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- 2021-04-25 发布
定远重点中学2017-2018学年第一学期期末考试
高二（理科）数学试题
注意事项：
1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将第I卷（选择题）答案用2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。
第I卷（选择题60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。)
1.设有下面四个命题：
抛物线的焦点坐标为；
，方程表示圆；
，直线与圆都相交；
过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线有条.
那么，下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
2. 设集合， ，则“x∈A”是“x∈B”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.以双曲线C：（a＞0）的一个焦点F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为（ ）
A.π B.3π
C.6π D.9π
4.点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（1，0），圆C：x2+2x+y2=0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（ ）
A.双曲线的一支 B.椭圆
C.抛物线 D.射线
5.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）
A.
B.
C.或
D.以上都不对
6.已知圆C： 和点B(3,0),P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是（ ）。
A..
B.
C.
D.
7.椭圆的离心率的最小值为
A. B. C. D.
8. 设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k ， －2)与F点的距离为4，则k的值是( )
A.4
B.4或－4
C.－2
D.2或－2
9.若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，已知为函数图象上一点，若，则 （ ）
A. B. C. D.
11.过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则 （ ）
A. B. C. D.
12.椭圆上一点A.关于原点的对称点为B，F 为其右焦点，若，设且，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题
13.若焦点在轴上的椭圆 上存在一点，它与两焦点的连线互相垂直，则的取值范围是 .
14.设抛物线 ，（t为参数，p＞0）的焦点为F ， 准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（ p,0），AF与BC相交于点E. 若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为 ，则p的值为 .
15.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是该椭圆上的动点，当的周长最大时， 的面积为__________．
16.若圆与圆相外切，则实数= ．
三、解答题
17.已知圆，圆心为，定点， 为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）为坐标原点， 是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点．当且满足时，求面积的取值范围．
18.在平面直角坐标系中，以为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）求直线与曲线的交点的直角坐标.
19.已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.
（1）若的坐标为，求的值；
（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，求的取值范围.
20.已知椭圆的方程为，双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为，且双曲线的焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别为椭圆的左，右焦点，过作直线 (与轴不重合)交椭圆于， 两点，线段的中点为，记直线的斜率为，求的取值范围.
21.如图，抛物线： 与椭圆： 在第一象限的交点为， 为坐标原点， 为椭圆的右顶点， 的面积为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点作直线交于、 两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
22.已知在平面直角坐标系中,圆的参数方程为 (为参数)以轴为极轴， 为极点建立极坐标系,在该极坐标系下,圆是以点为圆心,且过点的圆心.
(1)求圆及圆在平而直角坐标系下的直角坐标方程；
(2)求圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值.
高二（理科）数学试题答案
一、选择题
1. B2. A3. B4.D5.C6. B7. A8.B9. B10. C11.A12. B
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.
（Ⅰ）∵
∴为线段中点
∵
∴为线段的中垂线
∴
∵
∴由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆的标准方程为，
则， ，
∴。
∴点的轨迹的方程为。
（Ⅱ）∵圆与直线相切，
∴，即，
由，消去.
∵直线与椭圆交于两个不同点，
∴，
将代入上式，可得，
设， ，
则， ，
∴ ，
∴
∴，
∵，解得.满足。
又，
设，则.
∴ ，
∴
故面积的取值范围为。
18.
（1）∵直线的参数方程为，∴，代入，
∴，即.
∴直线的直角坐标方程为；
∵曲线的极坐标方程为，∴，∴.
即.
（2）曲线的直角坐标方程为，
∴，解得或.
∴直线与曲线的交点的直角坐标为， .
19.
（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得，
则抛物线的方程为.
设切线的方程为，代入得，
由得，
当时，点的横坐标为，
则，
当时，同理可得.
综上得。
（2）由（1）知， ，
所以以线段为直径的圆为圆，
根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线即可，
因为为直线与圆的切点，
所以， ，
所以，
所以，
所以直线的方程为，
由消去整理得，
因为直线与圆相交，所以。
设，则，
所以，
所以，
设，因为，所以，
所以，
所以.
20. (1)一条渐近线与轴所成的夹角为知，即，
又，所以，解得， ，
所以椭圆的方程为.
(2)由(1)知，设， ，设直线的方程为.
联立得，
由得，
∴，
又，所以直线的斜率.
①当时， ；
②当时， ，即.
综合①②可知，直线的斜率的取值范围是.
21.（1）因为的面积为，设，所以，
代入椭圆方程得，抛物线的方程是： .
（2）存在直线符合条件. 显然直线不垂直于y轴，故直线的方程可设为.与联立，设，
理由：显然直线不垂直于y轴，故直线的方程可设为，
与联立得.
设， ，则， ，
∴.
由直线OC的斜率为
，故直线OC的方程为，与联立得
，同理， ，
所以.
可得，
要使，只需，
即，解得，
所以存在直线符合条件.
22.
（1）将方程消去参数可得，
所以圆M的方程为。
点的直角坐标分别为，
所以圆N的圆心为，半径为，
故圆N的方程为。
（2）由（1）得圆M,N的圆心距为
，
所以圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为