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- 2021-04-25 发布
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遵义市南白中学2019-2020学年第一学期高一年级期中考试数学
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题四个选项中，只有一项符合要求）
1.设，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合表示由奇数构成的集合，结合元素与集合的关系，即可求解．
【详解】由题意，集合表示由奇数构成的集合，所以．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及元素与集合的关系的判定，其中解答中熟记集合的表示方法，正确理解集合的含义是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
2.已知函数，则该函数与直线交点个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 无数个 D. 至多一个
【答案】D
【解析】
试题分析：此题出得巧，此时无形胜有形，充分检验了学生对函数概念的掌握情况，根据函数的概念在定义域范围内任意的一个自变量都有唯一的函数值对应，直线与函数的图像最多只有一个交点，从而得出正确的答案是D.
考点：1.函数的概念；2.函数图像.
3.下列函数既在单调递增，又是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据初等函数的单调性和奇偶性，以及函数奇偶性的定义，逐项判定，即可求解．
【详解】由题意，对于函数，根据一次函数的性质，可得函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对于函数，根据二次函数的性质，可得函数的图象关于轴对称，所以是偶函数，且在单调递增，符合题意；
对于函数，满足，所以函数为奇函数，不符合题意；
对于函数，根据指数函数的性质，可得函数为非奇非偶函数，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与函数的奇偶性的判定，其中解答中熟记基本初等函数的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4.函数的图象一定经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
令，解得，即可得到函数经过定点，得到答案．
【详解】由题意，函数，令，可得，所以函数经过定点．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了指数函数的性质及其应用，其中解答熟记指数函数的图象与性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5.函数，，，的图象如图所示，则的大小顺序是( )
A. c＜d＜1＜a＜b B. 1＜d＜c＜a＜b
C. c＜d＜1＜b＜a D. d＜c＜1＜a＜b
【答案】A
【解析】
【分析】
令4个函数取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好是，通过函数的图象从左到右依次与交于，从而得出.
【详解】令4个函数取同样的函数值1，即，
解得，
作出的图象从左到右依次与交于
，
，故选A.
【点睛】本题主要考查对数函数的图象与性质，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
6.某种动物繁殖数量 y(只)与时间x(年)的关系为 y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( )
A. 300只 B. 400只
C. 500只 D. 600只
【答案】A
【解析】
【分析】
根据这种动物第1年有100只，先确定函数解析式，再计算第7年的繁殖数量．
【详解】由题意，繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog2（x+1），这种动物第1年有100只
∴100=alog2（1+1），
∴a=100，
∴y=100log2（x+1），
∴当x=7时，y=100 log2（7+1）=100×3=300．
故选A．
【点睛】本题考查学生对函数解析式的理解，考查运算能力，属于基础题．
7.已知函数，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式，逐次运算，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，函数，
则．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分段函数的求值，以及对数函数的应用，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8.已知，，，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数与对数函数图象与性质，求得的范围，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，根据对数函数的性质，可得，
根据指数函数性质，可得，，
所以．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9.用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设，其中，及，求得，即可求解．
【详解】由题意，设，
其中，
又由，则，
可得方程根在区间．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二分法的应用，其中解答中熟记二分法的概念，以及合理应用零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10.设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的值域为 B. 函数在上为单调函数
C. 函数为奇函数 D. 函数为偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，结合函数的性质和奇偶性的定义，逐项判定，即可求解．
【详解】由题意，函数，
可得函数的值域为，所以A项不正确；
函数在上不单调，所以B项不正确；
由函数的解析式，可得函数的定义域为关于原点对称，又由，可函数为上的偶函数．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的解析式，结合函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
11.设在区间上的最大值为，最小值为，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
设函数，求得函数为奇函数，设当时函数在区间上的最大值为，得到，进而结合为奇函数，求得函数的最小值为，即可求解．
【详解】设函数，则．
又由，所以函数为奇函数，
图象关于原点对称，
设当时，函数在区间上的最大值为，即，
可得，即函数的最大值为，
因为函数为奇函数，图象关于原点对称，可得，
所以函数的最小值为，即，
所以.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数的最值的求法，其中解答中构造新函数，熟练应用函数的奇偶性和函数图象的对称性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12.函数的定义域是，值域是，则符合条件的数组的组数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【详解】,所以.将看成整体,则的图象是开口向上以为对称轴的抛物线.一下分三种情况讨论:
当时,.两式相减整理可得.因为,所以上式不可能成立,故舍;
当时,所以最小值即为顶点，.此时有两种可能
（i）, 即离对称轴更远,此时所以最大值为,矛盾,故舍.
（ii）即离对称轴更远,此时最大值为,解得（舍去小于1的根）.
当时,此时最大值是,最小值是.由（ii）可知的值分别为.必有一个小于1,矛盾,故舍.
综上可得.故B正确.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡相应位置）
13.已知幂函数在第一象限单调递增，且为奇函数，则_____________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据幂函数在第一象限单调递增，求得,结合幂函数的性质，即可求解．
【详解】根据幂函数的图象与性质，当幂函数在第一象限单调递增，
则满足，解得，即,
当时，幂函数，此时函数为偶函数，不符合题意；
当时，幂函数，此时函数为奇函数，符合题意，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
14.已知函数过点，则函数的零点为 _______．
【答案】2
【解析】
【分析】
由函数过点，解得，得到函数，令，即可求得函数的零点，即可得到答案．
【详解】由题意，函数过点，即，解得，
则函数，令，即，即，解得，
所以函数的零点为2.
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答熟记函数的零点的概念，结合对数函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15.若函数的定义域是，则函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数的定义域是，得到函数满足，即可求解．
【详解】由题意，函数的定义域是，
则函数满足，解得，
即函数的定义为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法，得函数的解析式有意义的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16.函数，在定义域上满足对任意实数都有，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：对任意实数都有，可知函数函数在R上单调递减，所以有,解得．
考点：由函数单调性求参数范围．
【方法点睛】对于分段函数在全体实数上具有单调性求参数范围的题目（常常是分两段），如,解法如下：当函数在全体实数上单调递增（或递减）时，需有由单调递增（或递减）列出关于参数的不等式；由单调递增（或递减）列出关于参数的不等式；由（）得到参数的不等式；将以上关于参数的三个不等式联立求解即可．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知，.
（1）求和；
（2）定义且，求.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据指数函数与对数函数的图象与性质，求得集合，，结合集合的交集和并集的运算，即可求解．
（2）由（1）和定义且，得到且，根据补集的运算，即可求解．
【详解】（1）由题意，根据指数函数与对数函数的图象与性质，
求得集合，，
再由集合交集与并集的运算，可得．
（2）由（1）得，，
又由且，可得且
根据补集的运算，可得即．
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，以及集合的新定义的应用，其中解答中正确理解集合的新定义，以及熟记集合的交集、并集和补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18.（1）计算：；
（2）计算： .
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；
（2）根据对数的运算性质，合理、准确运算，即可求解．
【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：
原式
（2）由题意，根据对数的运算性质，可得：
原式.
【点睛】本题主要考查了实数指数幂和对数的化简求值问题，其中解答中熟记实数指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
19.已知函数.
（1）求定义域；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据对数函数的性质，可得有意义，满足，即可求解函数的定义域；
（2）由（1）知，函数的定义域为，根据当时，函数为单调递减函数，结合，列出不等式组，即可求解．
【详解】（1）根据题意，函数有意义，
则满足，解得，所以函数的定义域为.
（2）由（1）知，函数的定义域为，且函数，
当时，函数为单调递减函数，
又由，可得，解得，
所以实数的取值范围.
【点睛】本题主要考查了对数函数图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，准确列出相应的不等式组是解答的关键，同时注意对数函数的定义域是解答的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
20.已知函数．
(1)试作出的图象,并根据图象写出的单调区间；
(2)若函数有两个零点,求实数b的取值范围．
【答案】(1)图象见解析，的单调递减区间为（–∞，1）, 的单调递增区间为[1，+∞）；(2)（0，2）
【解析】
【分析】
(1)利用绝对值的性质和指数函数的单调性把函数的解析式化成分段函数的形式,在直角坐标系内画出函数图象即可,通过函数的图象写出的单调区间；
(2)由题意可知：有两个零点,即有两个不同的实数解,
可以转化为
有两个交点,利用图象可以求出的取值范围.
【详解】(1) ,函数的图象如下图：
通过图象可知：的单调递减区间为（–∞，1）, 的单调递增区间为[1，+∞）；
(2)因为有两个零点,所以有两个不同的实数解,即有两个交点,如上图：通过图象可知：实数b的取值范围为（0，2）.
【点睛】本题考查了画函数图象,考查了利用数形结合思想解决已知函数的零点个数求参数取值范围问题.
21.某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本(单位：元/100
)与上市时间(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：
时间
50
110
250
成本
150
108
150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系：；
（2）利用（1）中选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
【答案】（1）； （2）上市天时，成本最低为 (元)．．
【解析】
【分析】
（1）根据表中数据，可判定西红柿种植成本与上市时间的变化关系的函数不是单调函数，结合给定函数的单调性，选取二次函数，代入表格中数据，即可求解；
（2）由（1）函数，结合二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）根据表中数据，可判定西红柿种植成本与上市时间的变化关系的函数不是单调函数，这与函数的单调性都不符，
所以在的前提下，可选取二次函数进行描述．
把表格中的点代入二次函数，
可得 ，解得．
所以西红柿种植成本与上市时间的函数关系是．
（2）由（1）函数，
可得函数的图象开口向上，且对称轴为，
所以当天时，西红柿种植成本最低，
最低成本为(元)．
即西红柿种植上市天时，成本最低为 (元)．
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，其中解答中认真审题，根据给定函数的单调性合理选择函数的解析式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，属于中档试题．
22.已知函数
（1）当时，求方程的解；
（2）若方程在上有实数根，求实数的取值范围；
（3）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2） [－8，0]；（3）．
【解析】
【详解】（1）当时，方程为，
解得
（2）因为函数＝x2－4x＋a＋3的对称轴是x＝2，
所以在区间[－1，1]上是减函数，
因为函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有：
即，解得，
故所求实数a的取值范围为[－8，0] ．
（3）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，只需函数y＝f（x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集．
＝x2－4x＋3，x∈[1，4]的值域为[－1，3]，下求g（x）＝mx＋5－2m的值域．
①当m＝0时，g（x）＝5－2m为常数，不符合题意舍去；
②当m＞0时，g（x）的值域为[5－m，5＋2m]，要使[－1，3][5－m，5＋2m]，
需，解得m≥6；
③当m＜0时，g（x）的值域为[5＋2m，5－m]，要使[－1，3][5＋2m，5－m]，
需，解得m≤－3；
综上，m的取值范围为．