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- 2021-04-25 发布
云南省玉溪市峨山一中 2017-2018 学年高二 12 月月考
高二数学（理）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的
1.已知焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长是 8，离心率是3
4
，则此椭圆的标准方程是( )
A.x2
16
＋y2
7
＝1 B. x2
7
＋y2
16
＝1 C. x2
16
＋y2
25
＝1 D. x2
25
＋y2
16
＝1
2.圆 x2＋y2＝5 在点（1，2）处的切线方程为( )
A．x＋2y＋5＝0 B．2x＋y＋5＝0 C．2x＋y -5＝0 D． x＋2y -5＝0
3.已知实数 x ， y 满足约束条件
2 0
3 5 0
0, 0
x y
x y
x y
，则 2z x y 的最大值为（ ）
A．0 B． 5
3 C．4 D. 10
4.若圆C 的半径 1，圆心在第一象限，且与直线 4 3 0x y 和 x 轴均相切，则该圆的标准方
程是（ ）
A.
2
2 7( 3) 13x y
B. 2 2( 2) ( 1) 1x y
C. 2 2( 1) ( 3) 1x y D.
2
23 ( 1) 12x y
5.已知点 1 2F F， 为椭圆
2 2
19 25
x y 的两个焦点,过 1F 的直线交椭圆于 A B， 两点,且
8AB ,则 2 2AF BF （ ）
A．20 B．18 C．12 D．10
6.点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)4＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
7.在"家电下乡"活动中，某厂要将 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有 辆甲型货车和
辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用 元，可装洗衣机 台；每辆乙型货
车运输费用 元，可装洗衣机 台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输
费用为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
8.直线 : (2 3) (2 ) 3 4 0l m x m y m 和圆 2 2: 6 4 9 0C x x y y ，则直线 l 与
圆C 的位置关系为（ ）
A.相切 B. 相交 C. 相离 D.不确定
9.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅
监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示
（单位：寸），若 取 3，其体积为 12.6（单位：立方寸），
则图中的 x 为（ ）
A. 1.2 B. 1.6 C. 1.8 D. 2.4
10.设 P 是正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的对角面 1 1BDD B （含边界）内的点，若点 P 到平面
ABC 、平面 1ABA 、平面 1ADA 的距离相等，则符合条件的点 P （ ）
A. 仅有一个 B. 有有限多个 C. 有无限多个 D. 不存在
11.已知以 F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线 x＋ 3y＋4＝0 有且仅有一个公共点，
则椭圆的长轴长为( )
A． 7 B．3 2 C．2 6 D. 2 7
12.如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，四边形 AEFG 为边
长为 2 的正方形，现将矩形 ABCD 沿过点 F 的动直线l 翻折，
使翻折后的点 C 在平面 AEFG 上的射影 C1 落在直线 AB 上,
若
点 C 在折痕l 上射影为 C2，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
13 ． 圆 2 2( 1) 4x y 与 圆 2 2 22 2 0( 0)x y ax ay a a 相 外 切 ， 则 a 的 值 为
___________.
14.已知 x，y 满足约束条件
x－y≥0，
x＋y≤2，
y≥0.
若 z＝ax＋y 的最大值为 4，则 a＝___________.
15．已知球面上四点 A,B,C,D，DA⊥平面 ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC= 3 ，则该球体积
等于______.
16．设 21 FF， 分别为椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点，椭圆上存在一点 P ，使得
1 2 1 2
3| | | | 2 , | | | | ,2PF PF b PF PF ab 则椭圆的离心率为___________.
三，解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
已知圆 2 2:( 3) ( 4) 4C x y ．
（Ⅰ）若直线 1l 过定点 (3,0)A ，且与圆 C 相切，求直线 1l 的方程；
（Ⅱ）若圆 D 半径是3 ，圆心在直线 2 : 2 0l x y 上，且与圆C 外切，求圆 D 的方程．
18.（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 2 6 5y x x 与坐标轴的交点都在圆 C 上.
(Ⅰ)求圆 C 的方程；
(Ⅱ)若圆 C 与直线 0x y a 交于 A,B 两点，且 ,CA CB 求 a 的值.
19.（本小题满分 12 分）
在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 12, 2 2AC BC AA ,∠ACB=90°,
Ｍ是 1AA 的中点，Ｎ是 1BC 的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面 1 1 1A B C ；
（Ⅱ）求二面角 1 1B C M A 的余弦值．
20.（本小题满分 12 分）
已知椭圆C 的中心为原点，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 1 2F F、 ，点 P 为椭圆C 上
一点，离心率为 1
2
， 1 2F PF 的周长为 12.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过 1F 的直线l 与椭圆C 交于 M N、 两点，若 48| | 7MN ，求 2MNF 的面积．
21.（本小题满分 12 分）
如图，由直三棱柱 1 1 1ABC A B C 和四棱锥 1 1D BB C C 构成的几何体中， 90BAC ，
1AB ， 1 2BC BB ， 1 5C D CD ，平面 1CC D 平面 1 1ACC A ．
（Ⅰ）求证： 1AC DC ；
（Ⅱ）在线段 BC 上是否存在点 P ，使直线 DP 与平面 1BB D 所成的角为
3
？
若存在，求 BP
BC
的值，若不存在，说明理由．
22.（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的离心率为 6
3
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的
三角形的面积为5 2
3 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)已知动直线 y＝k(x＋1)与椭圆 C 相交于 A，B 两点．
①若线段 AB 中点的横坐标为－1
2
，求斜率 k 的值；
②已知点 M
－7
3
，0
，求证：MA→ ·MB→ 为定值．
参考答案
一、选择题
二、填空题
13、3 14、2 15、 9
2
16、 3
2
三、解答题
17.解：（Ⅰ）设直线 1l 的方程为 ( 3) 3 0y k x kx y k 即： ，
则圆心到 1l 的距离 d 为： 2
42 3
1
d k
k
所以，直线 1l 的方程为 3( 3)y x
（Ⅱ）设圆心 ( ,2 )D a a ，则| | 5CD
2 2( 3) ( 2) 5 3 2a a a a 或
所以，圆 D 的方程为： 2 2 2 2( 3) ( 1) 9 ( 2) ( 4) 9x y x y 或
18.解：（Ⅰ）曲线 2 6 5y x x 与坐标轴的交点为 (0,5), (1,0), (5,0)A B C ，
设圆 C 的方程 2 2 0x y Dx Ey F ，
则
25 5 0 6
1 0 5
25 5 0 6
E F D
D F E
D F F
2 2 6 6 5 0x y x y ，
即 2 2( 3) ( 3) 13x y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D C B C A B B B A D A
（Ⅱ）由 ,CA CB 得 ABC 为等腰直角三角形， 2 ,AB r
2 13 1322
ad a
19、解：（1）如图所示，取 B1C1 中点 D，连结 ND、A1D ∴DN∥BB1∥AA1
又 DN＝ MAAABB 111 2
1
2
1 ∴四边形 A1MND 为平行四边形。
∴MN∥A1 D，又 MN 平面 A1B1C1,AD1 平面 A1B1C1 ∴MN∥平面 111 CBA ----6 分
(2)在平面 ACC1A1 上作 CE⊥C1M 交 C1M 于点 E，A1C1 于点 F,
则 CE 为 BE 在平面 ACC1A1 上的射影，∴BE⊥C1M, ∴∠BEF 为二面角 B-C1M-A 的平面角,
在等腰三角形 CMC1 中，CE=C1H=
3
34 ,∴tan∠BEC=
2
3
CE
BC ∴ cos∠BEC= 77
2 .
二面角 AMCB 1 的平面角与∠BEC 互补，所以二面角 AMCB 1 的余弦值为
77
2 -------12 分
20.解：（Ⅰ）
2 2 12 4
1 2
2
a c a
c c
a
所以，椭圆方程为
2 2
116 12
x y
（Ⅱ）设 MN 的方程为 2my x
2 2
2 2
2
(3 4) 12 36 0
3 4 48
my x
m y my
x y
1 2 2
1 2 2
12
3 4
36
3 4
myy y m
y y m
所以， 2
1 2
48| | 2 ( ) 17MN a e x x m
所以，
2
48 27MNFS .
21.解得 5 0,14
，
故不存在这样的点．
22.