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- 2021-04-25 发布
高三10月考试数学试题（理）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 己知向量，条件，条件，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量，，若，则实数（ ）
A. 2 B. -2 C. D.
5.已知数列是等差数列，．则使的的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6..已知函数是奇函数，则实数（ ）
A. B. C. D.
7．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是( )
A． B．
C． D．
8. 2020年东京夏季奥运会将设置
米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有（ ）
A. 144种 B. 24种 C. 12种 D. 6种
9.已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是( )
A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称
C. 函数是偶函数 D. 在区间上的值域为
11.已知△ABC中，，，点P为BC边的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
12.若函数在区间内恰有两个极值点，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.
13.已知向量，，且，则实数_____．
14. 已知的展开式中含项的系数为2019，则实数__________．
15. 在中，，向量 在上的投影的数量为，则
__________．
16.对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是________.
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）.
17. （本题满分12分）
在公差不为零的等差数列中，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求.
18. （本题满分12分）
已知函数.
（1）求函数最小正周期和单调递增区间；
（2）已知的三个内角的对边分别为，其中，若锐角A满足且，求的面积.
19. （本题满分12分）
随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.
年龄
（单位：岁）
，
，
，
，
，
，
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
5
10
12
7
2
1
（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（Ⅱ）若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中.
20. （本题满分12分）
已知数列的前项和为，，等差数列满足，
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）证明：.
21. （本题满分12分）
已知，（其中常数）.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. （本题满分10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线，过点的直线的参数方程 ，直线与曲线分别相交于两点．
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）是否存在实数，使得成等比数列，并对你的结论说明理由．
选修4-5：不等式选讲
23. （本题满分10分）已知函数
（1）若，解不等式
（2）若关于的不等式的解集为，且 ，求证：
高三10月考试数学答案（理）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）.
CDBAD BBDBD AD
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.
13. ． 14. 15. 16.
5.【解析】因为等差数列，首项，，
所以，
由，可得，，
所以使前项和成立的最小自然数的值为16， 故选D.
6.【解析】依题意： 恒成立，
即即，
，解得 故选：
8.【解析】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有A22＝2种安排方法，其他两名运动员有A22＝2种安排方法，共计2×2＝4种方法，
若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有A22＝2种安排方法，共计2种方法，
所以中国队共有4+2＝6种不同的安排方法， 故选：D．
9.【解析】设线段的中点为，则，因为，所以，则，由三点共线，得，解得；故选B
10.【解析】f（x）＝sinωxcosωx＝2sin（ωx），
由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，
则周期T＝π，即ω＝2， 即f（x）＝2sin（2x），
把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，
则g（x）＝2sin[2（x）]＝2sin2x，
当≤2x≤,即≤x≤, y＝g（x）是减函数，故y＝g（x）在[，]为减函数，
当2x=即x（k∈Z）,y＝g（x）其图象关于直线x（k∈Z）对称,且为奇函数，
故选项A，B，C错误，
当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[，2]，
故选项D正确，
12.【解析】作出函数图像如图所示，
因为，所以
由图得当是A的横坐标，是B的横坐标时，函数满足，在之间只有一个极值点，但是只要x的范围向左右扩展一点，则有两个极值点，所以.
当是O的横坐标，是C的横坐标时，函数满足，在之间有两个极值点，所以. 所以. 故选：D
14.【解析】（1﹣ax）2018展开式中Tr+1（﹣ax）r＝（﹣a）rxr，
令r＝0，则T1＝1；令r＝1，则T2＝（﹣a）x＝﹣2018ax．
∵（1+x）（1﹣ax）2018展开式中含x项的系数为2019，
∴1﹣2018a＝2019， 解得a＝﹣1．
15. 【解析】∵向量 在上的投影的数量为，
∴．①
∵，
∴，
∴．②
由①②得，
∵为的内角， ∴，
∴．
在中，由余弦定理得
， ∴．
16. 【解析】由题意得有两个不同的解，，则，因此当时，，当时，，从而要使有两个不同的解，需
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）.
17．（本题满分12分）
解析:（I）设等差数列的公差为，，则依题意得：[来源:学|科|网]
………………… 4分
或(舍去),所以 …………………… 6分
（II）由（I）有，所以，…… …… …… …… 10分
. …… ……12 分
18. （本题满分12分）
解：（1）f（x）＝2sinx•cosx+2cos2xsin2xcos2x＝2sin（2x），
∵ω＝2，∴f（x）的最小正周期T＝π，
∵2kπ2x2kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调减区间为[kπ，kπ]，k∈Z； …………………… 6分
（2）由f（）＝2sin[2（）]＝2sinA，即sinA，
∵A为锐角，∴A，
由正弦定理可得2R，sinB+sinC，
∴b+c13，
由余弦定理可知：cosA，
整理得：bc＝40．∴bcsinA=10 …… ……12 分
19. （本题满分12分）
解：（Ⅰ）由频数分布表得列联表如下：
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
赞成
不赞成
13
合计
有的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关 …… ……6分
（Ⅱ）年龄在中支持微信支付人，不支持微信支付6人
由分层抽样方法可知：抽取的人中，支持微信支付人，不支持微信支付人
设人中不支持微信支付的人数为，则所有可能的取值为：
，，
的分布列为：
…… ……12 分
20. （本题满分12分）
（Ⅰ）解：
当时，
当时，，整理得：
数列是以为首项，为公比的等比数列
设等差数列的公差为
， ，解得：
…… ……6 分
（Ⅱ）证明：设
两式相减可得：
即
…… ……12 分
21. （本题满分12分）
解：函数的定义域为，
（1）当时，，，单调递增且
当时，，所以在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以有极小值，无极大值. …… ……6 分
（2）先证明：当恒成立时，有成立
若，则显然成立；
若，由得，令，则，
令，由得在上单调递增，
又∵，所以在上为负，递减，在上为正，递增，∴ ，从而.
因而函数若有两个零点，则，所以，
由得，则，
∴在上单调递增，∴，
∴在上单调递增∴，则
∴，由得，
则，∴，综上. …… ……12 分
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. （本题满分10分）
解：（1）,，…… ……5 分
（2）将代入，
得，
设两点对应的参数分别为，由韦达定理，得，，
所以得， ，
得从而，
化简得，而此方程无解，故不存在实数．…… ……10 分
选修4-5：不等式选讲
23. （本题满分10分）
解：（1）当，不等式，即．
由绝对值的意义可得，表示数轴上的对应点到的距离之和，
而和到的距离之和正好等于，
故的解集为．…… ……5分
（2）证明：由关于的不等式，
则，即，
即
由解集为，
解得．
故有，，
，
当且仅当时，等号成立，…… ……10 分