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- 2021-04-26 发布
广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练
圆锥曲线
一、选择、填空题
1、（广州市2018届高三3月综合测试（一））椭圆上一动点到定点的距离的最小值为
A． B． C． D．
2、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考），若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
3、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）已知分别为双曲线 的左顶点、右焦点以及右支上的动点,若恒成立，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. 2 D.
4、（仲元中学等七校2019届高三第一次（8月）联考）双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是1:2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
5、（广州市2019届高三3月综合测试（一））已知双曲线的一条渐近线过点，则C的离心率为
A. B. C. D.3
6、（广州市2019届高三12月调研）已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为
A． B． C． D．
7、（惠州市2019届高三4月模拟）已知圆与抛物线交于、两点，与抛物线的准线交于、两点，若四边形是矩形，则等于（ ）
A． B． C． D．
8、（江门市 2019届普通高中高三调研）已知双曲线的一个顶点为，一个焦点为，过作垂直于实轴的直线交双曲线于、，是坐标原点，若、、成等比数列，则双曲线的离心率 ．
9、（惠州市2019届高三第三次调研）已知双曲线：的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
10、（揭阳市2019届高三学业水平考试）若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为
A． B． C． D．
11、（雷州市2019届高三上学期期末）已知双曲线C： 的离心率为 ，则C的渐近线方程为
A． B． C． D．
12、（汕头市2019年普通高考第一次模拟）已知圆O:x2 + y2 = 4 ( O为坐标原点)经过椭圆C:的短轴端点和两个焦点， 则椭圆C 的标准方程为
A． B． C． D．
13、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）已知双曲线
的离心率为2，左右焦点分别为，点在双曲线上，若的周长为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
14、（湛江市2019届高三调研）双曲线的焦点到渐近线的距离为
A． B． C． D．
15、（肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测）已知双曲线的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在上，则的方程为
A． B． C． D．
16、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为B、A、F，中心为O，其离心率为，则
A． B．
C． D．
17、（珠海市2019届高三上学期期末）双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
18、（佛山市2019届高三教学质量检测（一））已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x﹣y+1＝0，F是C的焦点，P是l上一点过P作抛物线C的一条切线与y轴交于Q，则△PQF外接圆面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．2π
19、（广州市2019届高三3月综合测试（一））已知F为抛物线的焦点，过点F的直线与C相交于A，B两点，且，则
A.6 B.8 C.10 D.12
20、（广州市2019届高三12月调研）已知椭圆Γ： 的长轴是短轴的2倍，过右焦点F且斜率为的直线与Γ相交于A，B两点．若，则
A. B. C. D.
21、（汕头市2019年普通高考第一次模拟）设双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2， 过 F1 的直线l 交双曲线左支于 A、 B两点， 则| AF2 | + | BF2 |的最小值等于 ___________
22、（佛山市2019届高三教学质量检测（一））已知双曲线（a＞0）的离心率为a，则该双曲线的渐近线为 ．
参考答案：
一、选择、填空题
1、B 2、D 3、C 4、B 5、C
6、B 7、C 8、 9、D 10、C
11、C 12、B 13、B 14、C 15、B
16、A 17、B 18、A 19、B 20、D
21、答案：16
解析：由双曲线的定义，可知：｜AF2｜－｜AF1｜＝2a，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a，
22、
二、解答题
1、（广州市2018届高三3月综合测试（一））已知两个定点和，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若，为（1）中轨迹上两个不同的点，为坐标原点．设直线，，的斜率分别为，，．当时，求的取值范围．
2、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆内一点的直线的斜率为，且与椭圆交于两点，设直线， （为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，
求实数的取值范围．
3、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）如图，已知，分别为椭圆：的上、下焦点，是抛物线：的焦点，点是与在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）与圆相切的直线：（其中）交椭圆于点，，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．
4、（仲元中学等七校2019届高三第一次（8月）联考）已知，是椭圆：的左、右焦点，恰好与抛物线的焦点重合，过椭圆的左焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，过斜率为的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
5、（广州市2019届高三3月综合测试（一））已知椭圆的一个焦点为
，点在C上。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形?若在在，求点M的坐标:若不存在，说明理由。
6、（广州市2019届高三12月调研）已知动圆过定点，且与定直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点，试探究在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
7、（惠州市2019届高三4月模拟）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线、，其中直线交椭圆于P、Q两点，直线交直线于M点，求证：直线OM平分线段PQ．
8、（江门市 2019届普通高中高三调研）过抛物线：的焦点的直线交抛物线于两点、，线段的中点为．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）经过坐标原点的直线与轨迹交于、两点，与抛物线交于点（），若，求直线的方程．
9、（惠州市2019届高三第三次调研）已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若椭圆的右焦点到直线的距离是3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与该椭圆交于另一点，当弦的长度最大时，
求直线的方程.
10、（揭阳市2019届高三学业水平考试）设椭圆的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN=60°，求点M的坐标．
11、（雷州市2019届高三上学期期末）如图，已知抛物线：和⊙ ，过抛
线上一点 作两条直线与⊙相切于A、B两点，分别交抛物线于E、
F两点，圆心点到抛物线准线的距离为 ．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当 的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（Ⅲ）若直线AB在轴上的截距为，求的最小值．
12、（汕头市2019年普通高考第一次模拟）已知抛物线 C 的标准方程为 y2 = 2 px( p > 0)， M 为抛物线 C 上一动点， A(a,0)(a ¹ 0) ，直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N． 当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时， DMON 的面积为 18。
(1)求抛物线 C 的标准方程；
(2)记t＝， 若 t 值与 M 点位置无关， 则称此时的点 A 为“稳定点”．请问：
是否存在“稳定点”， 若存在， 请求出所有的“稳定点” ， 若不存在， 请说明理由．
13、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）已知椭圆:，若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
（1）求椭圆的离心率；
（2）如图，若直线与椭圆相交于且是圆的一条直径，求椭圆的标准方程.
14、（湛江市2019届高三调研）已知椭圆：（）的离心率，且右焦点为．斜率为的直线与椭圆交于、两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求的面积．
15、（肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测）已知椭圆经过点，左焦点，直线与椭圆交于两点，是坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求面积的最大值.
16、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点在抛物线上且异于原点，点为直线上的点，且．求直线与抛物线的交点个数，并说明理由．
17、（珠海市2019届高三上学期期末）动圆过定点，且与直线相切，设动圆圆心
的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线交曲线于两个不同的点，过点分别作曲线的切线，且二者相交于点，若直线的斜率为，求直线的方程.
参考答案：
二、解答题
1、
2、解：（Ⅰ）椭圆的离心率，所以，……1分
又点在椭圆上，所以，解得，，……3分
∴椭圆的方程为．……4分
（Ⅱ）设直线的方程为．
由，消元可得，……5分
设，，则，，……6分
……7分
= ……8分
由，得，
∵此等式对任意的都成立，所以，……9分
即．
由题意得点在椭圆内，故，……10分
即，解得．……11分
∴实数的取值范围是．……12分
3、解：（1）由题意得，所以，又由抛物线定义可知，
得，于是易知，从而，
由椭圆定义知，，得，故，
从而椭圆的方程为．
（2）设，，，则由知，，，
且，①
又直线：（其中）与圆相切，所以有，
由，可得（，），②
又联立消去得，且恒成立，
且，，
所以，
所以得，代入①式，得，
所以，
又将②式代入得，，，，
易知，且，所以．
4、（1）解：由题意，把代入椭圆，
得，
因此椭圆方程为. ……4分
（2）直线方程为：，代入椭圆方程，
并整理得， ……5分
设则有， ……6分
点到直线AB的距离d ……9分
……10分
令则
时，的面积取得最大值为，此时． ……12分
5、
6、（1）解法1：依题意动圆圆心到定点的距离，与到定直线的距离相等，…1分
由抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，…2分
其中．动圆圆心的轨迹的方程为． ………………………3分
解法2：设动圆圆心，依题意：. ……………………2分
化简得：，即为动圆圆心的轨迹的方程． ………………………3分
（2）解：假设存在点满足题设条件．
由可知，直线与的斜率互为相反数，即 ① …4分
直线的斜率必存在且不为，设, …………………………5分
由得． ……………………………6分
由,得或． ……………………………7分
设，则． …………………………………8分
由①式得,
,即．
消去，得, ………………………………………9分
, …………………………………………………10分
, ……………………………………………………11分
存在点使得． ……………………………………………12分
7、【解析】（1）由得，所以…………1分
由点在椭圆上得解得， …………2分
…………3分
所求椭圆方程为…………4分
（2）解法一：当直线的斜率不存在时，直线平分线段成立…………5分
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立方程得，消去得………6分
因为过焦点，所以恒成立，设，，
则，…………7分
…………8分
所以的中点坐标为…………9分
直线方程为，，可得，…………10分
所以直线方程为，
满足直线方程，即平分线段…………11分
综上所述，直线OM平分线段PQ…………12分
（2）解法二：因为直线与x=4有交点，所以直线的斜率不能为0，
可设直线方程为，…………5分
联立方程得，消去得…………6分
因为过焦点，所以恒成立，设，，
，…………7分
…………8分
所以的中点坐标为…………9分
直线方程为，，由题可得，…………10分
所以直线方程为，
满足直线方程，即平分线段…………11分
综上所述，直线OM平分线段PQ…………12分
8、（Ⅰ）依题意，，设直线的方程为（）……1分
由得，即 ……2分
设、，则， ……3分
设，则， ……4分
消去参数得，动点的轨迹方程为 ……5分
（方法二）设、、，则
， ……2分
当时，，即 ……3分
依题意，，，
所以，（） ……4分
当时，的中点为也满足上式，所以，动点的轨迹的方程为 ……5分
（Ⅱ）设直线的方程为（），
由得，或，即 ……6分
由得， ……7分
设、，则，， ……8分
……9分
由得 ……11分
解得（），，直线的方程为 ……12分
9、【解析】（1）由题意，， …………1分
右焦点到直线的距离,，……2分
………………3分
∵椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为 ………………4分
（2）〖解法1〗当不存在时， ………………5分
当存在时，设直线方程为，联立，得，…………6分
………………7分
………………8分
令则………………9分
所以，当，即，得时…………10分
的最大值为，即的最大值为…………11分
直线的方程为. ………………12分
（2）〖解法2〗设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），……5分
设点对应的参数分别为，且;
将参数方程代入椭圆方程可得：，
化简可得：，…………6分
若，则上面的方程为，则,矛盾；…………7分
若，则，，
则弦长为………8分
上式，…………9分
……10分
当且仅当即或，时等号成立. …………11分
直线方程为：或.…………12分
10、解：（1）依题意知,,------------------------------------------------------------------1分
∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，
∴，即，--------------------------------3分
∴椭圆的方程为.-----------------------------------------4分
（2）由（1）知，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，
设直线BN的方程为，
则直线BM的方程为：，------------------------------------------------------------5分
由消去y得，----------------------------------------------6分
解得：，,---------------------------------------------------------------7分
∴
∴,------------------------------------------------8分
【注：学生直接代入弦长公式不扣分！】
在中，令得，即
∴，-----------------------------------------------------------------------------------9分
在Rt△MBN中，∵∠BMN=60°，∴,
即，整理得，
解得，∵，∴，------------------------------------------------------11分
∴点M的坐标为.---------------------------------------------------------------------------12分
11、解：（Ⅰ）∵点到抛物线准线的距离为 ，…………………………………1分
∴ ，即抛物线的方程为．…………………………………………………3分
（Ⅱ）∵当的角平分线垂直轴时，点 ，
∴ ，…………………………………………………………………………………4分
设 ， ，
∴ ， ∴ ，…………………………………5分
∴ ．………………………………………………………………………6分
．…………………………………………………7分
（Ⅲ）设点 ， ，．
以为圆心，为半径的圆方程为 ，……①
⊙方程：．……② ………………………………………………………9分
-②得：
直线的方程为 ．……………10分
当时，直线在轴上的截距 ，
∵关于的函数在单调递增， ∴．………………………………12分
12、
13、解：（1）由题意知点坐标为，代入椭圆方程可得，即，……… 2分
∴， ∴，∴．……………… 4分
（2）设椭圆方程为，直线为，…………… 5分
（*）
……………… 8分
又
则……………… 10分
解得，此时，
所以椭圆方程为 ……………… 12分
14、解：（Ⅰ）由已知得，，解得． ………………………………1分
，…………………………………………………………………2分
∴椭圆的标准方程．…………………………………………………4分
（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程得
…………①， ………………………………………6分
设、，中点为，………………………7分
则，．……………………………………8分
因为是等腰的底边，所以． ………………………………9分
所以的斜率为，解得，
此时方程①为． …………………………………………………10分
解得，，所以，，所以，
此时，点到直线：的距离
， ………………………………………………………11分
所以的面积． ……………………………………12分
15、解：（1） 依题意可得解得，右焦点，
，所以，
所以椭圆的标准方程为. …………3分
（2）设，由得
由得， …………6分
到的距离
…………9分
当且仅当，即时，得，
面积取得最大值. …………12分
16、解：（1）抛物线的准线方程为，……………………………………1分
所以点到焦点的距离为．…………………………………2分
解得． …………………………………………………………3分
所以抛物线的方程为．………………………………………………4分
（2）直线与抛物线只有一个交点，理由如下：……………………………5分
设点为，点为，焦点为．……………………6分
则，．由题意可得，…………7分
故 ．从而．……………………………… 8分
故直线的斜率 ．…………………………………………9分
故直线的方程为，即．①………10分
又抛物线的方程，②
联立消去得 ，故，且．……………………11分
故直线与抛物线只有一个交点．………………………………………12分
17、解：（1）设点，则
平方整理得：————————————————2分
（2）由题意可知直线的斜率一定存在，否则不与曲线有两个交点
设方程为，且设点———————4分
得——————————————5分
则得————————————————6分
由得： 所以
∴直线AM的方程为： ①
直线BM的方程为： ②————————————————8分
①－②得：，又，
解得，，所以—————————10分
又，所以直线的斜率为，解得
直线的方程为————————————————12分