2018届二轮复习第二篇第2讲填空题的解法技巧课件（全国通用） 34页

第 2 讲　填空题的解法技巧 第二篇　掌握技巧，快速解答客观题 填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力 . 由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是 “ 准 ” ，然后才是 “ 快 ” 、 “ 巧 ” ，要合理灵活地运用恰当的方法，不可 “ 小题大做 ”. 题型概述 栏目索引 方法一　直接法 方法二　特例法 方法 三 　数形结合法 方法 四 　构造法 方法五　正反互推法 直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法 . 要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题 . 直接法是求解填空题的基本方法 . 方法一　直接法 解析答案 解析　 ∵ a ≥ 1 时， f ( a ) ≤ 1 ，不适合 . ∴ f ( a ) ＝ log 2 (1 － a ) ＋ 1 ＝ 3 ， ∴ a ＝－ 3. － 3 思维升华 解析　 由余弦定理： 解析答案 1 利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键 . 思维 升华 解析　 由题意，得 | PQ | ＝ 16 ，线段 PQ 过双曲线的右焦点，则 P ， Q 都在双曲线的右支上 . 由双曲线的定义，可知 | PF | － | PA | ＝ 2 a ， | QF | － | QA | ＝ 2 a ，两式相加，得， | PF | ＋ | QF | － (| PA | ＋ | QA |) ＝ 4 a ， 则 | PF | ＋ | QF | ＝ 4 a ＋ | PQ | ＝ 4 × 3 ＋ 16 ＝ 28 ， 故 △ PQF 的周长为 44. 44 解析答案 (2)(2015· 安徽 ) 已知数列 { a n } 是递增的等比数列， a 1 ＋ a 4 ＝ 9 ， a 2 a 3 ＝ 8 ，则数列 { a n } 的前 n 项和等于 ________. 解析　 由等比数列性质知 a 2 a 3 ＝ a 1 a 4 ，又 a 2 a 3 ＝ 8 ， a 1 ＋ a 4 ＝ 9 ， 又数列 { a n } 为递增数列， ∴ a 1 ＝ 1 ， a 4 ＝ 8 ， 从而 a 1 q 3 ＝ 8 ， ∴ q ＝ 2. 2 n － 1 解析答案 返回 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值 ( 特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等 ) 进行处理，从而得出待求的结论 . 这样可大大地简化推理、论证的过程 . 方法二　特例法 例 2 　 (1)cos 2 α ＋ cos 2 ( α ＋ 120°) ＋ cos 2 ( α ＋ 240°) 的值为 ________. 解析　 令 α ＝ 0° ， 则原式＝ cos 2 0° ＋ cos 2 120° ＋ cos 2 240° ＝ . 解析答案 (2) 如图，在三棱锥 O — ABC 中，三条棱 OA ， OB ， OC 两两垂直，且 OA > OB > OC ，分别经过三条棱 OA ， OB ， OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 S 1 ， S 2 ， S 3 ，则 S 1 ， S 2 ， S 3 的大小关系 为 ____ __ ______. 解析　 要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点 E ， F ， G 分别为中点即可 . 故可以将三条棱长分别取为 OA ＝ 6 ， OB ＝ 4 ， OC ＝ 2 ， 如图，则可计算 S 1 ＝ 3 ， S 3 < S 2 < S 1 思维升华 解析答案 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解 . 思维 升华 4 解析答案 (2) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) ，且在区间 [0,2] 上是增函数，若方程 f ( x ) ＝ m ( m >0) 在区间 [ － 8,8] 上有四个不同的根 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ，则 x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＋ x 4 ＝ ________. 解析答案 再由图象可得 ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ ( x 3 ＋ x 4 ) ＝ ( － 6 × 2) ＋ (2 × 2) ＝－ 8. － 8 返回 对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果 . 这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形 . 方法三　数形结合法 解析答案 解析　 画出可行域如图，所求的 x 2 ＋ y 2 － 6 x ＋ 9 ＝ ( x － 3) 2 ＋ y 2 是点 Q (3,0) 到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为 Q 到射线 x － y － 1 ＝ 0( x ≥ 0) 的距离 d 的平方， ∴ 取值范围是 [2,16] . [2,16] 解析　 画出函数 y ＝ g ( x ) 的图象 ( 如图 ). 思维升华 解析答案 由图知，当函数 y ＝ g ( x ) 和 y ＝ k 的图象有两个交点时， k >1. (1 ，＋ ∞ ) 数形结合法可直观快捷地得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数 . 数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系 . 思维 升华 解析答案 跟踪演练 3 　 (1)(2015· 湖南 ) 若函数 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 ________. 解析　 将函数 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b 的零点个数问题转化为函数 y ＝ |2 x － 2| 的图象与直线 y ＝ b 的交点个数问题，数形结合求解 . 由 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b ＝ 0 ， 得 |2 x － 2| ＝ b . 在同一平面直角坐标系中画出 y ＝ |2 x － 2| 与 y ＝ b 的 图 象 ，如图所示 . 则当 0< b <2 时，两函数图象有两个交点，从而函数 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b 有两个零点 . (0,2) 由图象知，函数 f ( x ) 有两对 “ 和谐点对 ”. 解析答案 2 返回 用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程 . 构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知 ( 例如代数式 ) 形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景 ( 几何背景、代数背景 ) ，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的 . 方法四　构造法 例 4 　 (1) 如图，已知球 O 的球面上有四点 A ， B ， C ， D ， DA ⊥ 平面 ABC ， AB ⊥ BC ， DA ＝ AB ＝ BC ＝ ， 则球 O 的体积等于 ________. 解析答案 (2) 若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ＋ f ′ ( x )>1 ， f (0) ＝ 4 ，则不等式 f ( x )> ＋ 1(e 为自然对数的底数 ) 的解集为 _______ ___ _. 思维升华 解析答案 对 F ( x ) 求导得 F ′ ( x ) ＝ e x f ( x ) ＋ e x f ′ ( x ) － e x ＝ e x [ f ( x ) ＋ f ′ ( x ) － 1 ] . 由 f ( x ) ＋ f ′ ( x )>1 ， e x >0 ，可知 F ′ ( x )>0 ，即 F ( x ) 在 R 上单调递增 ， 又 因为 F (0) ＝ e 0 f (0) － e 0 － 3 ＝ f (0) － 4 ＝ 0 ， 所以 F ( x )>0 的解集为 (0 ，＋ ∞ ). (0 ，＋ ∞ ) 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题 . 在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧 . 通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等 . 思维 升华 解析答案 (2) 已知三个互不重合的平面 α 、 β 、 γ ， α ∩ β ＝ m ， n ⊂ γ ，且直线 m 、 n 不重合，由下列三个条件： ① m ∥ γ ， n ⊂ β ； ② m ∥ γ ， n ∥ β ； ③ m ⊂ γ ， n ∥ β . 能推得 m ∥ n 的条件是 ________. 解析 √ √ 返回 解析　 构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件 ② ：取平面 α 为平面 ADD ′ A ′ ，平面 β 为平面 ABCD ，则直线 m 为直线 AD . 因为 m ∥ γ ，故可取平面 γ 为平面 A ′ B ′ C ′ D ′ ， 因为 n ⊂ γ 且 n ∥ β ，故可取直线 n 为直线 A ′ B ′ . 则直线 AD 与直线 A ′ B ′ 为异面直线，故 m 与 n 不平行 . 对于 ① ： α 、 β 取 ② 中平面，取平面 γ 为平面 BCC ′ B ′ ，可取直线 n 为直线 BC ，故可推得 m ∥ n ； 对于 ③ ： α ， β 取 ② 中平面，取 γ 为平面 AB ′ C ′ D ，取直线 n 为直线 B ′ C ′ ，故可推得结论 . 返回 多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论 . 这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论 . 方法五　正反互推法 例 5 　 已知 f ( x ) 为定义在 R 上的偶函数，当 x ≥ 0 时，有 f ( x ＋ 1) ＝－ f ( x ) ，且当 x ∈ [0,1) 时， f ( x ) ＝ log 2 ( x ＋ 1) ，给出下列命题： ① f (2 016) ＋ f ( － 2 017) 的值为 0 ； ② 函数 f ( x ) 在定义域上为周期是 2 的周期函数； ③ 直线 y ＝ x 与函数 f ( x ) 的图象有 1 个交点； ④ 函数 f ( x ) 的值域为 ( － 1,1). 其中正确的命题序号有 ________. √ 解析 √ √ 思维升华 解析　 根据题意，可在同一坐标系中画出直线 y ＝ x 和函数 f ( x ) 的图象如下： 根据图象可知 ① f (2 016) ＋ f ( － 2 017) ＝ 0 正确， ② 函数 f ( x ) 在定义域上不是周期函数，所以 ② 不正确 ， ③ 根据图象确实只有一个交点，所以正确 ， ④ 根据图象，函数 f ( x ) 的值域是 ( － 1,1) ，正确 . 思维升华 正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能 . 两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断 . 利用正反互推结合可以快速解决这类问题 . 思维 升华 跟踪演练 5 　 如图，矩形 ABCD 中， AB ＝ 2 AD ， E 为边 AB 的中点，将 △ ADE 沿直线 DE 翻折成 △ A 1 DE ，若 M 为线段 A 1 C 的中点，则在 △ ADE 翻折过程中，下面四个选项中正确的是 ____________.( 填写所有的正确选项 ) 解析 ① BM 是定值； ② 点 M 在某个球面上运动； ③ 存在某个位置，使 DE ⊥ A 1 C ； ④ 存在某个位置，使 MB ∥ 平面 A 1 DE . √ √ √ 返回 解析　 取 CD 中点 F ，连接 MF ， BF ， 则 MF ∥ DA 1 ， BF ∥ DE ， ∴ 平面 MBF ∥ 平面 A 1 DE ， ∴ MB ∥ 平面 A 1 DE ，故 ④ 正确； 由 ∠ A 1 DE ＝ ∠ MFB ， MF ＝ A 1 D 为定值， FB ＝ DE 为定值，由余弦定理可得 MB 2 ＝ MF 2 ＋ FB 2 － 2 MF · FB ·cos ∠ MFB ， ∴ MB 是定值，故 ① 正确； ∵ B 是定点， ∴ M 是在以 B 为圆心， MB 为半径的圆上，故 ② 正确； ∵ A 1 C 在平面 ABCD 中的射影在 AC 上， AC 与 DE 不垂直， ∴ 存在某个位置，使 DE ⊥ A 1 C 错误，故 ③ 错误 . 返回