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- 2021-04-25 发布
2017 —2018 学年度第一学期达濠华侨中学阶段二试题
高二理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知直线与直线平行，则实数的值为 （ ）
A． B． C．2 D．-2
3.已知向量，且，则（ ）
A．-8 B．-6 C． 6 D．8
4.如图，空间四边形中，点分别在上，，，则( )
A． B．
C. D．
5.已知等差数列前9项的和为27，，则（ ）
A．100 B．99 C. 98 D．97
6. 执行下面的程序框图，若输入的分别为 1,2,3，则输出的等于( )
A． B． C. D．
7.已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C.若，则 D．若，则
8.已知变量满足约束条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
9. 如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
A． B． C. D．
10.已知，则的值是（ ）
A． B． C. D．
11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
12.2 定义域为的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知两条直线和互相垂直，则等于 ．
14.在边长为1的正三角形中，设,则 ．
15.已知圆的圆心位于直线上，且圆过两点,则圆的标准方程为 ．
16.如图，正方体的棱长为 1，为的中点，为线段上的动点，过点
的平面截该正方体所得的截面记为.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号)．
①当时，为四边形；②当时，为等腰梯形；③当时，
为六边形；④当时，的面积为.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知平行四边形的三个顶点的坐标为.
（Ⅰ）在中，求边中线所在直线方程
（Ⅱ） 求的面积.
18. 设是数列的前项和，已知.
（I） 求数列的通项公式；
（II）令，求数列的前项和.
19.如图，四边形是矩形,是的中点,与交于点平面.
(I)求证：面；
(II)若,求点到平面距离.
20.已知向量.记.
(I)求的最小正周期及单调增区间；
(II)在中，角的对边分别为若，求的值.
21. 如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形, 为棱上的动点,且.
(I)求证：为直角三角形；
(II)试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.
22. 设
(1) 若，求在区间[0,3]上的最大值；
(2) 若，写出的单调区间；
(3)若存在，使得方程有三个不相等的实数解，求的取值范围.
2017-2018 学年度第一学期达濠华侨中学阶段二考
高二理科数学参考答案
一、选择题
1-5: AADBC 6-10: CDDDA 11、12：CB
二、填空题
13.-1 14. 15. 16.①②④
三、解答题
17.【解析】试题解析：(1)设边中点为，则点坐标为
∴直线.
∴直线方程为：
即：
∴边中线所在直线的方程为：
(2)
由得直线的方程为：
到直线的距离
（其它正确答案请酌情给分） 考点：直线的方程
18.解析：(I)解：当时，由，得，
两式相减，得，
.
当时，，则.
∴数列是以为首项，公比为3的等比数列.
.
(II)解：由(I)得
， ①
， ②
①-②得
.
.
19.证法1：
∵四边形为矩形，,
又∵矩形中，
在中，
在中，
，即
平面,平面
又平面 平面
(2)在中，
在中，
在中，
设点到平面的距离为，则
,
证法2;( 坐标法 ）由（1）得两两垂直,以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,,
,,
设是平面的法向量，则
，即，
取，得
设点与平面的距离为，则
∴直线与平面的距离为.
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；点面距离
20.【解析】由已知，
(I)，
由复合函数的单调性及正弦函数的单调性，
解
得，
所以，函数的单调增区间为.
(II)由,得,
,
,
因为，
根据正弦定理，得，
由余弦定理，有，则，
所以，.
【 考 点 定 位 】 本 题 考 查 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 、 三 角 恒 等 变 换 、 三 角 函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及应用数学知识解决问题的能力.
21.【解析】(I)取中点,连结，依题意可知均为正三角形，所以,
又平面平面，
所以平面，
又平面，所以,
因为,所以，即,
从而为直角三角形.
说明:利用 平面证明正确,同样满分!
(II)[向量法]由(I)可知,又平面平面,平面平面,
平面，所以平面.
以为原点，建立空间直角坐标系如图所示,则
,
由可得点的坐标
所以,
设平面的法向量为，则,
即解得，
令，得，
显然平面的一个法向量为,
依题意，
解得或（舍去），
所以，当时，二面角的余弦值为.
[传统法]由(I)可知平面,所以,
所以为二面角的平面角，
即,
在中，,
所以
，
由正弦定理可得，即
解得，
又,所以,
所以，当时，二面角的余弦值为.
22.试题解析：(1)当时，，
在上为增函数，
在[0,3]上为增函数，则.
(2)，
，
，
1.当时，，
在为增函数，
2.当时，，即，
在为增函数，在为减函数，
则的单调增区间为和
单调减区间
(3)由(2)可知，当时，为增函数，
方程不可能有三个不相等实数根，
∵当时，由(2)得，
，
即在(2,4]有解，
∵由在(2，4]上为增函数，
∴当时，的最大值为
则