2020届二轮复习平面向量的数量积及其应用课件（42张）（全国通用） 42页

知 识 梳 理 1. 平面向量数量积 的有关概念 共线同向 共线反向 互相垂直 (2) 向量的数量积 定义：已知两个向量 a 与 b ，它们的夹角为 θ ，则数量 __________ 叫作 a 与 b 的数量积 ( 或内积 ) ，记作 a · b ，即 a · b ＝ __________ ，由定义可知零向量与任一向量的数量积为 0 ，即 0 · a ＝ 0. (3) 数量积的几何意义：数量积 a · b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的射影 __________ 的乘积，或 b 的长度 | b | 与 a 在 b 方向上射影 _________ 的乘积 . | a || b |cos θ | a || b |cos θ | b |cos θ | a |cos θ 2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示 3. 平面向量数量积的运算律 (1) a · b ＝ b · a ( 交换律 ). (2) λ a · b ＝ λ ( a · b ) ＝ a ·( λ b )( 结合律 ). (3)( a ＋ b )· c ＝ a · c ＋ b · c ( 分配律 ). [ 微点提醒 ] 1. 两个向量 a ， b 的夹角为锐角 ⇔ a · b >0 且 a ， b 不共线；两个向量 a ， b 的夹角为钝角 ⇔ a · b <0 且 a ， b 不共线 . 2. 平面向量数量积运算的常用公式 (1)( a ＋ b ) · ( a － b ) ＝ a 2 － b 2 . (2)( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋ 2 a · b ＋ b 2 . (3)( a － b ) 2 ＝ a 2 － 2 a · b ＋ b 2 . 基 础 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (2) 向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量 .( 　　 ) (3) 两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量 .( 　　 ) (4) 若 a · b ＝ a · c ( a ≠ 0 ) ，则 b ＝ c .( 　　 ) 解析 　 (1) 两个向量夹角的范围是 [0 ， π]. (4) 由 a · b ＝ a · c ( a ≠ 0 ) 得 | a || b |·cos 〈 a ， b 〉＝ | a || c |·cos 〈 a ， c 〉，所以向量 b 和 c 不一定相等 . 答案 　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) × 2. ( 必修 4P94 讲解引申 改编 ) 设 a ， b 是非零向量 . “ a · b ＝ | a || b | ” 是 “ a ∥ b ” 的 ( 　　 ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　 设 a 与 b 的夹角为 θ . 因为 a · b ＝ | a |·| b |cos θ ＝ | a |·| b | ，所以 cos θ ＝ 1 ，即 a 与 b 的夹角为 0° ，故 a ∥ b . 当 a ∥ b 时， a 与 b 的夹角为 0° 或 180° ， 所以 a · b ＝ | a |·| b |cos θ ＝ ±| a |·| b | ， 所以 “ a · b ＝ | a |·| b | ” 是 “ a ∥ b ” 的充分而不必要条件 . 答案　 A 答案　 1 4. (2018· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知向量 a ， b 满足 | a | ＝ 1 ， a · b ＝－ 1 ，则 a ·(2 a － b ) ＝ ( 　　 ) A.4 B.3 C.2 D.0 解析　 a ·(2 a － b ) ＝ 2| a | 2 － a · b ＝ 2 × 1 2 － ( － 1) ＝ 3. 答案　 B 5. (2018· 延安调研 ) 平面向量 a 与 b 的夹角为 45° ， a ＝ (1 ， 1) ， | b | ＝ 2 ，则 |3 a ＋ b | 等于 ( 　　 ) 答案 　 D 6. (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知向量 a ＝ ( － 1 ， 2) ， b ＝ ( m ， 1). 若向量 a ＋ b 与 a 垂直，则 m ＝ ________. 解析　 由题意得 a ＋ b ＝ ( m － 1 ， 3) ， 因为 a ＋ b 与 a 垂直，所以 ( a ＋ b )· a ＝ 0 ， 所以－ ( m － 1) ＋ 2 × 3 ＝ 0 ，解得 m ＝ 7. 答案　 7 考点一　平面向量数量积的运算 【例 1 】 (1) 若向量 m ＝ (2 k － 1 ， k ) 与向量 n ＝ (4 ， 1) 共线，则 m · n ＝ ( 　　 ) A. － 15 B. － 9 C. － 6 D.0 答案　 (1)D 　 (2)C 规律方法 　 1. 数量积公式 a · b ＝ | a || b |cos θ 在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式 a · b ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 求解，较为简捷、明了 . 2. 在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过 “ 平移 ” 实现 . A.16 B.12 C.8 D. － 4 (2) (2019· 皖南八校三模 ) 已知 | a | ＝ | b | ＝ 1 ，向量 a 与 b 的夹角为 45° ，则 ( a ＋ 2 b )· a ＝ ________. (2) 因为 | a | ＝ | b | ＝ 1 ，向量 a 与 b 的夹角为 45° ， 考点二　平面向量数量积的应用　 多维探究 角度 1 　平面向量的垂直 【例 2 － 1 】 (1) (2018· 北京卷 ) 设向量 a ＝ (1 ， 0) ， b ＝ ( － 1 ， m ). 若 a ⊥ ( m a － b ) ，则 m ＝ ________. 解析　 (1) a ＝ (1 ， 0) ， b ＝ ( － 1 ， m ) ， ∴ a 2 ＝ 1 ， a · b ＝－ 1 ， 由 a ⊥ ( m a － b ) 得 a ·( m a － b ) ＝ 0 ，即 m a 2 － a · b ＝ 0. ∴ m － ( － 1) ＝ 0 ， ∴ m ＝－ 1. 答案　 (1) － 1 　 (2)A 规律方法　 1. 当向量 a ， b 是非坐标形式时，要把 a ， b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算 . 2. 数量积的运算 a · b ＝ 0 ⇔ a ⊥ b 中，是对非零向量而言的，若 a ＝ 0 ，虽然有 a · b ＝ 0 ，但不能说 a ⊥ b . 角度 2 　平面向量的模 【例 2 － 2 】 (1) 已知平面向量 α ， β ， | α | ＝ 1 ， | β | ＝ 2 ， α ⊥ ( α － 2 β ) ，则 |2 α ＋ β | 的值是 ________. (2) 建立平面直角坐标系如图所示，则 A (2 ， 0) ， 设 P (0 ， y ) ， C (0 ， b ) ，则 B (1 ， b ). 角度 3 　平面向量的夹角 (2) 若向量 a ＝ ( k ， 3) ， b ＝ (1 ， 4) ， c ＝ (2 ， 1) ，已知 2 a － 3 b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是 ________. (2) ∵ 2 a － 3 b 与 c 的夹角为钝角， ∴ (2 a － 3 b )· c <0 ， 即 (2 k － 3 ，－ 6)·(2 ， 1)<0 ，解得 k ＜ 3. 此时 2 a － 3 b 与 c 反向，不合题意 . 【训练 2 】 (1) (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知向量 a ＝ ( － 2 ， 3) ， b ＝ (3 ， m ) ，且 a ⊥ b ，则 m ＝ ________. (2) ( 一题多解 )(2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知向量 a ， b 的夹角为 60° ， | a | ＝ 2 ， | b | ＝ 1 ，则 | a ＋ 2 b | ＝ ________. 解析　 (1) 由 a ⊥ b ，得 a · b ＝ 0 ， 又 a ＝ ( － 2 ， 3) ， b ＝ (3 ， m ) ， ∴ － 6 ＋ 3 m ＝ 0 ，则 m ＝ 2. 法二　 ( 数形结合法 ) (3) 由题意知 | e 1 | ＝ | e 2 | ＝ 1 ， e 1 · e 2 ＝ 0 ， 考点三　平面向量与三角函数 规律方法　 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路： (1) 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解 . (2) 给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 . 【训练 3 】 (2019· 石家庄模拟 ) 已知 A ， B ， C 分别为 △ ABC 的三边 a ， b ， c 所对的角，向量 m ＝ (sin A ， sin B ) ， n ＝ (cos B ， cos A ) ，且 m · n ＝ sin 2 C . (1) 求角 C 的大小； 解　 (1) 由已知得 m · n ＝ sin A cos B ＋ cos A sin B ＝ sin( A ＋ B ) ， 因为 A ＋ B ＋ C ＝ π ， 所以 sin( A ＋ B ) ＝ sin(π － C ) ＝ sin C ， 所以 m · n ＝ sin C ，又 m · n ＝ sin 2 C ， (2) 由已知及正弦定理得 2 c ＝ a ＋ b . 所以 ab cos C ＝ 18 ，所以 ab ＝ 36. 由余弦定理得 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C ＝ ( a ＋ b ) 2 － 3 ab ， 所以 c 2 ＝ 4 c 2 － 3 × 36 ， 所以 c 2 ＝ 36 ，所以 c ＝ 6. [ 思维升华 ] 1 . 计算向量数量积的三种方法 定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用 . 2. 求向量模的常用方法 利用公式 | a | 2 ＝ a 2 ，将模的运算转化为向量的数量积的运算 . 3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧 . [ 易错防范 ] 数量积运算律要准确理解、应用，例如， a · b ＝ a · c ( a ≠ 0 ) 不能得出 b ＝ c ，两边不能约去一个向量 . 数量积运算不满足结合律， ( a · b )· c 不一定等于 a ·( b · c ). 数学运算、数学建模 —— 平面向量与三角形的 “ 四心 ” 1. 数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养 . 通过学习平面向量与三角形的 “ 四心 ” ，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神 . 2. 数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义 . 本系列通过学习平面向量与三角形的 “ 四心 ” 模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题 . 设 O 为 △ ABC 所在平面上一点，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，则 类型 1 　平面向量与三角形的 “ 重心 ” A. △ ABC 的内心 B. △ ABC 的垂心 C. △ ABC 的重心 D. AB 边的中点 答案 　 C 类型 2 　平面向量与三角形的 “ 内心 ” 问题 解析 　根据向量加法的平行四边形法则可知，动点 P 的轨迹是以 OB ， OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为 △ BOC 的面积的 2 倍 . 在 △ ABC 中，设内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 由余弦定理 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ，得 a ＝ 7. 设 △ ABC 的内切圆的半径为 r ，则 答案 　 B 类型 3 　平面向量与三角形的 “ 垂心 ” 问题 A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 答案 　 B 类型 4 　平面向量与三角形的 “ 外心 ” 问题