2013年普通高等学校招生全国统一考试 理数（北京卷）（含答案） 14页

WWW.ziyuanku.com 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回.‎ 第一部分 （选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B= ( )‎ A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}‎ ‎[答案]B ‎[解析]因为所以.‎ ‎[考点定位]集合的表示，集合的运算.‎ ‎2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )‎ A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 ‎3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的” （ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）‎ A.1 B. C. D.‎ ‎[答案]C ‎[解析]第一次执行循环：,；‎ ‎5.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）‎ A.y=±2x B.y= C. D.‎ ‎7.直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（ ）‎ A. B.2 C. D.‎ ‎[答案]C ‎8.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 思想.‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.在极坐标系中，点(2，)到直线ρsinθ=2的距离等于 ‎ ‎11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，PA=3，，则PD= ，AB= .‎ ‎，解得，故，，又PA=3，由勾股定理，得.‎ ‎[考点定位]本小题考查了切割线定理和函数与方程思想.‎ ‎12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .‎ ‎13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，则= .‎ ‎14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .‎ 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ‎15. (本小题共13分)在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A.‎ ‎(I)求cosA的值，‎ ‎(II)求c的值 ‎16.( 本小题共13分)‎ 下图是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择‎3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天Ziyuanku.com ‎（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率 ‎（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望.‎ ‎（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）‎ ‎17. (本小题共14分)‎ 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.‎ ‎（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.‎ 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.‎ ‎18. (本小题共13分)中 设l为曲线C：在点(1，0)处的切线.‎ ‎(I)求l的方程；‎ ‎(II)证明：除切点(1，0)之WWW.ziyuanku.com外，曲线C在直线l的下方 ‎19. (本小题共14分)‎ 已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.‎ ‎(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.‎ ‎(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.‎ 所以AC的中点.‎ ‎20. (本小题共13分)WWW.ziyuanku.com 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，…的最小值记为Bn，dn=An－Bn.‎ ‎(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；‎ ‎(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an$来&源：ziyuanku.com}为公差为d的等差数列；‎ ‎(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，则{an}的项只能是1或2，且有无穷多项为1.‎