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- 2021-04-25 发布
高三数（文）答案 第 1 页 共 2 页
2020 届湖北省部分重点高中
高三 11 月期中联考
数学(文科)参考答案
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D B C C B A D A A C
二、填空题
13． 2 14． 6 15． 17 7 3 13( , ) ( , ) 16．
6 ,
三、解答题：
17．（Ⅰ）当 1n 时， 2
1 14 1( ) ,a a 2
1 11 0 1( ) ,a a ………（2 分）
当 2n 时，由 1n n na s s 得，
2 2
11 1
4 4
( ) ( )n n
n
a aa ，………（4 分）
2 2
1 14 2 2n n n n na a a a a ，于是 1 1 12( ) ( )( )n n n n n na a a a a a ，
1 0n na a 舍去， 1 2n na a ，
通项公式为 1 2 1 2 1( )na n n ………（6 分）
（Ⅱ）由（1）得
1
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 1( )( )( )n na a n n n n
，………（8 分）
数列
1
1
n na a
的前 n 项和 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 2 3 5 2 2 1 2 1( ) ( ) ( )nT n n
1 112 2 1 2 1( ) n
n n
………（12 分）
18．（Ⅰ）证明：∵平面CDP 平面 ABCD ， PD CD ,
PD 平面 ABCD ，∴ PD AC ． ………（2 分）
又∵ ABCD 是正方形，∴ AC BD , PD BD D ,
AC 平面 PBD , PB 平面 PBD ,∴ PB AC , ………（4 分）
又∵点 ,E F 分别 PC , BC 的中点, //PB EF ,
故 EF AC ………（6 分）
（Ⅱ）连结 AC ，取 AC 中点O ，连结 ,EO FO ，延长 FO
交 AD 于点 M ,
则 //PA 平面 MEF ．
证明∵ E 为 PC 的中点，O 是 AC 的中点，
∴ //EO PA ．又∵ EO 平面 MEF ，PA 平面 MEF ，
∴ //PA 平面 MEF ． ………（10 分）
此时点 M 是线段 AD 的中点………（12 分）
19．（Ⅰ）根据在全部 50 人中随机抽取 1 人患颈椎疾病的概率
为 0 9. ，可得患颈椎疾病的为 50 0 9 45. 人；其中抽取白领为50 0 6 30. 人。
故可得列联表如下：
…………（4 分）
在全部 50 人中随机抽取 1 人，没有患有颈椎疾病人数为 5 人，其概率为 5 0 150 . …（6 分）
（Ⅱ）由列联表知 20 0,x 15 0x 且 x N ,
故 15 16 17 18 19 20, , , , ,A ；…………（8 分）
由 2
2 50 45 20 15
45 5 20 30
( )( ) ( )x x x xk
2 250 900 50 25 18
45 5 20 30 27
( ) ( )x x
，…（10 分）
于是， 225 18
27
( )x 7 879. ，
当 15x 时 225 18 225 8 33327 27
( ) .x ，符合条件；
当 16x 或 20, 225 18 100 427 27
( )x
当 17x 或19, 225 18 25 127 27
( )x
当 18x ， 225 18 027
( )x
所以 15x 为所求 ………（12 分）
20．（Ⅰ）设动点 ( , )B x y ，则两点 ,B C 关于坐标原点O 对称， ( , )C x y ，
满足 4AB AC ，所以 2 2 2 21 1 4( ) ( )x y x y ，………（2 分）
即动点 ( , )B x y 轨迹是以 1 0 1 0( , ),( , ) 为焦点的椭圆，………（4 分）
其轨迹方程为
2 2
1 04 3 ( )x y y ………（5 分）
（Ⅱ）直线 :l y kx m 总与定圆： 2 2 2x y r 相切，
则
2 1
m r
k
， 2 2 2 1( )m r k ， ………（6 分）
设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 由 2 2 2 2 23 4 8 4 12 014 3
, ( )
y kx m
x y k x kmx m
，
患有颈椎疾病 没有患颈椎疾病 合计
白领 45 x 15x 30
蓝领 x 20 x 20
合计 45 5 50
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2
1 2 1 22 2
8 4 12
3 4 3 4,km mx x x xk k
………（8 分）
又当 0OP OQ
, 1 2 1 2 0x x y y ，
又把 1 1y kx m ， 2 2y kx m 代入得， 2 2
1 2 1 21 0( ) ( )k x x km x x m ，
故
2
2 2
2 2
4 12 81 03 4 3 4( )( ) ( ) ,m kmk km mk k
2 27 12 12 0m k
2 2 27 12 7 12 0( )r k r 对任意 k 恒成立， ………（10 分）
所以 27 12 0,r 即 12 2 21
7 7r 为所求。 ………（12 分）
21．（Ⅰ） 由切线 l 方程为 0x y b ， 1 1( ) ,g
由 1( ) ( ) xg x x e a ， ………（2 分）
1( )g a ， 1a ………（3 分）
又 11 1( )g a be
， 1b e
………（5 分）
( Ⅱ ) 若不等式 2( ) ( )g x a x k 恒成立，即使 2 xk x xe ，记
2 2 1( ) , ( ) ( )x xf x x xe f x x e ，记 2 1( ) ( ) xh x x e ， 2( ) ( ) xh x x e ，
当 2( , )x 时 , 0( )h x ，函数 ( )h x 在 2( , ) 上单调递增；
当 2( , )x 时 , 0( )h x , 函数 ( )h x 在 2( , ) 上单调递减。
又 ∵ 1( , )x 时 , 0( )h x , 且 0 1 0( )h ， 21 2 2 0( )h e ．
∴ 存在唯一的 0 0 1( , )x , 使得 0( )h x 0
02 1 0( ) xx e ，即 0
0
2
1
xe x
………（8 分）
当 0( , )x x 时 , 0( )f x , 函数 ( )f x 在 0( , )x 上单调递增；
当 0( , )x x 时 , 0( )f x , 函数 ( )f x 在 0( , )x 上单调递减
∴ 当 0x x 时 , ( )f x 取到最大值 0( )f x ，
0 0
0 0 0 0
0
22 2 1( ) x xf x x x e x x
0
0
12 1 41( )x x
………（10 分）
∵ 0 0 1( , )x ,∴ 0 1 1 2( , )x ， 0
0
1 51 21 2( , )x x
， 0 0 1( ) ( , )f x ．
从而使 0( )k f x 的最小正整数 k 的值为 1． ………（12 分）
22． （Ⅰ）由圆 1C 的参数方程 1 cos
sin
x t
y t
（t 为参数），
得 2 2( 1) 1x y ，所以 1 1( 1,0), 1C r ， ………（2 分）
又因为圆 2C 与圆 1C 外切于原点O ，且两圆圆心的距离 1 2| | 3C C ，
可得 1 2(2,0), 2C r ，则圆 2C 的方程为 2 2( 2) 4x y ，
所以由 cos
sin
x
y
，得圆 1C 的极坐标方程为 2cos ，
圆 2C 的极坐标方程为 4cos ．………（5 分）
（Ⅱ）由已知设 1( , ) B ， 2( , ) A ：
由 1
2
4
2 2
cos
cos( ) cos
， ………（8 分）
1 2 6cosAB ，当
4
时， 3 2AB ………（10 分）
23． （Ⅰ）当 1x 时， ( ) (2 1) ( 1) 3 3f x x x x ，得 1x ，故此情况无解；
当 11 2x 时， ( ) (2 1) ( 1) 2 3f x x x x ，解得 1x ，故 11 2x ；
当 1
2x 时， ( ) (2 1) ( 1) 3 3f x x x x ，解得 1x ，故 1 12 x ．
综上所述，满足 ( ) 3f x 的解集为{ | 1 1}x x ．………（5 分）
（Ⅱ）当 0x 时，可知对于 m R ，不等式均成立；
当 0x 时，由已知可得 ( ) | 2 1| | 1| 1 1| 2 | |1 || | | |
f x x xm x x x x
，………（8 分）
又 1 1 1 1| 2 | |1 | | (2 ) (1 ) | 3
x x x x
综上所述，使得不等式恒成立的 m 的取值范围为 3m ．………（10 分）
如另有解法，请酌情给分！