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- 2021-04-25 发布
第章 函数、导数及其应用
第一节 函数及其表示
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
(对应学生用书第7页)
[基础知识填充]
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合
A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B
2. 函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
[知识拓展]
求函数定义域的依据
(1)整式函数的定义域为R；
(2)分式的分母不为零；
(3)偶次根式的被开方数不小于零；
(4)对数函数的真数必须大于零；
(5)正切函数y＝tan x的定义域为；
(6)x0中x≠0；
(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数是特殊的映射．( )
(2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( )
(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( )
(4)分段函数是两个或多个函数．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)函数y＝＋的定义域为( )
A． B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C．∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)
C [由题意知解得x≥且x≠3.]
3．(2018·西安模拟)已知函数f(x)＝则f[f(4)]＝________.
【导学号：79170012】
[f(4)＝log4＝－2，所以f[f(4)]＝f(－2)＝2－2＝.]
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.
－2 [∵f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，
∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.]
5．给出下列四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射；
②f(x)＝＋是一个函数；
③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；
④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一个函数．
其中正确命题的序号是________．
① [由函数的定义知①正确．
∵满足的x不存在，∴②不正确．
∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤立的点，
∴③不正确．
∵f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．]
(对应学生用书第8页)
求函数的定义域
(1)(1)(2018·深圳模拟)函数y＝的定义域为( )
A．(－2,1) B．[－2,1]
C．(0,1) D．(0,1]
(2)(2017·郑州模拟)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．
(1)C (2)[0,1) [(1)由题意得，解得0＜x＜1，故选C．
(2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，
所以0≤x<1，即g(x)的定义域为[0,1)．]
[规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
2．(1)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
[变式训练1] (1)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，则f(x)的定义域为________．
(1)A (2) [(1)由题意，自变量x应满足解得∴－3＜x≤0.
(2)∵f(2x)的定义域为[－1,1]，
∴≤2x≤2，即f(x)的定义域为.]
求函数的解析式
(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式．
(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．
[解] (1)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x＞1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
∴即∴f(x)＝x2－x＋2.
(3)∵f(x)＋2f＝x，∴f＋2f(x)＝.
联立方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
[规律方法] 求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)；
(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，即得f(x)的表达式．
[变式训练2] (1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________. 【导学号：79170013】
(2)已知f(x)是一次函数，且2f(x－1)＋f(x＋1)＝6x，则f(x)＝________.
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)＝________.
(1)x2－1(x≥1) (2)2x＋ (3) [(1)(换元法)设＋1＝t(t≥1)，则＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
(配凑法)f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1，
又＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)∵f(x)是一次函数，
∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
由2f(x－1)＋f(x＋1)＝6x，得
2[k(x－1)＋b]＋k(x＋1)＋b＝6x，即3kx－k＋3b＝6x，
∴，
∴k＝2，b＝，即f(x)＝2x＋.
(3)由f(－x)＋2f(x)＝2x①，
得f(x)＋2f(－x)＝2－x②，
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
∴f(x)的解析式为f(x)＝.]
分段函数及其应用
角度1 求分段函数的函数值
(1)(2017·湖南衡阳八中一模)若f(x)＝则f＝( )
A．－2 B．－3
C．9 D．－9
(2)(2017·东北三省四市一联)已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，如果f(x＋2 016)＝那么f(2 016＋)·f(－7 984)＝( )
A．2 016 B．
C．4 D．
(1)C (2)C [(1)∵f(x)＝∴f＝log3＝－2，∴f＝f(－2)＝－2＝9.故选C．
(2)当x≥0时，有f(x＋2 016)＝sin x，∴f＝sin＝1；当x＜0时，f(x＋2 016)＝lg(－x)，∴f(－7 984)＝f(－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f·f(－7 984)＝1×4＝4，故选C．]
角度2 已知分段函数的函数值求参数
(1)(2017·成都二诊)已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝2，则实数m的值为( )
A．1 B．1或－1
C． D．或－
(2)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )
A．1 B．
C． D．
(1)D (2)D [(1)f(f(－1))＝f(1＋m2)＝log2(1＋m2)＝2，m2＝3，解得m＝±，故选D．
(2)f＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×－b＝－4b＝4，解得b＝，不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.]
角度3 解与分段函数有关的方程或不等式
(1)(2017·石家庄一模)已知函数f(x)＝且f(x)＝－，则x的值为________. 【导学号：79170014】
(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
(1)－ (2)(－∞，8] [(1)当－1＜x≤0时，f(x)＝sin＝－，解得x＝－；
当0＜x＜1时，f(x)＝log2(x＋1)∈(0,1)，此时f(x)＝－无解，故x的值为－.
(2)当x<1时，x－1<0，ex－1