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- 2021-04-27 发布
2018-2019 学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学
试题
一、单选题
1．已知集合 A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x≥﹣1}，则 A∩B＝（ ）
A．（﹣1，1] B．（﹣1，2） C．∅ D．[﹣1，2]
【答案】B
【解析】直接利用交集的运算求解即可.
【详解】
解:因为 A＝{x|﹣1＜x＜2},B＝{x|x≥﹣1},
所以 A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}.
故选:B.
【点睛】
本题考查了交集的运算,属基础题.
2．圆柱的底面半径为 1，高为 1，则圆柱的表面积为（ ）
A．π B．3π C．2π D．4π
【答案】D
【解析】根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.
【详解】
解:因为圆柱的底面半径为 1,高为 1,
所以圆柱的表面积 .
故选:D.
【点睛】
本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.
3．若点 在直线 ： 上，则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得： ，直线方程为： ，
据此可得，直线 的倾斜角为 .
本题选择 C 选项.
22 1 2 1 4S π π π= × + × × =
( 3,2) l 1 0ax y+ + = l
30° 45° 60° 120°
3 2 1 0, 3a a+ + = ∴ = − 3 1 0x y− + + =
l 60°
4．已知函数 f(x)＝ ，若 f(1)＝f(－1)，则实数
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】根据题意，由 f(1)＝f(－1)可得 a＝1－(－1)＝2，故选:B
5．已知 m，n 为不同的直线，α，β 为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．m⊂α，n∥m⇒n∥α B．m⊂α，n⊥m⇒n⊥α
C．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β D．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β
【答案】D
【解析】在 A 选项中，可能有 n⊂α，故 A 错误；
在 B 选项中，可能有 n⊂α，故 B 错误；
在 C 选项中，两平面有可能相交，故 C 错误；
在 D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得 D 正确．
故选：D．
6．已知直线 过定点 ，点 在直线 上，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令直线 的参数 的系数等于零，求得定点 的坐标，利用两点间的距离公
式、二次函数的性质，求得 的最小值.
【详解】
直线 ，即 ，过定点 ，
点 在直线 上， ，
，
故当 时， 取得最小值为 ，故选 B.
【点睛】
1 , 0
, 0x
x x
a x
− ≤
>
a =
: 2 0l kx y k− + − = M ( ),P x y 2 1 0x y+ − =
MP
10 3 5
5 6 3 5
l k M
MP
: 2 0l kx y k− + − = ( )1 2 0k x y− − + = ( )1,2M
( ),P x y 2 1 0x y+ − = 1 2y x∴ = −
( ) ( ) 2
2 2 2 1 91 1 2 2 5 2 2 5 5 5MP x x x x x ∴ = − + − − = + + = + +
1
5x = − MP 3 5
5
本题主要考查直线经过定点问題，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中
档题.
7．设 ， ， ，若 x＞1，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【答案】B
【解析】根据 x＞1,取 x=2,则可以得到 a,b,c 的具体值,然后比较大小即可.
【详解】
解:由 x＞1,取 x=2,则
, , ,
所以 .
故选:B.
【点睛】
本题考查了指数和对数大小的比较,解题的关键是根据条件取特殊值,属基础题.
8．在正方体 中，异面直线 与 所成角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在正方体 中， ，
所以 即为所求（或其补角）.
连接 ，因为 ，所以 .
故选 C.
9．设两条直线的方程分别为 x+y﹣a＝0、x+y+b＝0，已知 a、b 是关于 x 的方程 x2+x+c
＝0 的两个实数根，则这两条直线之间的距离是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】根据条件,由韦达定理可得 ,然后利用平行线间的距离公式求出距离.
【详解】
解:因为 a、b 是关于 x 的方程 x2+x+c＝0 的两个实数根,
所以 ,所以两直线间的距离 .
2( )3
xa = 13( )2
xb −= 2
3
c log x=
2( ) 4
3 9
xa = = 1
2
3( )2
3xb − == 2 2
3 3
log log 2 0c x= = <
b a c> >
1 1 1 1ABCD A B C D− 1A B AC
30° 45° 60° 90°
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1/ /AC AC
1 1BAC∠
1BC 1 1 1 1BC AC A B= = 1 1B 60AC∠ = °
2
4 2 2
2
1a b+ = −
1a b+ = − | | 2
22
a bd
+= =
故选:C.
【点睛】
本题考查了韦达定理和两平行直线间的距离,属基础题.
10．已知函数 在闭区间 上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数
对 在坐标平面内所对应点组成的图形为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，∴可画出图象如图 1 所示．
；
由 x2+2x=3，解得 x=﹣3 或 x=1；又当 x=﹣1 时，（﹣1）2﹣2=﹣1．
①当 a=﹣3 时，b 必须满足﹣1≤b≤1，可得点（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形
的长度为|AB|=1﹣（﹣1）=2；
②当﹣3＜a≤﹣1 时，b 必须满足 b=1，可得点（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形
的长度为|BC|=（﹣1）﹣（﹣3）=2．
如图 2 所示：图 2；
2 2y x x= + [ , ]a b
( , )a b
故选：C．
点睛：本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题，值域是确定的，而定义域是变动
的，解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到，问题就迎刃而解了.
11．已知函数 y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且 x≠2}，且 y=f（x+2）是偶函数，当 x＜2
时，f（x）=|2x﹣1|，那么当 x＞2 时，函数 f（x）的递减区间是（ ）
A．（3，5） B．（3，+∞） C．（2，+∞） D．（2，4]
【答案】D
【解析】试题分析：根据函数的奇偶性，推导出函数的对称性，再由题意和对称性求出
函数的解析式，根据指数函数的图象画出函数大致的图形，可得到函数的减区间．
解：∵y=f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2），
则函数 f（x）关于 x=2 对称，
则 f（x）=f（4﹣x）．
若 x＞2，则 4﹣x＜2，
∵当 x＜2 时，f（x）=|2x﹣1|，
∴当 x＞2 时，f（x）=f（4﹣x）=|24﹣x﹣1|，
则当 x≥4 时，4﹣x≤0，24﹣x﹣1≤0，
此时 f（x）=|24﹣x﹣1|=1﹣24﹣x=1﹣16× ，此时函数递增，
当 2＜x≤4 时，4﹣x＞0，24﹣x﹣1＞0，
此时 f（x）=|24﹣x﹣1|=24﹣x﹣1=16× ﹣1，此时函数递减，
所以函数的递减区间为（2，4]，
故选 D．
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．
12．设函数 ，若 的图像上有四个不同的点 、
、 、 同时满足：① 、 、 、 、 （原点）五点共线；②共线的这条直
线斜率为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题过 、 、 、 、 的直线 ，当 时，记 ，
则
在 上单调递增， 单调递减，与 有两个交点 、 。故
当 时 与 在第二象限 有两个交点即可，联立可得
，由 得
故选：A
点睛：函数零点的求解与判断
(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且
，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多
少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的
横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、填空题
13．若三点 A（﹣2，3）、B（﹣3，2）、C（ ，m）共线，则 m 的值为_____．
【答案】
【解析】根据三点共线与斜率的关系列出关于 m 的方程,然后求出 m 即可.
【详解】
解:因为三点 A(﹣2,3)、B(﹣3,2)、C( ,m)共线,
2
1 ( 0)( )
ln 2 ( 0)
a xy f x x
x x x
+ <= =
− >
( )y f x= A
B C D A B C D O
3− a
(2 3 )，+ ∞ ( 4)−∞， ( 2 3)−∞ −， (4 )+ ∞，
A B C D O y 3x= − x 0> ( ) 2g ln 2x x x= −
( ) 24 1g' xx x
− +=
( )g x 10 2
， 1
2
∞ + ， y 3x= − C D
0x < 1y a x
= + y 3x= − ( )0a >
23 ax 1 0x + + = 2 12 0a= − > 2 3a >
( ) 0f x =
[ ],a b
( ) ( ) 0f a f b⋅ <
1
2
11
2
1
2
所以 ,解得 m .
故答案为: .
【点睛】
本题考查了三点共线和斜率的关系,属基础题.
14．设集合 A＝{x|0≤x≤1}，B={x|1 1a ≠ ( ),P x y ( )y f x=
( )2 ,Q x a y− − ( )y g x=
( )y g x=
( )y g x= a ( )y h x=
( ) ( ) ( )2
2h x h xF x a a− − = − + , ( )m n m n< ( )F x
，值域为 .如果存在，求出 的值；如果不存在，说明理由；
（3）若当 时，恒有 ，试确定 的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】试题分析：（1）设点 Q 的坐标为 ，利用 =x-2a， =-y，转化 x=
+2a，y=- ．通过点 P（x，y）在函数 y=loga（x-3a）图象上，代入即可得到函数 y=g
（x）的解析式；
(2) ，因为 ，故 ，
在 上单调递增， ，即 为 的两相异的非负
的实数，解方程即得 的值；
(3) 通过 ，求出 的最大值，利用最大值≤1，即可确定
的取值范围；
试题解析：
（1）解：设点 的坐标为 ，
则 ，即 .
点 在函数 图象上，
，即 ,
.
（2） ，
，故
在 上单调递增， ，即 为 的两相异的非负的
实数
即 ，解得 .
（3）函数 ，
由题意 ，则 ，
( ),m n ( ),m n ,m n
[ ]2, 3x a a∈ + + ( ) ( ) 1f x g x− ≤ a
1( ) logag x x a
= − 0, 1m n= = 9 570 12a
−< ≤
( ),x y′ ′ x′ y′ x′
y′
( ) 2 2 ( 0)F x x x x= − + > ( ) ( ] ( ) ( ],1 , , ,1F x m n∈ −∞ ⊆ −∞所以 1n ≤
( )F x所以 ( ),m n
( )
( )
F m m
F n n
= =
m n、 ( )F x x=
,m n
[ ]2, 3x a a∈ + + ( ) ( )f x g x− a
Q ( ),x y′ ′
2 ,x x a y y−′ = ′ = − 2 ,x x a y y+′= = − ′
( ),P x y ( )log 3ay x a= −
( )log 2 3ay x a a∴− = + −′ ′ 1logay x a
=′ ′−
( ) 1logag x x a
∴ = −
( ) 2 2 ( 0)F x x x x= − + >
( ) ( ] ( ) ( ],1 , , ,1F x m n∈ −∞ ∴ ⊆ −∞ 1n ≤
( )F x∴ ( ),m n
( )
( )
F m m
F n n
= =
m n、 ( )F x x=
2 2x x x− + = 0, 1m n= =
( ) ( ) ( ) 1log 3 loga af x g x x a x a
− = − − −
[ ]2, 3x a a∈ + + ( )2 3 2 2 0a a a+ − = − + >
又 ，且
，
，
又 对称轴为 ，
，则 在 上为增函数，
函数 在 上为减函数，
从而 ，
又 ，则 ，
.
点睛：本题考查利用相关点法求函数的解析式，二次函数利用单调性求值域及函数恒成
立问题，综合知识点多，难度较大，注意计算的准确性.
0a > 1, 0 1a a≠ ∴ < <
( ) ( ) ( ) ( )2 21| log 3 log log 4 3 |a a af x g x x a x ax ax a
− = − − = − +−
( ) ( ) ( )2 2| | 1 1 log 4 3 1af x g x x ax a− ≤ ∴− ≤ − + ≤
( ) 2 24 3r x x ax a= − + 2x a=
0 1 2 2a a a< ∴ + ( ) 2 24 3r x x ax a= − + [ ]2, 3a a+ +
∴ ( ) ( )2 2log 4 3au x x ax a= − + [ ]2, 3a a+ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
max min
2 log 4 4 . 3 log 9 6a au x u a a u x u a a = + = − = + = −
0 1a< <
( )
( )
log 9 6 1
log 4 4 1
a
a
a
a
− ≥ − − ≤
9 570 12a
−∴ < ≤