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- 2021-04-26 发布
数学试卷
命题内容：集合与函数概念 指数与指数幂运算
班级 姓名 座号 成绩
说明：1、本试卷分第I、II 两卷，考试时间：60分钟 满分：100分
2、Ⅰ卷的答案用2B铅笔填涂到答题卡上；Ⅱ卷的答案用黑色签字笔填写在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，每小题只有一个答案符合题意）
1．集合M＝{y∈N|y＝﹣x2+5，x∈Z}的真子集个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|1≤x≤2}，则∁AB＝（ ）
A．{x|x≤﹣2} B．{﹣2，﹣1，0}
C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|0＜x＜2}
3．“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x＝全月总收入﹣800元，税率见下表：
级数
全月纳税所得额
税率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至2 000元部分
10%
3
超过2 000元至5 000元部分
15%
…
…
…
9
超过10 000元部分
45%
某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于（ ）
A．800～900元 B．900～1200元
C．1200～1500元 D．1500～2600元
4．已知，则f（x）的解析式为（ ）
A．，且x≠1）
B．，且x≠1）
C．，且x≠1）
D．，且x≠1）
5．已知函数，若f（a）＝10，则a的值是（ ）
A．3或﹣3 B．﹣3或5
C．﹣3 D．3或﹣3或5
6．函数f（x）＝的定义域为（ ）
A．{x|x＞0} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＜0} D．{x|0＜x≤1}
7．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A．，g（x）＝x
B．
C．
D．f（x）＝|x+1|，
8．已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．[0，2]
C．[1，2] D．（﹣∞，2]
9．设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，若x1＞0，且x1+x2＜0，则（ ）
A．f（x1）＞f（x2）
B．f（x1）＜f（x2）
C．f（x1）＝f（x2）
D．无法比较f（x1）与f（x2）的大小
10．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），
有（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0．则（ ）
A．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）
B．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
C．f（一2）＜f（1）＜f（3）
D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）
第II卷（非选择题 共50分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．已知A＝{x|x2+5x﹣6＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∪B＝A，则a的可能值构成的集合
12．化简： （用分数指数幂表示）．
13．一次函数f（x）是减函数，且满足f[f（x）]＝4x﹣1，则f（x）＝ ．
14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0]上为单调增函数．
若f（﹣1）＝﹣2，则满足f（2x﹣3）≤2的x的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共2小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（12分）（1）求函数y＝2x﹣的值域；
（2）求函数y＝的值域．
16．（18分）已知函数f（x）＝|x|•（x+a）（a∈R）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）画出函数f（x）的图像；
（3）设b＞0，根据图像若函数f（x）在区间[﹣b，b]上最大值与最小值的差为b，求b的值．
高一数学参考答案
一．选择题（共10小题）
1．集合M＝{y∈N|y＝﹣x2+5，x∈Z}的真子集个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：M＝{y∈N|y＝﹣x2+5，x∈Z}，
∵y∈N，x∈Z，∴y＝﹣x2+5≥0，x∈Z
∴，x∈Z，
因此，当x＝±2时，y＝1；当x＝±1时，y＝4；当x＝0时，y＝5，
∴M＝{1，4，5}，则M的真子集的个数是23﹣1＝7个．
故选：C．
2．已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|1≤x≤2}，则∁AB＝（ ）
A．{x|x≤﹣2} B．{﹣2，﹣1，0} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|0＜x＜2}
【解答】解：A＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，
则∁AB＝{x|﹣2≤x＜1}，
故选：C．
3．“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x＝全月总收入﹣800元，税率见下表：
级数
全月纳税所得额
税率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至2 000元部分
10%
3
超过2 000元至5 000元部分
15%
…
…
…
9
超过10 000元部分
45%
某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于（ ）
A．800～900元 B．900～1200元
C．1200～1500元 D．1500～2600元
【解答】解法一：（估算法）由500×5%＝25元，100×10%＝10元，故某人当月工资应在1300～1400元之间，故选C．
解法二：（逆推验证法）设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为400×5%＝20（元），500×5%+200×10%＝45（元）．可排除A、B、D，故答案为C．
故选：C．
4．已知，则f（x）的解析式为（ ）
A．，且x≠1） B．，且x≠1）
C．，且x≠1） D．，且x≠1）
【解答】解：设 ＝t，（t≠0），则x＝，
∴f（t）＝＝；
∴f （x）的解析式为
f（x）＝，（x≠0且x≠﹣1）；
故选：C．
5．已知函数y＝，若f（a）＝10，则a的值是（ ）
A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5
【解答】解：若a≤0，则f（a）＝a2+1＝10
∴a＝﹣3（a＝3舍去）
若a＞0，则f（a）＝2a＝10
∴a＝5
综上可得，a＝5或a＝﹣3
故选：B．
6．函数f（x）＝的定义域为（ ）
A．{x|x＞0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1或x＜0} D．{x|0＜x≤1}
【解答】解：要使f（x）有意义，则：；
解得x≥1；
∴f（x）的定义域为{x|x≥1}．
故选：B．
7．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A．，g（x）＝x
B．
C．
D．f（x）＝|x+1|，g（x）＝
【解答】解：对于A，f（x）＝＝|x|，与g（x）＝x的对应关系不同，∴不是同一函数；
对于B，f（x）＝（x≥2或x≤﹣2），与g（x）＝＝（x≥2）的定义域不同，
∴不是同一函数；
对于C，f（x）＝x（x∈R），与g（x）＝＝x（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数；
对于D，f（x）＝|x+1|＝，与g（x）＝的定义域相同，
对应关系也相同，是同一函数．
故选：D．
8．已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．[0，2] C．[1，2] D．（﹣∞，2]
【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示，
当x＝1时，y最小，最小值是2，当x＝2时，y＝3，
函数f（x）＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上上有最大值3，最小值2，
则实数m的取值范围是[1，2]．
故选：C．
9．设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，若x1＞0，且x1+x2＜0，则（ ）
A．f（x1）＞f（x2）
B．f（x1）＜f（x2）
C．f（x1）＝f（x2）
D．无法比较f（x1）与f（x2）的大小
【解答】解：f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，
故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．
若x1＞0，且x1+x2＜0，则 x2＜﹣x1＜0，
∴f（ x2）＞f（﹣x1）＝f（ x1），
故选：B．
10．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0．则（ ）
A．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） B．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
C．f（一2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）
【解答】解：由题意得，对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣2）＝f（2），
∵0＜1＜2＜3，∴f（1）＞f（2）＞f（3），
故选：D．
二．填空题（共4小题）
11．已知A＝{x|x2+5x﹣6＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∪B＝A，则a的可能值构成的集合
{0，1，﹣ }．
【解答】解：A＝{x|x2+5x﹣6＝0}＝{x|x＝﹣6或x＝1}＝{1，﹣6}；
∵A∪B＝A，∴B⊆A；
当a＝0时，B＝∅，满足条件；
当a≠0时，B≠∅，此时B＝{}，则＝1，或＝﹣6；
则a＝1，或a＝﹣；
∴实数a的值为0，1，﹣．
故答案为：．
12．化简： （用分数指数幂表示）．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
13．一次函数f（x）是减函数，且满足f[f（x）]＝4x﹣1，则f（x）＝ ﹣2x+1 ．
【解答】解：由一次函数f（x）是减函数，可设f（x）＝kx+b（k＜0）．
则f[f（x）]＝kf（x）+b＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b，
∵f[f（x）]＝4x﹣1，
∴
解得k＝﹣2，b＝1
∴f（x）＝﹣2x+1．
故答案为：﹣2x+1
14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0]上为单调增函数．若f（﹣1）＝﹣2，则满足f（2x﹣3）≤2的x的取值范围是 （﹣∞，2] ．
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0]上为单调增函数，
则在f（x）在[0，+∞）上也是增函数，
故函数f（x）R上也是增函数；
又由f（﹣1）＝﹣2，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝2，
则f（2x﹣3）≤2⇒2x﹣3≤1，
解可得x≤2，
即不等式的解集为（﹣∞，2]；
故答案为：（﹣∞，2]．
三．解答题（共2小题）
15．（1）求函数y＝2x﹣的值域；
（2）求函数y＝的值域．
【解答】解：（1）设t＝（t≥0），则y＝，
∵t≥0，∴y≥，
∴函数y＝2x﹣的值域为[，+∞）；
（2）函数y＝＝3﹣≠3
∴函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
16．16．已知函数f（x）＝|x|•（x+a）（a∈R）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）画出函数f（x）的图像；
（3）设b＞0，根据图像若函数f（x）在区间[﹣b，b]上最大值与最小值的差为b，求b的值
【解答】解：（I）∵函数f（x）＝|x|•（x+a）（a∈R）是奇函数
∴f（0）＝0，
∴a＝0．
（3）函数f（x）＝|x|•x（a∈R）在区间[﹣b，b]上增函数，
函数f（x）在区间[﹣b，b]上最大值与最小值分别为：b2，﹣b2，
∴b2+b2＝b．
∴b＝．