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- 2021-04-25 发布
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江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，
本题选择B选项.
2．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据奇函数性质确定取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.
【详解】
因为为奇函数，所以
因为，所以
因此选B.
【点睛】
本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.
3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为y=ln|x|是偶函数，并且当x>0时，y=lnx在上单调递增.
4．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用对进行分段，由此判断出正确选项.
【详解】
依题意，，，故，故选C.
【点睛】
本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查分段法比较大小，属于基础题.
5．已知，则“”是“”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
因为,所以00恒成立.
7．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则等于( )
A．-1 B． C． D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据求得函数的周期，再结合奇偶性求得所求表达式的值.
【详解】
由于故函数是周期为的周期函数，故，故选C.
【点睛】
本小题主要考查函数的周期性，考查函数的奇偶性，考查函数值的求法，属于基础题.
8．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
【答案】B
【解析】
试题分析：由题，，所以．
试题解析：由已知，
又因为，
所以，即该家庭支出为万元．
考点：线性回归与变量间的关系．
9．已知定义在上的偶函数在上单调递增，则函数的解析式 不可能是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇偶函数定义域关于原点对称求得的值.在根据单调性判断出正确选项.
【详解】
由于函数为偶函数，故其定义域关于原点对称，即，故函数的定义域为，且函数在上递增，故在上递减.对于A选项，，符合题意.对于B选项，符合题意.对于C选项，符合题意.对于D选项，，在上递减，不符合题意，故本小题选D.
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查含有绝对值函数的理解，属于基础题.
10．已知函数在区间(－∞,0)内单调递增，且，若
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数化简，然后根据单调性求得的大小.
【详解】
由于，所以函数为偶函数，且在上递减.，注意到，所以根据单调性有，故选A.
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
11．老师给出了一个定义在上的二次函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：
甲：在上函数单调递减；
乙：在上函数单调递增；
丙：函数的图象关于直线对称；
丁：不是函数的最小值．
若该老师说：你们四个同学中恰好有三个人说法正确，那么你认为说法错误的同学是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】
如果甲，乙两个同学回答正确，
∵在上函数单调递增；
∴丙说“在定义域上函数的图象关于直线对称”错误．
此时是函数的最小值，
所以丁的回答也是错误的，与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾，
所以只有乙回答错误．
故选．
12．已知，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将问题转化为来列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
要使对任意的，存在，使，则需.当时，取得最解得小值为.当时，取得最小值为，故，解得，故选D.
【点睛】
本小题主要考查恒成立问题和存在性问题，考查函数最大值最小值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知函数，则___________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
由分段函数的解析式，先求出的值，从而可得.
【详解】
∵函数，则f（–1）=3–1=，
∴f（f（–1））=f（）==–1，故答案为：–1．
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现的形式时，应从内到外依次求值．
14．已知命题，是假命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】.
【解析】
由题意得命题的否定为．
∵命题是假命题，
∴命题为真命题，即在R上恒成立．
①当时，不恒成立；
②当时，则有，解得．
综上可得实数的取值范围是．
答案：
点睛：
不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，；不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，．
15．函数是周期为的偶函数，当时，，则不等式在上的解集为___________
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的周期性、奇偶性以及时的解析式，画出函数的图像，由此求得的解集.
【详解】
根据函数周期为的偶函数，以及时，，画出函数图像如下图所示，由图可知，当时符合题意；当时，符合题意.综上所述，不等式的解集为.
【点睛】
本小题主要考查函数的周期性、奇偶性，考查不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
评卷人
得分
三、解答题
16．如图．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD＝，则棱锥P－AOB的外接球的体积是____
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形和三角形为直角三角形，判断出棱锥外接球的直径为，进而计算出球的半径以及体积.
【详解】
由于底面，所以三角形是直角三角形.由于底面是菱形，故，又，所以面，所以三角形是直角三角形.由此判断出棱锥外接球的直径为.由于，所以,故外接球的半径为，体积为.
【点睛】
本小题主要考查几何体外接球体积的计算，考查几何体外接球球心位置的判断，属于基础题.
17．设函数=
(1)求不等式的解集;
(2)若存在使得成立,求实数的最小值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：(1)先去掉绝对值,化成=,再解不等式即可.
(2)存在使得成立,即 ,求出即可.
试题解析：
(1) =,
,
即或或
(2)由(1)知,函数= =
存在使得成立,
，
.
18．设函数的定义域为，函数，的值域为．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件解二次不等式和求值域求出集合求解；（2）借助题设运用充分必要条件的结论推断求解.
试题解析：
（1）由，解得，所以，
又函数在区间上单调递减，所以，
即
当时，，所以
（2）首先要求，而“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，从而， 解得
考点：二次不等式及集合的求交计算和子集的包含关系等有关知识的综合运用.
19．“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小明的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
0～2000
2001～5000
5001～8000
8001～10000
男
1
2
3
6
8
女
0
2
10
6
2
（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；
（2）已知某人一天的走路步数超过8000步时被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”.根据小明的统计完成下面的列联表，并据此判断是否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
积极型
懈怠型
总计
男
女
总计
附：
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】(1) (2) 没有以上的把握认为二者有关
【解析】分析：（1）根据古典概型的计算公式得到40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为；（2）根据公式得到.，进而得到结论.
详解：（1）由题知，40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为；
（2）
积极型
懈怠型
总计
男
14
6
20
女
8
12
20
总计
22
18
40
，
所以没有以上的把握认为二者有关.
点睛：点睛:本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，古典概型一般是事件个数之比，即满足条件的事件个数除以总的事件个数即古典概型的概率.
20．二次函数满足,且解集为
（1）求的解析式；
（2）设,若在上的最小值为,求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）直接根据两个已知条件得到关于a,b,c的方程，解方程组即得的解析式；(2)对m分类讨论，利用二次函数的图像和性质求m的值.
【详解】
（1）∵ ∴ 即 ①
又∵即的解集为
∴是的两根且a>0.
∴ ②③a=2,b=1,c=-3
∴
（2） 其对称轴方程为
①若即m<-3时，由 得不符合
②若即时，得：符合
③若即m>9时，=由 得不符合题意
∴
【点睛】
这个题目考查了二次函数的解析式的求法，二次函数的解析式有：两根式，即已知函数的两个零点可设这种形式；顶点式，已知函数的顶点可设为这种形式；一般式，涉及三个未知数，需列方程组求解；二次函数的最值和函数的对称轴有直接关系，在整个实数集上，最值在轴处取得，在小区间上需要讨论轴和区间的关系，得到最值.
21．如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，侧面ABB1A1为菱形，侧面ACC1A1为正方形，侧面ABB1A1⊥侧面ACC1A1．
（1）求证：A1B⊥平面AB1C；
（2）若AB＝2，∠ABB1＝60°，求三棱锥C1－COB1的体积．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先根据面面垂直的性质定理得到平面，由此得到，结合菱形的几何性质得到，进而证得平面.（2）先证得平面，由此将所求几何体的体积，转化为三棱锥的体积.由（1）得为三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式计算出所求几何体的体积.
【详解】
解：（1）因为侧面侧面，侧面为正方形，所以平面，, 又侧面为菱形，所以，所以平面.
（2）因为，所以，平面，所以，三棱锥的体积等于三棱锥的体积; 平面，所以为三棱锥的高，
因为，,
所以
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的证明，考查面面垂直的性质定理的应用，考查等体积法求体积，考查锥体的体积计算，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中档题.
22．已知函数.
（1）当，时，求满足的的值；
（2）若函数是定义在上的奇函数.
①存在，使得不等式有解，求实数的取值范围；
②若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1);(2)①;②.
【解析】分析：（1）把，代入，求解即可得答案.
（2）①函数是定义在上的奇函数，得，代入原函数求解得的值，判断函数为单调性，由函数的单调性可得的取值范围.
②由，求得函数，代入，化简后得恒成立，令，，参数分离得在时恒成立，由基本不等即可求得的最大值.
详解：解：（1）因为，，所以，
化简得，解得（舍）或，
所以.
（2）因为是奇函数，所以，所以，
化简变形得：，
要使上式对任意的成立，则且，
解得：或，因为的定义域是，所以舍去，
所以，，所以.
①
对任意，，有：，
因为，所以，所以，
因此在上递增，
因为，所以，
即在时有解，
当时，，所以.
②因为，所以，
所以，
不等式恒成立，即，
令，，则在时恒成立，
因为，由基本不等式可得：，当且仅当时，等号成立，
所以，则实数的最大值为.
点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查不等式的存在解与恒成立问题，注意运用参数分离，将恒成立问题转化求最值问题，属于难题.
1、已知函数的单调性和奇偶性，解形如（可以是数，也可以是代数式）的不等式的解法如下：
奇偶性
单调性
转化不等式
奇函数
区间上单调递增
区间上单调递减
偶函数
对称区间上左减右增
对称区间上左增右减
注意：如果中含有自变量，要注意复合函数单调性的判断.
2、函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：
①存在解；恒成立；
②存在解；恒成立；
③存在解；恒成立；
④存在解；恒成立.