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- 2021-04-25 发布
母题十七 立体几何的基本问题
【母题原题1】【2018天津，文17】
如图，在四面体中，是等边三角形，平面⊥平面，点为棱的中点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
【考点分析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．
．即直线与平面所成角的正弦值为．
试题解析：（Ⅰ）证明：由平面平面，平面平面，可得平面，故．
（Ⅱ）取棱的中点，连接．又因为为棱的中点，故//．
（或其补角）为异面直线与所成的角．
在中，，故．平面，故．在所成的角．
在中，．在中， ．
直线与平面所成角的正弦值为．
【名师点睛】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．
【母题原题2】【2017天津，文17】
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．
（I）求异面直线与所成角的余弦值；
（II）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）（2）
（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC –BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．
【母题原题3】【2016天津，文17】
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．
（I）求异面直线与所成角的余弦值；
（II）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1） ；（2） ．
（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC –BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．
【母题原题4】【2015天津，文17】
如图，已知平面ABC， AB=AC=3，，， 点E，F分别是BC， 的中点．
（I）求证：EF 平面 ；
（II）求证：平面平面．
（III）求直线 与平面所成角的大小．
【答案】（I）见试题解析；（II）见试题解析；（III）．
【解析】试题分析：（I）要证明EF 平面， 只需证明 且EF 平面；（II）要证明平面平面，可证明，；（III）取 中点N，连接 ，则 就是直线 与平面所成角，Rt△ 中，由得直线 与平面所成角为．
试题解析：（I）证明：如图，连接，在△中，因为E和F分别是BC， 的中点，所以 ，又因为EF 平面， 所以EF 平面．
（II）因为AB=AC，E为BC中点，所以，因为平面ABC，所以平面ABC，从而，又 ，所以平面 ，又因为平面，所以平面平面．
【命题意图】高考对这类题的考查主要有两个方面：考查空间点、线、面的位置关系，高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，以及空间几何体的体积．
【命题规律】高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，解题思路为对判断定理和性质定理的使用，或以三视图为载体，考查还原后几何体的外接球或内切球问题．
【答题模板】以2017年高考题为例，解答本类题目，一般考虑如下三步：
第一步： 根据线面垂直的判断定理和性质定理证明 因为与平面内的两条相交直线垂直，所以线与平面垂直，再根据线面垂直的性质定理，线与平面垂直，线与平面内的任何一条直线垂直；
第二步：面面垂直的判断定理 根据条件可证明平面，即证明平面平面；
第三步：根据（Ⅱ）的结论，直接求 ．
【方法总结】
1．平行关系的证明：若要证明线面平行，一是根据线面平行的判断定理：平面外的线平行于平面内的线，则线面平行，二是根据面面平行的性质定理证明两个平面平行，那么平面内的任何一条直线与另一个平面平行；若要证明面面平行，根据判断定理，平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则两平面平行．
2．垂直关系的证明：若要证明线线垂直，根据线面垂直，则线线垂直证明，若要证明线面垂直，根据判断定理证明直线与平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直，若要证明面面垂直，也可根据判断定理，本质上是证明线面垂直． ——
3．体积与表面积公式：
（1）柱体的体积公式：；
锥体的体积公式：；
台体的体积公式：；
球体的体积公式：．
（2）球的表面积公式：．
棱柱、棱锥及棱台的各个面的面积之和，即为其表面积．
1．【2018天津耀华中 月考三】四棱锥中，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形， 为的中点， 为的中点．
（1）求证： ；
（2）求与平面所成的角．
【答案】（1）见解析（2）．
【解析】试题分析：（1）（1）连结PQ、AQ．菱形ABCD中证出AQ⊥CD，结合正三角形△PCD中PQ⊥CD，可得CD⊥平面PAQ，而PA⊂平面PAQ，即可证出PA⊥CD．
（2）由， 可得平面，连接，则为与平面所成的角，利用边长求解即可．
试题解析：
（1）连接， ．
∵是正三角形，∴．
∵底面是的菱形，∴．
∴平面．
连接，则为与平面所成的角．
在中， ，
∴，∴ ， ．∴．
2．【2018天津一中月考二】如图，边长为的正方形与梯形所在的平面互相垂直，其中
的中点．
（Ⅰ）证明： 平面
（Ⅱ）求二面角的正切值
（Ⅲ）求与平面所成角的余弦值
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）推导出OM∥AC，由此能证明OM||平面ABCD．
（Ⅱ）取AB中点H，连接DH，则∠EHD为二面角D﹣AB﹣E的平面角，由此能求出二面角D﹣AB﹣E的正切值．
（Ⅲ）推导出BD⊥DA，从而BD⊥平面ADEF，由此得到∠BFD的余弦值即为所求．
试题解析：
又
∵平面平面，平面平面平面
平面 的余弦值即为所求
在中，
与平面所成角的余弦值为
【名师点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
3．【2018天津河西区模拟三】如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，且平面平面，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
∵平面，平面，
∴平面，
同理，平面，
∵，
∴平面平面．
（2）证明：连结，
∵四边形为菱形，∴，
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
∵平面，∴，
∵，∴，
又∵，，
∴平面，
∵，
∴平面，
因此为直线与平面所成的角，
∵，，
∴，，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【名师点睛】解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
4．【2018天津部分区二模】在等腰梯形中，，直线平面，，点为的中点，且，．
（1）求证：平面； ；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】分析：（1）取FC中点N，连接EN，推导出四边形EDCN是平行四边形，从而ENDC，连接NG，推导出四边形EAGN是平行四边形，从而EA∥NG，由此能证明AE∥平面GCF．
（2）由DCAG，得四边形AGCD为平行四边形，从而AD=GC，推导出AC⊥BC，AC⊥CF，从而AC⊥
连接平行且等于，又平行且等于，
所以平行且等于，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）∵平行且等于，∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，∴，
∵，∴为等边三角形，
∵，
∴，由余弦定理得
，
所以即，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
（3）因为，平面，平面，所以平面，
由（1）知平面，且，所以平面平面，
所以直线与平面所成角也为直线与平面所成角．
由（2）知，设为中点，连接，所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【名师点睛】用几何法求求空间角的步骤：
①作：利用定义作出所求的角，将其转化为平面角；②证：证明作出的角为所求角；③求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角；④作出结论，将问题转化为几何问题．
5．【2018天津河东区二模】如图，在四棱锥中，底面，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若与平面所成角为，求的长．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】分析：第一问借助于三角形的中位线构造出一个平行四边形，得到线线平行的结论，之后借助于线面平行的判定定理得到结果；第二问借助于勾股定理得到线线垂直的关系，之后利用线线垂直，结合面面垂直的判定定理得到结果；第三问利用线面角的大小，结合题中的条件，把要求的线段放到一个三角形中，利用相关结论求得结果．
详解：（1） 证明：取PC的中点N，连接MN，ND，M，N为PB，PC中点 ，由已知，，四边形AMND为平行四边形，，平面，平面
平面平面
（3）作于，平面平面且交线为
平面，连接为在平面上的投影，
，，底面且
，，又，与M重合
，M为PB 中点，三角形CBP为等腰三角形，
，，的长为
【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的考点有线面平行的判定、面面垂直的判定以及线面角的问题，在证明和求解的过程中，需要明确相关的定理的内容，再者就是对于常见的平行线的找法，还有就是勾股定理也是常用的证明垂直关系的方法．
6．【2018年天津河北区二模】如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知⊥平面ABC，==3，==2．
（I）求异面直线与AB所成角的余弦值；
（II）求证：⊥平面；
（III）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【解析】分析：（Ⅰ）由题意得∥AB，故∠G是异面直线与AB所成的角，解三角形可得所求余弦值．（Ⅱ）在三棱柱中，由⊥平面ABC可得⊥A1G，于是⊥A1G，又A1G⊥，根据线面垂直的判定定理可得结论成立．（Ⅲ）取的中点H，连接AH，HG；取HG的中点O，连接OP，．由PO//A1G可得平面，
故得∠PC1O是PC1与平面所成的角，然后解三角形可得所求．
详解：
(I)∵∥AB，
（II）在三棱柱中，
∵⊥平面ABC，平面ABC，
∴⊥A1G，
∴⊥A1G，
又A1G⊥，，
∴平面．
（III）解：取的中点H，连接AH，HG；取HG的中点O，连接OP，．
∵PO//A1G，
∴平面，
∴∠PC1O是PC1与平面所成的角．
由已知得，，
∴
∴直线与平面所成角的正弦值为．
【名师点睛】用几何法求求空间角的步骤：
①作：利用定义作出所求的角，将其转化为平面角；②证：证明作出的角为所求角；③求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角；④作出结论，将问题转化为几何问题．
7．【2018天津七校模拟】如图，在四棱锥中，底面的边长是2的正方形， ， ， 且．
（1）求证： ；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】试题分析：（1）由．得可证得，即证．
（2）由（1）中和，可证，进一步证明平面平面．（3）取的中点，可证，线面角为．
试题解析：（1）
（2）
，在等腰， 是中点
在
【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；
要证明线线垂直，先要证明线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直．
用几何法求线面角，关键是找到射影，斜线与其射影所成的角，就是线面角．求线面角要求一作、二证、三求．
8．【2018天津十二校模拟】如图，三棱柱中， 平面，以为邻边作平行四边形，连接．
（1）求证：平面；
（2）若二面角为．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析，②．
【解析】试题分析：（1）先证明四边形 为平行四边形，从而可得 ，根据直线与平面平行的判定定理可得平面；（2）设 中点为 ，先证明 是二面角为，由此可计算出 的值，根据勾股定理可得， ，从而可得平面，进而可得结果；利用 平面，可得为直线与平面
所成的角，利用直角三角形的性质可得结果．
又 为二面角的平面角 ，
中， ，
，
又 ， 平面
又 ， 平面 ，平面， 所以平面平面
②， 平面所成角与平面所成角相等，
由（2）知 ， 平面
为线在平面内的射影，
为直线与平面所成角，
在 中， ，
直线与平面所成角的正切值为
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法、二面角的求法，属于难题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 本题（1）是就是利用方法①证明的．
9．【2018天津静海县一中期末考】如图所示，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，
DD1⊥平面ABCD，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．
（Ⅰ）证明：CC1∥平面A1BD；
（Ⅱ）求直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值
【答案】（1）见解析（2）
【解析】【试题分析】（1）连接、，交于，连接，利用证得四边形是平行四边形，故，所以平面．（2）由于BD⊥平面ADD1A1得， 就是所求直线与平面所成的角．解三角形可求得其正弦值．
【试题解析】
∴∠EA1D是直线EA1与平面ADD1A1所成角，∵DD1=AD，AB=2AD，AD=A1B1M∠BAD=60°，
∴A1D1=AD，DE=AD，A1E=AD，∴sin∠EA1D=，
∴直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值为．
10．【2018天津部分区期末考】如图，在多面体中，已知是边长为2的正方形， 为正三角形， 分别为的中点， 且， ．
（1）求证： 平面；
（2）求证： 平面；
（3）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】试题分析：
（1）取取的中点，连接，根据条件可证得四边形为平行四边形，故，由线面平行的判定定理可得结论．（2）由条件可得平面，故得；又正三角形中，可得平面．（3）由（1）、（2）可知平面，故为与平面所成的角，解三角形可得，即与平面所成角的正弦值为．
试题解析：
（1）证明：如图1，取的中点，连接，
因为分别为的中点，
所以，
又，
所以，
所以．
在正方形中， ，
又，
所以平面．
又平面，
所以，
在正三角形中，
又，
所以平面．
（3）如图2，连接，
由（1）、（2）可知平面．
所以为与平面所成的角．
在中， ， ，
所以，
所以，
即与平面所成角的正弦值为．
【名师点睛】
（1）证明空间中的线面关系时要注意答题的规范性，首先根据证明的结论寻找需要的条件，然后根据定理的要求写出证明的过程，书写时注意步骤的完整性，要根据定理的要求写出证明的过程．
（2）求空间角时要遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所要求的角，并给出证明，然后通过解三角形的方法求出该角（或其三角函数值）．
11．【2018天津静海一中模拟】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，，，F分别为AB，PC的中点．
（I）若四棱锥P-ABCD的体积为4，求PA的长；
（II）求证：PE⊥BC；
（III）求PC与平面PAD所成角的正切值．
【答案】（1）PA=2；
（2）见解析．
（3）．
【解析】分析：（I）设，由四棱锥体积，利用棱锥的体积公式列出关于的方程求解即可；（II）由线面垂直的性质可得，结合已知条件，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得结果；（III）先证明么平面可得为与平面所成角，在直角三角形中，．
详解：
（I）设PA=，由题意知
所以平面PAB
又平面PAB
所以PE⊥BC
（III）取AD的中点G，连结CG，PG
因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，
所以PC与平面PAD所成角的正切值为 ．
【名师点睛】解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
12．【2018天津实验中 模拟】如图，在棱长为的正方体中，，分别是和的中点．
（）求异面直线与所成角的余弦值．
（）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（）．（）存在，．
【解析】试题分析：（1）取中点，根据平行公理得即为异面直线与所成角，再根据直角三角形解角，（2）连结，交于点，则根据三垂线定理得为二面角的平面角，再根据直角三角形解得．
试题解析：（）取中点，连结，
又∵为中点，
∴，
（）存在，在棱上取一点，
由题意可知，面，
连结，交于点，易知，，
连结，则为二面角的平面角，
当时，即，
解得，
∴当时，二面角的大小为．
【名师点睛】探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．
13．【2018天津七校联考】如图，四棱锥的底面是菱形， ， 平面， 是的中点， 是的中点．
（）求证：平面平面．
（）求证： 平面．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
平面， 平面，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（）取的中点，连结， ，
∵， 是中点，∴且，
∴与平行且相等，∴，
∵平面， 平面，∴平面．
14．【2018天津河东区期中】如图，长方体中， ， ，点为棱上一点．
（）求证：平面平面．
（）若是棱的中点，求与平面所成的角大小．
【答案】（）证明如下；（）（或）．
∴，
又∵面，
∴，
又∵， 面，
，
∴面，
∵面，
∴面面．
（）
∴，
∴与面所成的角为．
15．【2018天津河东区期中】如图，四棱锥的底面是正方形， 底面，点在棱上．
（）求证：平面平面．
（）当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小．
【答案】（）证明如下；（）（或）
【解析】试题分析：（）利用正方形的性质和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定和面面垂直的判定定理进行证明；（）利用（1）结论，得到线面角，再通过解三角形进行求解．
（）
设，连接，由（）可知平面，∴为与平面所成的角，又∵， 分别为， 中点，∴， ，又∵底面，
∴底面，∴，在中，，
∴，即与平面所成的角的大小为．