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- 2021-04-26 发布
2019—2020年度“四省八校联盟”高三联考
数学（理科）2019.9
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算得到集合A，再计算得到答案.
【详解】
故答案选B
【点睛】本题考查了集合的交集，属于基础题型.
2.（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把复数乘积展开，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，可以判断选项．
【详解】∵（1+3i）（1-i）＝1+3+3i-i＝4+2i
故选：A．
【点睛】本题考查复数代数形式的运算，是基础题．
3.设，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】由2x<1得x<0，由“x3<1”得x＜1，x<0是x＜1的充分不必要条件
则“2x<1”是“x3<1”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
4.已知命题：，，则是（）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案．
【详解】∵命题p：∀x＞0，总有lgx＞0，
∴命题¬p为：∃x0＞0，使得lgx0≤0，
故选：D．
【点睛】本题考查了命题的否定，考查了推理能力，属于基础题．
5.在等差数列中，，，则的前6项和为（）
A. 6 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列{an}通项公式列方程组求出a1，d，由此能求出{an}的前6项和．
【详解】∵在等差数列{an}中，a5，a2+a4＝2，
∴，
解得a1，d，
∴{an}的前6项和S6的值：
615×1．
故选B．
【点睛】本题考查等差数列的前n项和的公式，考查等差数列的通项公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
6.如图是函数的部分图像，若，则（）
A. -1 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由图可设A（a，），则B（a，），可得（，），利用向量模的坐标运算，求得T4，从而可得ω的值，代入x=-1计算可得结果．
【详解】设A（a，），函数f（x）sin（ωx+）的周期为T，则B（a，），∴（，），∵|AB|212=16，
∴T2＝16，
∴T4，
解得：ω．∴f（x）sin（x+），∴f（-1），
故选：D．
【点睛】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象解析式的确定及应用，涉及向量模的坐标运算及其应用，属于中档题．
7.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
8.的展开式中的系数为
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
【答案】C
【解析】
分析：写出，然后可得结果
详解：由题可得
令,则
所以
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。
9.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。
10.已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
画出函数图像，根据对称得到，再得到，最后得到答案.
【详解】
画出函数图像：
，设
则
即
故答案选C
【点睛】本题考查了函数交点的取值范围问题，画出图像是解题的关键，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
11.直线分别与曲线，相交于，两点，则的最小值为（）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设A（a，2 a+1），B（a，a+lna），求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．
【详解】设A（a，2a+1），B（a，a+lna），
∴|AB|＝，
令y，则y′1，
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x＝1时，函数y的最小值为，∴|AB|＝，其最小值为2.
故选：B．
【点睛】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．
12.若，，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由变形，代入式子得到，取，带入化简利用均值不等式得到答案.
【详解】，
设
原式
当即时有最大值为
故答案选C
【点睛】本题考查了最大值，利用消元和换元的方法简化了运算，最后利用均值不等式得到答案，意在考查学生对于不等式知识的灵活运用.
二、填空题。
13.设向量，，，则______.
【答案】5
【解析】
【分析】
由已知利用向量垂直的坐标表示得到关于x的方程解之，代入计算所求即可.
【详解】由已知（x，1），（1，2），•，得到﹣x+2＝0，解得x；
∴（，-3），∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算及向量模的运算，属于基础题．
14.某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则______.
【答案】5
【解析】
【分析】
由中位数和平均数的定义可得x，y的值，计算可得结果．
【详解】甲班学生成绩的中位数是80+x＝81，得x＝1；
由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，
乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以y＝4，
∴x+y=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了茎叶图的应用及中位数和平均数的定义，属于基础题．
15.已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，，若，则数列的前项和为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件先计算出，，然后得到，再利用裂项求和法得到答案.
【详解】公比为整数的等比数列的前项和为
，
解得或（舍去）
，
前100项和为
故答案为
【点睛】本题考查了数列的通项公式，前n项和，综合性强，意在考查学生对于数列的方法的灵活运用.
16.设点是椭圆：上的动点，为的右焦点，定点，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算右焦点，左焦点将转化为，计算
的范围得到答案.
【详解】，为的右焦点， ，左焦点
故答案为
【点睛】本题考查了椭圆取值范围问题，将转化为是解题的关键，意在考查学生对于椭圆性质的灵活运用和计算能力.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.的内角，，的对边分别为，，，已知，，.
（1）求；
（2）求中的最长边.
【答案】（1）（2）最长边为
【解析】
【分析】
（1）根据tanA和tanB的值计算出tanC.
（2）由（1）可得C为钝角，c边最长，进而根据正弦定理求得c．
【详解】（1）因为.
（2）由（1）知钝角，所以为最大角，
因为，所以，又，所以.
由正弦定理得：，所以为最大边.
【点睛】本题主要考查了同角的三角函数关系及两角和的正切公式和正弦定理的应用，属于基础题．
18.为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：
年龄
频数
10
20
30
20
10
10
支持“新农村建设”
3
11
26
12
6
2
（1）根据上述统计数据填下面的列联表，并判断是否有
的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；
年龄低于50岁的人数
年龄不低于50岁的人数
合计
支持
不支持
合计
（2）为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众（假设年龄均在20周岁至80周岁内），给予适当的奖励.若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为，试求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中.
【答案】（1）列联表见解析，没有的把握（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】
（1）根据已知数据填写列联表，从而可利用公式计算出，可判断出无的把握；（2）可判断出服从二项分布：，通过公式计算出所有可能取值的概率，从而得到分布列；再利用求得数学期望.
【详解】（1）列联表
年龄低于岁的人数
年龄不低于岁的人数
合计
支持
不支持
合计
所以没有的把握认为以岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异
（2）由题可知，所有可能取值有，且观众支持“新农村建设”的概率为，因此
，
，
所以的分布列是：
所以的数学期望为
【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列和数学期望，重点考查了二项分布的问题.
19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，.
（1）求证：平面平面；
（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）先证明面，再证明，最后得到平面平面.
（2）以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别计算法向量，利用向量的夹角公式得到答案.
【详解】解：（1）证明：因为，则，又侧面底面，
面面，面，则面
面，则又因为，为平行四边形，
则，又，则为等边三角形，则为菱形，则
又，则面，面，则面面
（2）由平面把四面体分成体积相等的两部分，
则为中点，取中点，连接，由知
由（1）知平面，以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则中点为
设面的法向量为，则，
可取
设面的法向量为，则，
可取
设二面角的大小为，则，
则二面角的正弦值为.
【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，通过建立空间直角坐标系可以简化技巧，容易让同学掌握，其计算量较大，需要同学们加强这方面的训练.
20.已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1);(2)为定值.
【解析】
试题分析：（1）根据离心率、直线与圆相切建立关于的方程组，过得
，从而得到椭圆的方程；（2）设，，直线的方程为，联立椭圆方程消去，得到关于的方程，再利用韦达定理得到之间的关系，从而得到的关系．
试题解析：（1）由题意得解得故椭圆的方程为．
（2）设，，直线的方程为，由
得．
∴，，
由，，三点共线可知，，所以；
同理可得
所以．
因为，
所以．
考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、椭圆的几何性质；3、直线的斜率．
【方法点睛】解答直线与椭圆的位置关系的相关问题时，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，再应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式＝或＝解决，往往会更简单．
21.已知函数.
(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；
(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析。
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由,通过讨论确定的单调性,再由单调性确定极值.
试题解析：（Ⅰ）由题意，
所以，当时，，，
所以，
因此，曲线在点处的切线方程是，
即.
（Ⅱ）因，
所以，
，
令，
则，
所以上单调递增，
因为，
所以，当时，；当时，.
（1）当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以当时取到极大值，极大值是，
当时取到极小值，极小值是.
（2）当时，，
当时，，单调递增；
所以在上单调递增，无极大值也无极小值.
（3）当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增
所以当时取到极大值，极大值；
当时取到极小值，极小值是.
综上所述：
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.
【考点】导数的几何意义及导数的应用
【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0
左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．
22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程为：（为参数）.
（1）求曲线，的直角坐标方程；
（2）设曲线，交于点，，已知点，求.
【答案】（1）曲线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：（2）
【解析】
【分析】
（1）根据极坐标和直角坐标、参数方程的互化公式得结果；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得t2-(4t+16＝0，利用参数的几何意义及韦达定理可得结论；
【详解】（1）曲线的极坐标方程可以化为：，
所以曲线的直角坐标方程为：，
曲线的直角坐标方程为：.
（2）曲线的参数方程可化为：（为参数），
将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得到：，
整理得：，判别式，
不妨设，的参数分别为，，则，，
又点，所以，，所以，
又因为，，所以，，
.
【点睛】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线参数的几何意义，属于中档题．
23.已知函数，.
（1）求不等式的解集；
（2）对，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）分类讨论去绝对值分别求得不等式组的解，取并集即可.
（2）根据（1）中去绝对值后的f（x）的解析式，分别分离参数求得相应的最值，解出a的范围取交集即可．
【详解】（1），
令或，解得或，
所以解集为.
（2）当时，恒成立，即恒成立，即，
当时，恒成立，即恒成立，所以，
当时，恒成立，即，所以，
综上：.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的恒成立问题，考查了分类讨论和转化思想，属中档题．