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- 2021-04-26 发布
2018-2019学年山西省临汾一中、忻州一中高二3月联考
数学试题(理科)
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只 有一个是符合题目要求的）
1. i 是虚数单位，若 1 + 7i = z 则 z 等于（ ）
2 - i
A. 3i - 1
B. 3i + 1
C.1 - 3i
D. - 1 - 3i
2.函数 y = ln(3x - 2) 在点（1,0）的切线方程为（ ）
A. y = 3x - 3
B. y = x - 1
C. y = 3x + 3
D. y = x + 1
3.已知等差数列{an } 满足 a3 = 3 ，且 a1 ，
a2 ，
a4 成等比数列，则 a5 = （ ）
A. 5 B. 3 C. 4或3
p
D. 5或3
4.若函数 f ( x) = A sin(wx -
为（ ）
)( A > 0,w> 0) 的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积
6
A. - 1 + 3
2
1
B.
2
1 1 1
3 3
C.1 - D.
2 2
5.用数学归纳法证明 1 + + + × × × + < n( nÎ N, n > 1)
2 3 2 n -1
，第一步应验证不等式
（ ）
1 1 1
A.1 + + + < 3
2 3 4
1 1
B.1 + + < 3
2 3
1 1
C.1 + + < 2
2 3
1
D.1 + < 2
2
6.若函数 f ( x) = x + a ln x 不是单调函数,则实数 a 的取值范围是( )
A.[0, +¥)
B. (-¥, 0)
C.（0, +¥） D. (-¥, 0]
7.已知三棱锥 P - ABC 的各顶点都在以 O 为球心的球面上，且 PA, PB, PC 两两垂直， 若 PA = PB = PC = 2 ，则球心 O 到平面 ABC 的距离为( )
A. 2 3 B. 3 C．1 D. 3
3 3
8.设 a Î R ，若函数 y = eax + 3x( x Î R) 有大于零的极值点，则（ ）
A． a < - 1
3
B． a > - 1
3
C. a < -3
D. a > -3
ì3x - y - 6 £ 0
í
9.设 x, y 满足约束条件 ï x - y + 2 ³ 0
î
ï x ³ 0, y ³ 0
，若目标函数 z = ax + by (a > 0,b > 0)
的值是最
大值为12 ，则 2 + 3 的最小值为（ ）
a b
25 8
A. B.
6 3
2 2
11
C. D. 4
3
x y
10.已知双曲线 -
a2 b2
=（1 a > 0, b > 0）的右焦点为 F ，过 F 作斜率为 - 1 的直线交双曲
a2 + b2
线的渐近线于点 P ，点 P 在第一象限， O 为坐标原点，若 DOFP 的面积为 ，则
8
该双曲线的离心率为( )
5 7
A. B.
3 3
10 15
C. D.
3 3
11.设命题 p :在 DABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 BC = 3CD ,点 O 在线段 CD
上 （ 与 点 C, D 不 重 合 ） ， 实 数 a 满 足
AO = a AB + (1- a ) AC
； 命 题 q : 函 数
f ( x) = 1 x3 + 3(3 - a) x 2 + 9x 无极值点；若 p Ù q 为假， p Ú q 为真，则实数 a 的取值范
3 2
围是（ ）
A. (-
1 , 0)
3
B. (-
1 , 0) U[1, 5]
3
C. (0,1] D. (-
1 , 5]
3
12.已知奇函数 f ( x) 的定义域为（- ¥,0）U（0，+ ¥）， f ¢( x) 为其导函数,且满足以下条件
① x > 0 时, f ¢( x) < 3 f ( x) ；② f (1) = 1 ；③ f (2x) = 2 f ( x) ,则不等式 f (x) > 2x2 的解
x
集为 （ ）
A. (-¥,- 1 ) U ( 1 ,+¥)
2
B. (- 1 , 1 )
C. (- 1 ,+¥)
4x
D. (-¥, 1 )
4 4 4 4 4 4
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）
13. 设 点 P 在 曲 线
y = 2e x + x 上 ， 点 Q 在 直 线
y = 3x - 1 上 ， 则 PQ 的 最 小 值
为 .
ìïsin x, x Î[-p, 0]
14.已知函数 f ( x) = í
1
, 则 ò
f ( x)dx = .
îï 1 - x2 , x Î (0,1] -p
p
15.若 f ( x) = x sin x + cos x ,则 f (-3) ， f ( ) ， f (2) 的大小关系是 .
2
16. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数
f ( x), g ( x) 满 足
f ( x) = a x
g ( x)
(a > 0且a ¹ 1) ， 且
f ¢( x) g ( x) < f ( x) g ¢( x) ， f (1) +
f (-1) = 5 ，若有穷数列 f (n) (n Î N * ) 的前 n 项和等
g (1)
于 31 ，则 n 等于 .
32
g (-1) 2
g (n)
三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题 10 分）已知函数 f ( x) = cos 2 x +
（1）求 f ( x) 的最小正周期；
3 sin x cos x ．
（2）在 DABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 f ( A)= 3 ， a = 3 ， S
2
DABC = 3 ，
求 b2 + c2 的值．
18.（本小题 12 分）已知函数 f ( x) = ex - a ln x(a Î R) 在 x = 1 处取得极小值，
e
（1）求实数 a 的值；
1
（2）若在区间[ , e] 内存在 x0 ，使不等式 f ( x) < x + m 成立，求 m 的取值范围.
e
19.（本小题 12 分）在如图所示的六面体中,底面 ABCD 是矩形,平面 ABEF 是以 EF 为
直角腰的直角梯形,且 平面ABCD ^ 平面ABEF , AD= AF = 1 BE = 1 AB=2.
2 2
（1）求证: AC //平面DEF ;
（2）求直线 CE 和 平面DEF 所成角的正弦值.
20.（本小题 12 分）已知函数 f ( x) = a ln x + (a -1) x 2 + 1 ．
（1）讨论函数 f ( x) 的单调性；
（2）当 a = 1 时， f ( x) £ kx 恒成立，求实数 k 的取值范围；
21.（本小题 12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，离心率等于 1 ，它的一个短轴端点恰好
2
是抛物线 x2 = 4 3y 的焦点．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）椭圆左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B ,则 DF1 AB
的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,
请说明理由.
22.（本小题 12 分）对于函数 y = H (x) ，若在其定义域内存在 x0 ，使得 x0 × H (x0 ) = 1 成
1 2
立，则称 x0 为函数 H ( x) 的“倒数点”．已知函数 f ( x) = ln x ， g( x) = 2 ( x +1)
(1)求证：函数 f ( x) 有“倒数点”，并讨论函数 f ( x) 的“倒数点”的个数；
-1 .
(2)若当 x ³ 1时，不等式 xf ( x) £ m[ g ( x) －x] 恒成立，试求实数 m 的取值范围．
临汾一中、忻州一中2019年高二年级第二学期联考
数学试题(理科)
参 考 答 案
一、 选择题（本大题共小题，每小题分，共分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
D
C
C
B
D
C
A
C
B
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题分，共分）
13.； 14.； 15.； 16.；
三、 解答题（本大题共6小题，共70分）
17.解：
(1)
……………………………1分
……………………………2分
函数的最小正周期为. ……………………………4分
(2)由(1)知，
在△ABC中，，，
又,， ……………………………6分
又，，又 ……………………………8分
由余弦定理，解得. ……………………………10分
18.解：
（1）函数的定义域为， ……………………………2分
函数在处取得极小值，
，解得. ……………………………4分
当时，由得：
当，即时，为单调递减函数；
当，即时，为单调递增函数；
所以，函数在处取得极小值， ……………………………6分
（2）由不等式，得，令，则
由题意可转化为：在区间内，， ……………………………8分
，令，得
-
0
+
递减
极小值
递增
由表可知：的极小值是且唯一， ……………………………11分
所以，因此，所求的取值范围是 ……………………12分
19.(1)证明:连接,相交于点,取的中点,连接.
因为四边形是正方形,所以是的中点,
所以,. ……………………………2分
因为,.
所以,且.
所以四边形是平行四边形.
所以. ……………………………4分
又,,
所以. ……………………………6分
(2)解:如图，以为坐标原点，分别为轴,轴,平面内与直线垂直的直线为轴建立空间直角坐标系.
则,,,,,,
所以,, ……………………………8分
设平面的法向量为,
则 即
令,则 ……………………………10分
所以
故直线和所成角的正弦值为. ……………………………12分
20.解：（1）的定义域为，，
当时，，故在上单调递增； ……………………………2分
当时，，故在上单调递减； ……………………………4分
当时，令，解得．
则当时，；时，，
故在上单调递增，在上单调递减；………………………6分
（2），
当时，恒成立，
令，则， ……………………………8分
，得，
且当，；当，；
所以在上递增，在上递减，
所以，故． ……………………………12分
21.(1)由题意可设椭圆方程为.
则 解得.
椭圆的标准方程为. ……………………………4分
(2)设，不妨令，
设的内切圆的半径为，
则,，
因此最大，就最大， ……………………………6分
由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，
由，得,
. ……………………………8分
则.
令,则,
. ……………………………10分
令,则,
当时,,在内单调递增,有,,
即当时,,
由,得,这时所求内切圆面积的最大值为.
故直线的方程为,内切圆面积的最大值为. …………………………12分
22.解：(1)证明：设，
则，
所以在上为单调递增函数． ……………………………2分
而，，
所以函数有零点且只有一个零点．
所以函数有“倒数点”且只有一个“倒数点”． ……………………………5分
(2)等价于，
设.
则， ……………………………6分
易知的判别式为.
①当时，，在上单调递减，，符合题意；
②当时，方程有两个正根且，则函数在上单调递增，此时，
不合题意； ……………………………8分
③当时，，在上单调递增，此时，不合题意；
④当时，方程有两个负根，在上单调递增，此时，不合题意； …………………………10分
⑤当时，，在上单调递增，此时，不合题意．
综上，实数的取值范围是． ……………………………12分