2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第九中学度高一上学期期中数学试题（解析版） 15页

‎2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第九中学度高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意知，故选B.‎ ‎【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.‎ ‎2．化简的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用根式的运算性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3．如图所示的图形中，表示的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据子集的定义进行解答即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由于，故对任意的，必有 则它们之间的关系是：‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是子集的定义，熟练掌握相关的定义是解答此题的关键，属于基础题。‎ ‎4．设集合A={1，2}，则满足的集合B的个数是 A．1 B．3 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，，所以,,,,故选C.‎ ‎【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用 点评：此题考查了并集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．‎ ‎5．函数且的图象必经过定点　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数图象过定点，即无论参数取何值，当时，y总等于b，由此可利用代入验证的方法找到正确答案 ‎【详解】‎ 当时，无论a取何值， ‎ 函数且的图象必经过定点 ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数的图象性质，含参数的函数图象过定点问题的解决方法，代入验证的方法解选择题 ‎6．下列函数中，与函数相同的函数是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】通过分析函数的定义域、值域和对应关系，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域和值域都为.‎ 对于A选项，函数的定义域为，故与不相同.‎ 对于B选项，，定义域、值域都为，对应关系为，故与相同.‎ 对于C选项，函数的定义域为，故与不相同.‎ 对于D选项，函数的定义域为，故与不相同.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两个函数相等的概念，考查函数的定义域、值域、对应关系，属于基础题.‎ ‎7．设，则a，b，c的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，的大小关系是．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三个数的大小的判断，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用，属于基础题。‎ ‎8．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，依次分析选项：‎ 对于，，函数为指数函数，则上为增函数，‎ 则在上为减函数，不符合题意；‎ 对于，，令，，‎ 则函数在上为增函数，在为增函数，‎ 则在区间上为增函数，符合题意；‎ 对于，为二次函数，开口向下且对称轴为，‎ 在区间上为减函数，不符合题意；‎ 对于，为对数函数，在区间上为减函数，不符合题意；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性．‎ ‎9．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：‎ 每间客房定价 ‎100元 ‎90元 ‎80元 ‎60元 住房率 ‎65％‎ ‎75％‎ ‎85％‎ ‎95％‎ 要使每天的收入最高，每间客房的定价应为（ ）‎ A．100元 B．90元 C．80元 D．60元 ‎【答案】C ‎【解析】求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当定价元时：收入为；‎ 当定价 元时：收入为；‎ 当定价 元时：收入为；‎ 当定价 元时：收入为.‎ 对比知：当定价 元时，收入最高.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数求收入的最大值，意在考查学生的计算能力.‎ ‎10．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵函数f（x）=是R上的增函数，‎ ‎∴，‎ 解得：a∈[4，8），‎ 故选：D．‎ 点睛：本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是指数函数，第二段是一次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于1.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在身上单调递增.‎ ‎11．函数的值域为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意：函数y=x+，‎ 令t=，则函数t的值域为[0，+∞），可得：x=2﹣t2，‎ 那么：函数y=x+转化为f（t）=2﹣t2+t，‎ 开口向下，对称轴t=，‎ ‎∵t≥0，‎ ‎∴当t=时，函数f（t）取得最大值为=，‎ 即函数y=x+的最大值为．‎ ‎∴函数y=x+的值域为（﹣∞，]．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．‎ ‎12．已知函数，若存在a，b同时满足和，则实数t的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析可得函数为奇函数，则，故有解，即有解，令，则在，上有解，进而求得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：函数的定义域为，，所以函数为奇函数，‎ 存在，满足，‎ ‎，‎ 有解，即有解，‎ 令，则在上有解，‎ 在上有解，‎ ‎，即的取值范围为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的运用，难点在于找到，的关系，进而把问题转化为两函数有交点问题，考查转化思想及分析问题解决问题的能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．化简 ，可得_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】利用商的对数的运算性质解答．‎ ‎【详解】‎ 解：原式；‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数的运算，利用，，属于基础题.‎ ‎14．设函数，若，则实数a的值为是_____．‎ ‎【答案】或2‎ ‎【解析】通过分段函数以及，即可求解的值．‎ ‎【详解】‎ 解：函数，‎ 若，‎ 当时，，，成立．‎ 当时，，解得，‎ 综上的值为：或．‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的应用，函数的零点，基本知识的考查．‎ ‎15．函数的定义域是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用开偶次方，被开方数非负，得到指数不等式，求解即可得到函数的定义域．‎ ‎【详解】‎ 解：要使函数有意义，必须，‎ 即，由指数函数的单调性可得，解得．‎ 所以函数的定义域为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域的求法，指数不等式的求法，考查计算能力．‎ ‎16．已知函数，且，则_____．‎ ‎【答案】4048‎ ‎【解析】根据绝对值的几何意义去掉绝对值符号，再根据所求的特点，求出；即可求出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：函数，‎ 且，‎ 当或时，．‎ ‎．‎ ‎．‎ 故答案为：4046．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查绝对值的几何意义以及首尾相加求和，属于综合性题目，难度不大．‎ 三、解答题 ‎17．已知全集为R，，求：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）或或；（2）或.‎ ‎【解析】（1）可以求出集合，，然后进行交集的运算即可；‎ ‎（2）进行补集、并集的运算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）或或，或，‎ 或或；‎ ‎（2），‎ 或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了描述法的定义，绝对值不等式和分式不等式的解法，交集、并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）判断并用定义证明函数在区间上的单调性；‎ ‎（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）递增，证明见解析；（2）最小值为，最大值为.‎ ‎【解析】（1）利用函数单调性的定义来证明函数的单调性；‎ ‎（2）根据函数的单调性来求函数在给定区间上的最值问题．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）在上为增函数，证明如下：‎ 任取，则 ‎；‎ ‎，，；‎ ‎，‎ ‎；‎ 所以，在上为增函数．‎ ‎（2）：由（1）知在，上单调递增，‎ 的最小值为，最大值．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数单调性的定义、函数的最值问题，属于基础题．‎ ‎19．设函数，且．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）画出函数的图象，并根据图象写出函数具有的性质（至少两个，不用证明）．‎ ‎【答案】（1）；（2）图象见解析，定义域，值域.‎ ‎【解析】（1）根据条件列方程组求解析式；（2）画出图象得到性质．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，得，‎ 由，得，‎ 联立解方程得：，，‎ 所以 ‎（2）函数图象如图所示，‎ 定义域为：，值域为：‎ 函数的单调递增区间为：‎ 单调递减区间为：和 ‎【点睛】‎ 考查分段函数求值和分段函数图象和性质，基础题．‎ ‎20．已知函数 ‎（1）若 在区间 上是单调函数，求实数的取值范围.‎ ‎（2）求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】（1）由二次函数的性质，可得使得函数 在区间 上是单调函数，则满足或，即可求解；‎ ‎（2）由（1），根据二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解函数的最大值和最小值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数表示开口向上的抛物线，且对称轴为，‎ 若使得函数 在区间 上是单调函数，‎ 则满足或，解得或，‎ 即实数的取值范围.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎①当时，即时，函数的最大值为；‎ 当时，即时，函数的最大值为；‎ ‎②当时，即时，函数在区间上单调递增，所以函数的最小值为；‎ 当时，即时，函数在区间上单调递减，在单调递增，所以函数的最小值为；‎ 当时，即时，函数在区间上单调递减，所以函数的最小值为.‎ 综上所述：‎ 当时，最小值为；最大值为；‎ 当时，最小值为，函数的最大值为；‎ 当时，最小值为，函数的最大值为；‎ 当时，最小值为，函数的最大值为；‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎21．解关于x的不等式．‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】可讨论与1的关系：时，原不等式可变成 ‎，然后再讨论与的关系，这样即可得出原不等式的解，同样讨论和时，得出原不等式的解．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）时，由原不等式得，，‎ ‎①当时，即时，原不等式的解集为；‎ ‎②当时，即，原不等式的解集为；‎ ‎③当时，原不等式的解集为；‎ ‎（2）时，原不等式变成，原不等式的解集为；‎ ‎（3）时，由原不等式得，，‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎22．定义在R上的奇函数，当时，.‎ ‎（1）求函数的解析式； ‎ ‎（2）当时，关于x的不等式恒成立，求λ的取值范围；‎ ‎（3）当时，的值域是，求s与t的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3），.‎ ‎【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，当时，则，结合函数的奇偶性，可得解析式；‎ ‎（2）根据解析式换元转化为二次函数问题求解即可；‎ ‎（3）判断分段函数值域，根据值域范围确定解析式，即可求解与的值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由是上的奇函数，可得，，‎ 当时，那么设，则，‎ 则，‎ 即，‎ 函数的解析式；‎ ‎（2）由时，则，‎ 关于的不等式恒成立，即，‎ 令，，‎ 则，‎ 当时，，‎ ‎．‎ ‎（3）由，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 由时，的值域是，‎ 可知，且，，‎ ‎，，‎ 可知是递减函数，‎ ‎，，‎ 解得，，‎ 即与的值分别为1和．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数的最值以及单调性的应用．‎