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- 2021-04-26 发布
承德一中2018-2019学年高二年级第三次月考
数学（文）试卷
一、选择题
1.已知复数(i为虚数单位)，则（ ）
（A）3 （B）2 （C） （D）
2.设集合，，则（ ）
A．(4,+∞) B．(－∞,1] C．(1,4] D．(2,4)
3.某演绎推理的“三段”分解如下：①函数是减函数；②指数函数是减函数；
③函数是指数函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是（ ）
A．①→②→③ B．③→②→① C．②→①→③ D．②→③→①
4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的a值为5，则输出的值为（ ）
A．19 B．35 C．67 D．198
5.曲线在点（1，1）处的切线方程为=（ ）
A．—4 B．—3 C．4 D．3
6.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班60名学生进行问卷调查，得到如下图所示的2×2列联表，则至少有（ ）的把握认为喜爱打篮球与性别有关.
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
25
5
30
女生
15
15
30
合计
40
20
60
附参考公式： ，.
A．99.9% B．99.5% C． 99% D． 97. 9%
7.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8.若复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9.函数，那么函数的定义域为（ ）
A．[0,+∞) B．(0,+∞) C．[1,+∞) D．(1,+∞)
10.已知,函数与函数的图象可能是( )
A B C D
11.已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．(－2,+∞) B．(－∞,－2) C．(－1,+∞) D． (－∞, －1)
12.定义在R上的偶函数的导函数为,若对任意的正实数,都有
恒成立,则使成立的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是.
由，，，…，可推出 ．
14.已知函数，且，则 ．
15.已知命题p:函数在(0,1)内恰有一个零点；命题q:函数在(0,+∞)上是减函数，若为真命题，则实数a的取值范围是 ．
16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，为奇函数，，当时，，则在区间(4，5)内满足方程的实数x的值为 ．
三、解答题
17.（12分）已知命题p：，且，命题q：且
（１）若，求实数a的取值范围；
（２）若是的充分条件，求实数a的取值范围。
18.（12分）已知函数
(1)当在[1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)当处取得极值，求函数f(x)在[1,a]上的值域.
19.（14分）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据
年份
2002
2004
2006
2008
2010
需求量（万吨）
236
246
257
276
286
（I）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程；
（Ⅱ）利用（I）计算2002年和2006年粮食需求量的残差；
（Ⅲ）利用（I）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。
公式：
20.（12分）已知函数
（1）当时，证明：函数只有一个零点；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
选做题（1）（从21,22题中任意选一个题目作答，10分）
21.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）若，解不等式；
（Ⅱ）对任意满足的正实数m、n，若总存在实数，使得成立，求实数a的取值范围.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线C1的普通方程为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线C1的参数方程和C2的普通方程；
（Ⅱ）若P、Q分别是曲线C1、C2上的动点，求的最大值.
选做题（2）（从23,24题中任意选一个题目作答，10分）
23.选修4-5：不等式选讲
已知.
（I）求不等式的解集；
（II）若关于x的不等式有解，求实数m的取值范围.
24.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（2）若点是直线l上的动点，过P作直线与圆C相切，切点分别为A、B，若使四边形PACB的面积最小，求此时点P的坐标.
试卷答案
1. D
2. C因为，所以，因此，故选C.
3.D按照演绎推理的三段论模式可得，已知指数函数是减函数，因为函数是指数函数，所以函数是减函数，即排序正确的是②→③→①，故选D.
4.C
模拟程序的运行，可得:
此时否则输出结果为67
故选C.
5.C
6.C
根据所给的列联表，
得到，
至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关，故选C.
7.A
8.D
9.D
10.C
由于，故互为倒数，而，，故的单调性相同，四个选项中，单调性相同的是C选项，故选C.
11.A
分析：先判断函数f(x)的奇偶性，再利用导数求函数f(x)的单调性，再解不等式得解.
详解：由题得 =-f(x),所以函数f(x)是奇函数.
由题得 .
所以当x>0时， 函数在 单调递减，
因为函数是奇函数，所以函数在 单调递减，
因为 ，
所以f(2x+3)<-f(1)=f(-1),
所以2x+3>-1,所以x>-2.
故答案为：A
12.A
设，则 ，由已知当时，，∴在上是减函数，又∵是偶函数，∴也是偶函数，，
不等式即为，即，
∴，∴，即．
故选A．
13. 271
14. 6
函数，且，
，即，
，
， ，故答案为6.
15.
命题p：函数f（x）=2ax2﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点，
则f（0）f（1）=﹣（2a﹣2）＜0，解得a＞1；
命题q：函数y=x2﹣a在（0，+∞）上是减函数，2﹣a＜0，解得a＞2．
∴￢q：a∈（﹣∞，2]．
∵p且￢q为真命题，∴p与￢q都为真命题，
∴ 解得1＜a≤2．
则实数a的取值范围是（1，2]．
故答案为：（1，2]．
16.
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x+1)为奇函数，
∴f(-x)=f(x)，f(-x+1)=-f(x+1)，
∴f(2+x)=-f(-x)=-f(x)，
∴f(x+4)=f(x)，函数的周期为，
由题意可得：，则，
当时，，由可得，
据此可得原方程的解为：.
17.（１）依题得：………
由得：，所以…………
（２）若是的充分条件
所以：p是q的充分条件，即…………
所以：…………
得…………
18.解：(1), ……………
因为在上是增函数，
所以在区间上横成立，……………
即在区间上横成立，……………
令 ，，在上单调增函数.
所以 ……………
(2) ，
因为处取得极值，所以=0，得出……………
,令.……………
在上为减函数，在上增函数，……………
又……………
所以，函数上的值域为.……………
19.本题考查了统计的知识:线性回归方程的求解.难度不大,只需带入试卷表头给的公式即可求解.
(Ⅰ)由题意得,,
,
,∴年需求量与年份之间的回归直线方程为.
(Ⅱ)残差1.8和-3.2
(Ⅱ)当时代入上式可得 .
∴可预测该地2012年的粮食需求量为万吨.
20.解析：（Ⅰ）当a=1时，，其定义域是，
………
令，即，解得或．
，舍去．
当时，；当时，．
∴函数在区间（0，1）上单调递增，在区间上单调递减
∴当x=1时，函数取得最大值，其值为．
当时，，即．
∴函数只有一个零点． ………………
（Ⅱ）因为其定义域为，
所以……
①当a=0时，在区间上为增函数，不合题意
②当a>0时，等价于，即．
此时的单调递减区间为．
依题意，得解之得． …………………
③当a<0时，等价于，即·
此时的单调递减区间为，得
综上，实数a的取值范围是
四选二
1.（Ⅰ）时，
法一：由绝对值不等式的几何意义得不等式的解集为．
法二：当时，由得，则；
当时，恒成立；
当时，由得，则.
综上，不等式的解集为. ……………………5分
（Ⅱ）由题意，……………………7分
由绝对值不等式得，当且仅当时取等号，故的最小值为.……………………9分
由题意得，解得. ……………………10分
2.解：
（I）等价于 ①
或 ② 或③
由①得 由②得 由③得，无解
∴不等式的解集为……………………………………6分
（II），
的图象如图：
其中，
∴的最小值为4，
由题意知
即
∴或………………………………..12分
3.解：（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数）. ……………………2分
曲线的极坐标方程为，即，
∴曲线的直角坐标方程为，即. ……………………5分
（Ⅱ）法一：设，则到曲线的圆心的距离
，
∵，∴当时，.
∴. ……………………10分
法二：设，则到曲线的圆心的距离
，
∵，∴当时，.
∴. ……………………10分
4.解：（1）直线的参数方程为（为参数），
消去参数得直线的普通方程为.
由，
两边同乘得，，
∴，
∴圆的直角坐标方程为.
（2）依题意，若使四边形的面积最小，则的面积要最小，
由，其中等于圆的半径，
∴要使的面积要最小，只需最小即可，
又，
∴若最小，则最小，
又点为圆心，点是直线上动点，∴当最小时，，
设，
∴，解得，
∴当四边形的面积最小时，点的坐标为.