=k(1－
2
12 k )＜0.
即 k(k－ 3 )（k+ ）＞0，得 k∈( ，+∞)∪(－ ，0).
∴k∈ 0,2 .
例 4．由已知 2f(－sinx)+3f(sinx)= 4sinxcosx. 以－x 代 x
2f(sinx)+3f(－sinx)=－sinxcosx.
两式相加，可得 f(sinx)+f(－sinx)=0，∴f(x)必当奇函数.
从而原式即 f(sinx)= 4ε ·xcosx.
又 x∈[－
2
，
2
]，∴cosx= x2sin1 . sinx∈[－1，1].
∴f(x)= 4x 21 x ，x∈[－1，1].
例 5．f(x)= 22 BA sin(ω x+ )，其中 tan =
A
B .
由 T=
2 =2 知ω =π .
当 x=
3
1 时，sin(
3
+ )=1， 22 BA =2。
+
3
=2θπ+
2
， =tan =+
3
3 ，解得
1
3
B
A 3x
1
3
B
A
∴f(x)= sinπ x+cosπ x=2sin(π x+
6
或 f(x)=－ sinπ x－cosπ x=－2sin(π x+
6
)=2sin(π x+
6
7 π ).
对称轴方程为π x+
6
=π x+
2
, x=k+ ，取 k=5 时恰在[
4
21 ，
4
23 ]中，对称轴方程：x=
3
16 .
例 6．f(x)=cos2(x－α )－2cos(x－α )cosxcosα +cos2xcos2α +cos2α －cos2xcos2α
=[cos(x－α )－cosxcosα ]2+cos2α sin2x
=(sinxsinα )2+cos2α sin2x=sin2x=
2
1 (1－cos2x)
∴f(x)为偶函数，T=
2
2 =π ，值域为[0，1]
单调递增区间：[kπ ，kπ +
2
] （k∈Z）
单调递减区间：[kπ －
2
，kπ ] (k∈Z)
例 7．y=f(x)图象过 A、B 两点，故有
a+b=1 和 a+c=1.
∴f(x)=a+(1－a)cosx+(1－a)sinx=a+ 2 (1－a)cos(x－
4
).
X∈[0，
2
]，x－
4
∈[－
4
， ]，cos(x－ )∈[
2
1 ，1]
记 cos(x－ )=t 则 f(t)=a+(1－a)t，t∈[1， ]图象为线段，故 f(1)=1∈[－2，2]，f( )=a+(－a)
∈[－2，2] ∴a∈[－ ，4+3 ]
最大整数为 8，此时 f(x)=8－7 cos(x－ ).
m[8－7 cos(x－ )]+n[8－7 cos(x－ － )]=1 *
令 x=
4
3 π ，有 8m+n(8－7 sin )=1 ①
令 x=
4
，有 8m－7 m+n(8－7 cos )=1. ②
令 x= + ，有 m[8－7 cos ]+n[8－7 ]=1 ③
令 x= + π 有 m(8+7 cos )+8n=1 ④
由①、④消 sin ，得(m+n)(8m+8n－1)=0
由②、③消 cos ，得(m－n)[(8－7 )(m+n)－1]=0
若
0
0
nm
nm ，则 m=n=0 *式从不成立.
若
01))(278(
0
nm
nm
无解.
若
01)(8
0
nm
nm
m=n=
16
1 .
若
01)(8
01))(278(
nm
nm 无解.
把 m=n= 代入①②sin =0，cos =－1，取 =π
此时*式恒为 0