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- 2021-04-26 发布
专题13 双曲线
1．双曲线定义
2．双曲线标准方程
3．双曲线的简单几何性质
(1)范围；(2)对称性；(3)顶点；(4)渐近线；(5)离心率．
例1 设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M(，)，F(－，0)，且P为L上动点．求|MP|＋|FP|的最小值．
变式1 设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．
例2 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
变式2 双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A. B.
C. D.
例3 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线右支上一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为________．
变式3 已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．
A级
1．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a等于( )
A．2 B.
C. D．1
2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．－ B．－4
C．4 D.
4．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1,3)，离心率为的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2 B．2 C. D．1
6．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是________．
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝______________.
B级
8．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
9．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
10．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A. B. C. D．2
11．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________.
12．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
13.
如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，求C2的离心率．
详解答案
典型例题
例1 解 (1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r.
由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，
两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4.
则C的轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1，
∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知F为双曲线L的左焦点，则F′(，0)为右焦点．
若P在L右支上，由于|FP|＝|PF′|＋4，
|MP|＋|FP|＝|MP|＋|PF′|＋4≥|MF′|＋4＝6；若P在L左支上，|MP|＋|FP|≥|MF|＝4；所以，|MP|＋|FP|的最小值为4.
变式1
解析 不妨设|PF1|>|PF2|，
则|PF1|－|PF2|＝2a，
又∵|PF1|＋|PF2|＝6a，
∴|PF1|＝4a，
|PF2|＝2a.
又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
由正弦定理得，∠PF2F1＝90°，
∴|F1F2|＝2a，
∴双曲线C的离心率e＝＝.
例2 C
变式2 C
例3 3
解析 ＝＝
＝|PF2|＋≥4a，当且仅当|PF2|＝2a时等号成立．显然，|PF1|≥c＋a，
又|PF1|＝|PF2|＋2a，
则|PF2|≥c－a，
所以2a≥c－a，即3a≥c，故e≤3，即离心率的最大值为3.
变式3 [2，＋∞)
解析 双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意知≥，则b≥a，b2≥3a2，c2－a2≥3a2，c2≥4a2，故e≥2.
强化提高
1．D [由题意得e＝＝2，
∴＝2a，
∴a2＋3＝4a2，
∴a2＝1，∴a＝1.]
2．B [由题意知：c＝3，e＝＝，∴a＝2.b2＝c2－a2＝9－4＝5，故所求双曲线方程为－＝1.]
3．A [由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故选A.]
4．D [由于离心率为，∴e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又点P(1,3)，在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.故选D.]
5．A 6.(－12,0)
7．1 2
解析 由2x＋y＝0得y＝－2x，
所以＝2.
又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.
8．A [∵方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2，得1＋m>2，∴m>1.]
10．A [
如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝.]
11．1
解析 由双曲线－＝1可知a>0，且焦点在x轴上．根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)，故实数a＝1.
12.＋1
解析 在Rt△PF1F2中，设|PF2|＝m，
则|PF1|＝m，|F1F2|＝2m，
∴2a＝(－1)m,2c＝2m，
∴e＝＝＝＋1.
13．解 |F1F2|＝2.
设双曲线的方程为－＝1.
∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，
∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.
在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
即(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，
∴a＝，
∴e＝＝＝.