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- 2021-04-27 发布
福建省五校 2018—2019 学年高三上学期第二次联考
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．设i 是虚数单位，若复数 i
1 iz
，则复数 z 的共轭复数 z （ ）
A． 1 1 i2 2 B． 11 i2 C． 11 i2 D． 1 1 i2 2
1．答案：A
解析： i i(1 i) 1 i 1 1 1 1i, i1 i (1 i)(1 i) 2 2 2 2 2z z
2．已知集合 2{ | 1 2}, { | 2 }A x x B x y x x ，则 A B （ ）
A．{ | 1 0}x x B．{ | 1 0}≤x x C．{ | 0 2}x x D．{ | 0 2}≤x x
2．答案：B
解析：因为函数 2 2y x x 有意义，所以 2 22 0, 2 0x x x x ≥ ≤ ，解得 2 0x ≤ ≤ ，
所以集合 { | 2 0}B x x ≤ ≤ ．又 { | 1 2}A x x ，所以 { | 1 0}A B x x ≤ ．
3．已知 4cos 4 5
，则sin 2 （ ）
A． 1
5 B． 1
5 C． 7
25 D． 7
25
3．答案：C
解析： 2 16 7sin 2 cos 2 cos 2 2cos 1 2 12 4 4 25 25
．
4．在区间[0, 2] 上随机取一个数 x ，使 3sin 2 2
≥x 的概率为（ ）
A． 1
3 B． 1
2 C． 2
3 D． 3
4
4．答案：A
解析：当 [0, 2]x 时，0 2 x ≤ ≤ ，所以 3 2 2 4sin 2 2 3 2 3 3 3x x x ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ，
故由几何概型的知识可知所求概率
4 2
13 3
2 3P
．
5．已知 m 是 3 与 12 的等比中项，则圆锥曲线
2 2
12
x y
m 的离心率是（ ）
A．2 B． 6
3 C． 2
4 D．2 或 6
3
5．答案：D
解析：因为 m 是 3 与 12 的等比中项，所以 2 3 12 36m ，解得 6m ．
若 6m ，则曲线的方程为
2 2
12 6
y x ，离心率 2 6 2
2
e ；
若 6m ，则曲线的方程为
2 2
16 2
x y ，该曲线是椭圆，其离心率 6 2 6
36
e ．
综上，所求离心率是 2 或 6
3
．
6．已知
1
3
3 1
3
7 1 1log , , log2 4 5a b c
，则 , ,a b c 的大小关系为（ ）
A． a b c B．b a c C．b c a D．c a b
6．答案：D
解析： 3 1 3
3
7 1log , log log 52 5a c ， 1c a ．
1
31 (0,1)4b
，故c a b ．
7．执行如图所示的程序框图，如果输入的 0.01t ，则输出的 n （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．答案：C
解析： 1 1 11 , , 12 2 4S m n ，此时 S t 成立； 1 1 1 1, , 22 4 4 8S m n ，此时 S t 成立；
1 1 1 1, , 34 8 8 16S m n ，此时 S t 成立； 1 1 1 1, , 48 16 16 32S m n ，此时 S t 成立；
1 1 1 1, , 516 32 32 64S m n ，此时 S t 成立； 1 1 1 1, , 632 64 64 128S m n ，此时 S t
成立； 1 1 1 1, , 764 128 128 256S m n ，此时 S t 不成立．从而输出的 7n ．
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A． 39 3 34
B． 45 3 34
C． 23
2
D． 49
4
8．答案：A
解析：由三视图知，该几何体为圆锥挖掉 1
4
圆台后剩余部分，其表面积
2 23 1 3 1 (1 2) 3 392 1 2 4 1 2 2 3 34 4 4 4 2 2S ．
9．函数 2( ) ln( )ln( )f x x e x e x 的图象大致为（ ）
9．答案：A
解析：因为 2 2( ) ( ) ln( )ln( ) ln( )ln( ) ( )f x x e x e x x e x e x f x ，所以函数 ( )f x 是偶函数，
排除选项 C，定义域为( , )e e ，当 x e 时， ( )f x ，排除 B，D，故选 A．
10．已知以圆 2 2: ( 1) 4C x y 的圆心为焦点的抛物线 1C 与圆C 在第一象限交于 A 点， B 点是抛物线
2
2 : 8C x y 上任意一点， BM 与直线 2y 垂直，垂足为 M ，则 BM AB 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． 1 D．8
10．答案：A
解析：易知抛物线 1C 的焦点为 (1,0) ，所以抛物线 1C 的方程为 2 4y x ．由
2
2 2
4
( 1) 4
y x
x y
及点 A 位于
第一象限可得点 (1,2)A ．因为抛物线 2
2 : 8C x y 的焦点 (0,2)F ，准线方程为 2y ，所以由抛物线的
定义得 BM BF ．如图，在平面直角坐标系中画出抛物线 2C 及相应的图形，可得
BM AB BF AB AF ≤ （当且仅当 , ,A B F 三点共线，且点 B 在第一象限时，不等式取等号）．故
所求最大值为 1AF ．
2
1
4 2 2 4
(B)AF
O
B
11．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的体积为 1，点 M 在线段 BC 上（点 M 异于 ,B C 两点），点 N 为线
段 1CC 的中点．若平面 AMN 截正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 所得的截面为四边形，则线段 BM 的取值范围
为（ ）
A． 10, 3
B． 10, 2
C． 2 ,13
D． 1 ,12
11．答案：B
解析：易知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1，若 M 为 BC 的中点，如图 1，则 1//MN AD ，所以此
时截面为四边形 1AMND ，所以 1
2BM 符合题意．
若 10 2BM ，如图 2，作 //BP MN 交 1CC 于点 P ，再作 1 1//PQ C D 交 1DD 于点Q ，连接 AQ ，易知
//MN AQ ，所以此时截面为四边形 AMNQ ，所以 10 2BM 符合题意．
若 1 12 BM ，如图 3，作 //BP MN 交 1 1B C 于点 P ，再作 1 1//PQ C D 交 1 1A D 于点Q ，连接 AQ ，易知
//MN AQ ，所以点Q 在平面 AMN 内，设平面 AMN 与直线 1 1C D 交于点 E ，连接 ,QE NE ，则此时截
面为五边形 AQENM ，显然不符合题意．
综上可知， 10, 2BM
．
A
B C
D
A1
B1 C1
D1
P
N Q
M
A
B C
D
A1
B1 C1
D1
N
M
A
B C
D
A1
B1 C1
D1
M
N
P
Q
E
12．设函数 ( )f x 是奇函数 ( ) ( )Rf x x 的导函数，当 0x 时， 1( )ln ( )f x x f xx
，则使得
2( 4) ( ) 0x f x 成立的 x 的取值范围是（ ）
A．( 2,0) (0, 2) B．( , 2) (2, ) C．( 2,0) (2, ) D．( , 2) (0, 2)
12．答案：D
解析：设函数 ( ) ( )lng x f x x ，则 1( ) ( )ln ( )g x f x x f xx
．于是，当 0x 时，由 1( )ln ( )f x x f xx
可得 ( ) 0g x ，所以函数 ( )g x 在(0, ) 上单调递减．
从而，当 1x 时，有 ( ) (1) 0g x g ，即 ( )ln 0f x x ，又ln 0x ，所以此时 ( ) 0f x ；
当 0 1x 时，有 ( ) (1) 0g x g ，即 ( )ln 0f x x ，又ln 0x ，所以此时 ( ) 0f x ．
在题设不等式中取 1x ，可得 1(1)ln1 (1)1f f ，化简得 (1) 0f ．
于是，由上述讨论可知：当 0x 时， ( ) 0f x ，故由 2( 4) ( ) 0x f x ，得 2 4 0x ，结合 0x ，解
得 0 2x ，
因为 ( )f x 为奇函数，所以当 0x 时， ( ) 0f x ，故由 2( 4) ( ) 0x f x ，得 2 4 0x ，结合 0x ，
解得 2x ．
综上， x 的取值范围是( , 2) (0, 2) ．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13．平面向量 a 与b
的夹角为60 ， (2,0), 1a b
，则 2a b
等于 ．
13．答案： 2 3
解析：
22 22 2 22 4 4 4 cos60 4 2 4 2 1 cos60 4 1 12a b a a b b a a b b
，
所以 2 2 3a b
．
14．已知 5(1 )(1 2 )ax x 的展开式中， 3x 的系数为 20 ，则实数 a ．
14．答案： 3
2
解析：因为 5(1 )(1 2 )ax x 的展开式中含 3x 的项为 3 3 2 2
5 5( 2 ) ( 2 )C x ax C x ，即 3(40 80)a x ，所以由
题设得 40 80 20a ，解得 3
2a ．
15．在数列{ }na 中， 1
1
1 1 3, ,3 ( 3)n n n
a na a a
N ，且 1
3n
n
b a
．记 1 2n nP b b b ，
1 2n nS b b b ，则 13n
n nP S ．
15．答案：3
解析：因为
1
1 3 1 1
( 3) 3n n n n na a a a a
，所以
1
1 1 1
3n
n n n
b a a a
，
所以 1 2
1 2 2 3 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
n n
n n n
S b b b a a a a a a a a
．
因为
1
1
3 3
n
n
n n
ab a a
，所以 1 2 1
1 2
2 3 1 13 3 3 3
n
n n n
n n
aa a aP b b b a a a a
．
又 1
1
3a ，故 1 1
1 1 1 1
3 1 1 13 3n
n n
n n
aP S a a a a
．
16．已知函数 ( ) ( )Ry f x x ，对函数 ( ) ( )y g x x I ，定义 ( )g x 关于 ( )f x 的“对称函数”为
( ) ( )y h x x I ， ( )y h x 满足：对任意 x I ，两个点( , ( )),( , ( ))x h x x g x 关于点( , ( ))x f x 对称．
若 ( ) sinh x a x 是 ( )g x 关于 ( ) cos cos4 4f x x x
的“对称函数”，且 ( )g x 在 ,6 2
上是
减函数，则实数 a 的取值范围是 ．
16．答案：( ,2]
解析： 1 1( ) cos cos sin cos sin 2 cos 24 4 4 4 2 2 2f x x x x x x x
，
所以由题设知对任意 xR ，两个点( , sin )x a x 和 ( , ( ))x g x 关于点 1, cos 22x x
对称，
所以 ( ) sin cos 2g x a x x ，即 ( ) sin cos 2g x a x x ．于是，由函数 ( )g x 在 ,6 2
上是减函数，
得 ( ) cos 2sin 2 0g x a x x ≤ ，即 2sin 2 4sincos
xa xx ≤ 在 ,6 2
上恒成立．
又当 ,6 2x
时， 4sin (2,4)x ，所以 2a ≤ ．故实数 a 的取值范围是( ,2] ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
在 ABC△ 中，角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c ，且 3 cos (2 3 )cosa C b c A ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 2a ，求 ABC△ 面积的最大值．
17．解析：（1）由 3 cos (2 3 )cosa C b c A 及正弦定理可得：
3 sin cos 2sin cos 3 sin cosA C B A C A ．
从而 3 sin( ) 2sin cosA C B A ，即 3 sin 2sin cosB B A ．…………………………………4 分
又 B 为三角形的内角，所以sin 0B ，于是 3cos 2A ，
又 A 为三角形的内角，所以
6A ．……………………………………………………………………6 分
（2）由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ，得 2 2 34 2 2 32b c bc bc bc ≥ ，
所以 4(2 3)bc ≤ ，所以 1 sin 2 32ABCS bc A △ ≤ ，
故 ABC△ 面积的最大值为 2 3 ．……………………………………………………………………12 分
18．（本小题满分 12 分）
甲、乙、丙三人去某工地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工．其计酬方式有两种，
方式一：雨天没收入，晴天出工每天 250 元；方式二：雨天每天 120 元，晴天出工每天 200 元．三人要选
择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30 天）内的晴天都出工，为此三人做了一些调查，甲以去年此月
的下雨天数（10 天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近 9 年此月的下雨天数（n）的频数分布表（见
下表）后，乙以频率最大的 n 值为依据作出选择，丙以 n 的平均值为依据作出选择．
n 8 9 10 11 12 13
频数 3 1 2 0 2 1
（1）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由．
（2）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？
（3）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年此月下雨天数不超过 11 天的概率．
18．解析：（1）按计酬方式一、二的收入分别记为 ( ) ( )f n g n、 ，
(10) 250 (30 10) 5000, (10) 120 10 200 (30 10) 5200f g ，所以甲选择计酬方式二；
由频数分布表知频率最大的 8n ，
(8) 250 (30 8) 5500, (8) 120 8 200 (30 8) 5360f g ，所以乙选择计酬方式一；
n 的平均值为 1 (8 3 9 1 10 2 12 2 13 1) 109 ，所以丙选择计酬方式二；…………………6 分
（2）甲统计了 1 个月的情况，乙和丙统计了 9 个月的情况，但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据，
所以丙的统计范围最大，三人中丙的依据更有指导意义．………………………………………………9 分
（3）任选一年，此月下雨不超过 11 天的概率为 6 2
9 3 ，以此作为概率，则未来三年中恰有两年此月下雨
不超过 11 天的概率为
2
2
3
2 2 413 3 9C
．……………………………………………………12 分
19．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b 的离心率为 3
2
，上顶点 M 到直线 3 4 0x y 的距离为 3．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 过点(4, 2) ，且与椭圆C 交于 ,A B 两点，l 不经过点 M ，证明：直线 MA 的斜率与直线 MB
的斜率之和为定值．
19．解析：（1）由题意可得，
2 2 2
3
2
4 32
ce a
b
a b c
，解得 4
2
a
b
，所以椭圆C 的方程为
2 2
116 4
x y ……4 分
（2）易知直线l 的斜率恒小于 0，设直线l 的方程为 2 ( 4)y k x ， 0k 且 1k ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
联立得 2 2
2 ( 4)
116 4
y k x
x y
，得 2 2(1 4 ) 16 (2 1) 64 ( 1) 0k x k k x k k ，
则 1 2 1 22 2
16 (2 1) 64 ( 1),1 4 1 4
k k k kx x x xk k
，
因为 1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
2 2 ( 4 4) ( 4 4)
MA MB
y y kx k x kx k xk k x x x x
，
所以 1 2
1 2
16 (2 1)2 (4 4) 2 (4 4) 2 (2 1) 164 ( 1)MA MB
x x k kk k k k k k k kx x k k
（为定值）
………………………………………………………………………………………………………………12 分
20．（本小题满分 12 分）
如图，是一个半圆柱与多面体 1 1ABB AC 构成的几何体，平面 ABC 与半圆柱的下底面共面，且 AC BC ，
P 为
1 1B A 上的动点（不与 1 1,B A 重合）．
（1）证明： 1PA 平面 1PBB ；
（2）若四边形 1 1ABB A 为正方形，且 1 1, 4AC BC PB A ，求二面角 1 1P A B C 的余弦值．
A B
C
A1
P
B1
20．解析：（1）在半圆柱中， 1BB 平面 1 1PA B ，所以 1 1BB PA ．
因为 1 1A B 是上底面对应圆的直径，所以 1 1PA PB ．
因为 1 1 1PB BB B ，所以 1PA 平面 1PBB ．…………………………………………………………5 分
（2）根据题意，以C 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系C xyz ，如图所示，设 1CB ，
则 1 1(0,0,0), (0,1, 2), (1,0, 2)C A B ，所以 1 1(0,1, 2), (1,0, 2)CA CB
．
平面 1 1PA B 的一个法向量为 1 (0,0,1)n
，设平面 1 1CA B 的法向量为 2 ( , , )n x y z
，
则 2 1
2 1
2 0
2 0
n CA y z
n CB x z
，令 1z ，则 2 ( 2, 2,1)n
，
所以 1 2
1 2
1 2
1 5cos , 51 5
n nn n
n n
．
由图可知二面角 1 1P A B C 为钝角，所以所求二面角为余弦值为 5
5 ．…………………………12 分
A B
C
A1
P
B1
x
y
z
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 2( ) (2 1) ln ( )f x x m x x m R ．
（1）当 1
2m 时，若函数 ( ) ( ) ( 1)lng x f x a x 恰有一个零点，求 a 的取值范围；
（2）当 1x 时， 2( ) (1 )f x m x 恒成立，求 m 的取值范围．
21．解析：（1）函数 ( )g x 的定义域为(0, ) ．
当 1
2m 时， 2( ) lng x a x x ，当 0a 时， 2( ) ( 0)g x x x 没有零点，不符合题意；
当 0a 时，由 ( ) 0g x ，得 2
1 ln x
a x ，设 2
ln( ) xh x x ，则 3
2ln 1( ) xh x x
，令 ( ) 0h x ，得 x e ，
当 0 x e 时， ( ) 0, ( )h x h x 单调递减；当 x e 时， ( ) 0, ( )h x h x 单调递增．
所以当 x e 时， ( )h x 取得最小值 1( ) 2h e e ，且 (1) 0h ，当 0x 时， ( )h x ；
当 x 时， ( ) 0h x ，作出函数 ( )h x 的图象如图所示，根据题意，直线 1y a 的图象与函数 ( )h x 的
图象有一个交点，所以 1 0a 或 1 1
2a e ，所以 0a 或 2a e ．……………………………………6 分
（1）解法 2：函数 ( )g x 的定义域为(0, ) ．
当 1
2m 时， 2( ) lng x a x x ，所以
22( ) 2a x ag x xx x
．
（i）当 0a 时， 2( ) ( 0)g x x x 没有零点，不符合题意；
（ii）当 0a 时， ( ) 0g x ，所以 ( )g x 在(0, ) 上单调递增，
取
1
0
ax e
，则
21 1
0( ) 1 0a ag x g e e
，因为 (1) 1g ，所以 0( ) (1) 0g x g ，此时函数 ( )g x
恰有一个零点．
（iii）当 0a 时，令 ( ) 0g x ，解得
2
ax ．
当 0 2
ax 时， ( ) 0g x ，所以 ( )g x 在 0, 2
a
上单调递减；
当
2
ax 时， ( ) 0g x ，所以 ( )g x 在 ,2
a
上单调递增．
要使函数 ( )g x 恰有一个零点，则 ln 02 2 2
a a ag a
，即 2a e ．
综上所述，若函数 ( )g x 恰有一个零点，则 0a 或 2a e ．……………………………………6 分
（2）令 2 2( ) ( ) (1 ) (2 1) lnh x f x m x mx m x x ，
根据题意，当 (1, )x 时， ( ) 0h x 恒成立，
21 2 (2 1) 1 ( 1)(2 1)( ) 2 (2 1) mx m x x mxh x mx m x x x
，
（i）若 10 2m ，则 1 ,2x m
时， ( ) 0h x 恒成立，所以 ( )h x 在 1 ,2m
上是增函数，
且 1( ) ,2h x h m
，所以不符合题意；
（ii）若 1
2m≥ ，则 (1, )x 时， ( ) 0h x 恒成立，所以 ( )h x 在 (1, ) 上是增函数，且
( ) (1),h x h ，所以不符合题意；
（iii）若 0m≤ ，则 (1, )x 时，恒有 ( ) 0h x ，故 ( )h x 在 (1, ) 上是减函数，于是 ( ) 0h x 对任意
(1, )x 都成立的充要条件是 (1) 0h ≤ ，即 (2 1) 0m m ≤ ，解得 1m ≥ ，故 1 0m ≤ ≤ ．
综上， m 的取值范围是[ 1,0] ．……………………………………………………………………12 分
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．
22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 1 3
1
x t
y t
（t 为参数）．在以原点O 为极点， x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为 2cos ．
（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于 ,P Q 两点，求 POQ ．
22．解析：（1）由 1 3
1
x t
y t
，得直线l 的普通方程为 3 1 3x y ．
又 cos , sinx y ，所以直线l 的极坐标方程为 (cos 3 sin ) 1 3
（或 2 sin 1 36
）．
由 2cos ，得 2 2 cos ，即 2 2 2x y x ，
所以曲线C 的直角坐标方程为 2 2 2 0x y x ．……………………………………………………5 分
（2）解法一 设 ,P Q 的极坐标分别为 1 1( , ) ， 2 2( , ) ，则 1 2POQ ，
由 (cos 3 sin ) 1 3
2cos
，消去 ，得 2cos (cos 3 sin ) 1 3 ，
化简得：cos 2 3 sin 2 3 ，即 3sin 2 6 2
，
因为
2 2
， ，所以 5 72 6 6 6
， ，所以 2 6 3
或 22 6 3
，
即
1
2
12
4
或
1
2
4
12
，所以 1 2 6POQ ．………………………………………………10 分
解法二：曲线C 是以 (1,0)C 为圆心，半径 1r 的圆，圆心C 到直线 : 3 1 3 0l x y 的距离
3
2d ，所以 2 22 1PQ r d ，所以 CPQ△ 是等边三角形，
3PCQ ，
而点O 是圆上的点，所以 1
2 6POQ PCQ ．………………………………………………10 分
Q
P
O C
23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）
已知 ( ) 2 2f x ax x ．
（1）当 2a 时，解不等式 ( ) 1f x ≤ ；
（2）若关于 x 的不等式 4 ( ) 4f x ≤ ≤ 对 xR 恒成立，求实数 a 的取值．
23．解析：（1）当 2a 时， ( ) 1f x ≤ 即 2 2 2 1x x ≤ ，
当 1x≥ 时，(2 2) ( 2) 1x x ≤ ，解得 5x≤ ，所以1 5x≤ ≤ ；
当 2 1x 时， (2 2) ( 2) 1x x ≤ ，解得 1
3x ≥ ，所以 1 13 x ≤ ；
当 2x ≤ 时， (2 2) ( 2) 1x x ≤ ，解得 3x≥ ，所以无解．
综上可知，不等式 ( ) 1f x ≤ 的解集为 1 53x x
≤ ≤ ．………………………………………………5 分
（2） 2 2 4x ax ≤ 恒成立，
而 2 2 (1 )x ax a x ≤ 或 2 2 (1 ) 4x ax a x ≤ ，
故只需 (1 ) 4a x ≤ 或 (1 ) 4 4a x ≤ 恒成立， 1a 或 1a ．
a 的取值为 1 或 1 ．………………………………………………………………………………10 分