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- 2021-04-25 发布
平罗中学 2019-2020 学年第一学期第一次月考考试试卷
高三数学（文）
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分.每题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）．
1.已知全集 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算出全集 ，然后利用补集的定义求出集合 .
【详解】 全集 ， ，因此， ，
故选 B.
【点睛】本题考查有限数集补集 运算，解题的关键就是补集定义的应用，考查计算能力，
属于基础题.
2.下列命题错误的是（ ）
A. 命题“若 x2﹣3x+2＝0，则 x＝1”的逆否命题为“若 x≠1，则 x2﹣3x+2≠0”
B. 若 p：∀x≥0，sinx≤1，则￢p：∃x0≥0，sinx0＞1
C. 若复合命题：“p∧q”为假命题，则 p，q 均为假命题
D. “x＞2”是 x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由命题的逆否命题的形式可判断 A；由全称命题的否定为特称命题可判断 B；由复合命题的真
假表可判断 C；由充分必要条件的定义和二次不等式的解法可判断 D.
【详解】对于 A，“若 x2﹣3x+2＝0，则 x＝1”的逆否命题为“若 x≠1，则 x2﹣3x+2≠0”，故 A 正
确；
的
{ }0 6U x Z x= ∈ < < { }3,4,5B = U B =
{ }1,2,3 { }1,2
{ }0,1,2 { }0,1,2,3
U U B
{ } { }0 6 1,2,3,4,5U x Z x= ∈ < < = { }3,4,5B = { }1,2U B =
对于 B，p：∀x≥0，sinx≤1，则￢p：∃x0≥0，sinx0＞1，故 B 正确；
对于 C，若复合命题：“p∧q”为假命题，则 p，q 中至少有一个为假命题，故 C 错误；
对于 D，“x＞2”可得 x2﹣3x+2＞0”，反之则不成立，故“x＞2”是 x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条
件，故 D 正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查四种命题、命题的否定、复合命题的真假表以及充分不必要条件，属
于基础题.
3.下列函数中，是奇函数且在定义域内为增函数的是（ ）
A. y＝x2 B. y＝ex C. y＝x﹣1 D. y＝x+sinx
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得到答
案.
【详解】对于 A，y＝x2 为二次函数，为偶函数且在其定义域内不是增函数，不符合题意；
对于 B，y＝ex 为指数函数，为非奇非偶函数，在定义域为增函数，不复合题意；
对于 C，y＝x﹣1 为反比例函数，为奇函数，在定义域内不是增函数，不复合题意；
对于 D，y＝x+sinx，为奇函数， ，即函数在定义域内为增函数，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，需掌握函数奇偶性的定义以及函数单调性与
导数的关系，属于基础题.
4.已知 sinθ﹣cosθ ，则 sin2θ 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由同角三角函数的关系以及二倍角正弦公式，对 sinθ﹣cosθ 两边平方即可求解.
【详解】由 sinθ﹣cosθ ，
1 cos 0y x′ = + ≥
1
5
=
24
25
24
25
− 7
25
7
25
−
1
5
=
1
5
=
两边同时平方可得 ，
即 ，
所以 ，
故选：A
【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及二倍角公式，需熟记公式，属于基础题.
5.已知奇函数 f（x）满足 f（x+2）＝﹣f（x），且 x∈（0，1]时， ，则 f（7）＝（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. ﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用奇函数的性质和 ，将 转化为 ，代入解析式即可求解.
【详解】奇函数 f（x）满足 f（x+2）＝﹣f（x），
可得 ，函数的周期为 ，
当 x∈（0，1]时， ，
则 ，
故选：A
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与周期性，利用周期性与奇偶性求函数值，属于基础题.
6.函数 零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用零点存在性定理计算 ，由此求得函数零点所在区间.
【详解】依题意可知 在 上为增函数，且 ， ，
，所以函数零点在区间 .
2 2 1sin 2sin cos cos 25
θ θ θ θ− + =
11 sin 2 25
θ− =
24sin 2 25
θ =
( ) 1
2f x x=
( ) ( )2f x f x+ = − ( )7f ( )1f−
( ) ( )4f x f x+ = 4
( ) 1
2f x x=
( ) ( ) ( ) ( )7 7 2 4 1 1 1f f f f= − × = − = − = −
( ) 3 lgf x x x= − +
( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4
( ) ( ) 0f a f b⋅ <
( )f x ( )0, ∞+ ( )2 lg 2 1 0f = − < ( )3 lg3 0f = >
( ) ( )2 3 0f f⋅ < ( )2,3
故选 C.
【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，属于基础题.
7.若实数 满足 ，则下列关系中不可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，结合对数函数的性质，依次分析选项，综合即可得答案．
【详解】根据题意，实数 ， 满足 ，
对于 ，若 ， 均大于 0 小于 1，依题意，必有 ，故 有可能成立；
对于 ，若 ，则有 ，故 有可能成立；
对于 ，若 ， 均大于 1，由 ，知必有 ，故 有可能成立；
对于 ，当 时， ， ， 不能成立，
故选 ．
【点睛】本题考查对数函数的单调性，注意分类讨论 、 的值，属于中档题.
8.函数 f（x）＝﹣2sin2x﹣3cosx 在[0，2π）的零点为（ ）
A. B. C. 和 D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数零点与方程根的关系，解方程： 即可求解.
【详解】令 ，即 ，
所以
解得 或 （舍去）
a b， log 2 log 2a b
<
0 1b a< < < 0 1a b< < < 1a b> >
0 1b a< < <
a b log 2 log 2a b
<
A a b 0 1b a< < < A
B log 2 0 log 2b a
> > 0 1a b< < < B
C a b log 2 log 2a b
< 1a b> > C
D 0 1b a< < < log 2 0a
> log 2 0b
< log 2 log 2a b
<
D
a b
2
3
π 4
3
π 2
3
π 4
3
π 2
3
π
2
3
π−
22sin 3cos 0x x− − =
( ) 0f x = 22sin 3cos 0x x− − =
22(1 cos ) 3cos 0x x− − − =
1cos 2x = − cos 2x =
又因为 ，所以 或 ，
故选：C
【点睛】本题考查了函数的零点以及三角函数值，需掌握零点的定义以及特殊的三角函数值，
属于基础题.
9.函数 f（x）＝e|x|﹣1 的单调递增区间和最小值为（ ）
A. （﹣∞，0），1 B. （﹣∞，0），0 C. （0，+∞），1 D. （0，
+∞），0
【答案】D
【解析】
【分析】
首先判断函数为偶函数，利用导函数讨论 的单调性即可求出单调递增区间，由函数的单
调性即可求出最小值.
【详解】当 时， ，
则 ，所以函数在 上单调递增，
又 ，所以函数 为偶函数，
由偶函数的性质可得：函数在 上单调递减，
所以
故选：D
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间以及函数的最值，解题的关键是求出导函
数，属于基础题.
10.已知 x＝2 为函数 f（x）＝x3﹣ax 的极小值点，则 f（x）的极大值为（ ）
A. ﹣16 B. 16 C. 4 D. ﹣4
【答案】B
【解析】
分析】
根据 x＝2 为函数的极值点可得 ，从而求出 ，根据极值的定义即可求出极大
值.
【
[ )0,2x π∈ 2
3x
π= 4
3x
π=
0x >
0x > ( ) 1xf x e= −
( ) 0xf x e′ = > ( )0, ∞+
( ) ( )f x f x− = ( )f x
( ),0−∞
( ) ( )min 0 0f x f= =
( )2 0f ′ = 12a =
详解】由 ，所以 ，
为函数 的极小值点，
，即 ，解得 ,
，令
解得 或 ，
令 ，解得 或 ，
所以函数 的单调递增区间为 和
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为
即 为函数的极大值点，
故选：B
【点睛】本题考查了函数的极值，需掌握函数极值的定义，解题的关键是求导函数，属于基
础题.
11.已知 α、β 都为锐角，且 、 ，则 α﹣β＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.
【详解】因为 α、β 都为锐角，且 、 ，
所以 ， ，
由 ，
【 ( ) 3f x x ax= − ( ) 23f x x a′ = −
2x = ( ) 3f x x ax= −
( )2 0f ′∴ = 23 2 0a× − = 12a =
∴ ( ) 23 12f x x′ = − ( ) 0f x′ =
2x = 2x = −
( ) 0f x′ > 2x > 2x < −
( )f x ( ), 2−∞ − ( )2,+∞
( ) 0f x′ < 2 2x− < <
( )f x ( )2,2−
2x = − ( ) ( ) ( )32 2 12 2 16f − = − − × − =
21
7sinα = 21
14cosβ =
3
π−
3
π
6
π−
6
π
21
7sinα = 21
14cosβ =
2 7cos 7
α = 5 7sin 14
β =
( ) 21 21 2 7 5 7 49 1sin sin cos cos sin 7 14 7 14 98 2
α β α β α β− = − = ⋅ − ⋅ = − = −
且 α、β 都为锐角， 所以
故选：C
【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题.
12.已知偶函数 f（x）的导函数是 f'（x），当 x＞0 时，f（x）+xf'（x）＞0，且 f（2）＝0，则 f
（x）＞0 的解集为（ ）
A. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B. （﹣2，0）∪（0，2）
C. （﹣2，0）∪（2，+∞） D. （﹣∞，﹣2）∪（0，2）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件构造函数 ，利用函数的单调性和导数之间的关系，判断函数 的
单调性，然后根据函数 的奇偶性判断函数 的取值情况，即可求得不等式的解集.
【详解】构造函数 ，则 ，
当 x＞0 时， 恒成立，
即 恒成立，
在 内 单调递增，
，
在 内恒有 ；在 内恒有
又 是定义在 上的偶函数，
在 内恒有 ；在 内恒有
不等式 的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）.
故选：A
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，解题的关键是根据已知条件构造函数，并利用
导数判断函数的单调性，属于中档题.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡的相
6
πα β− = −
( ) ( )g x xf x= ( )g x
( )f x ( )f x
( ) ( )g x xf x= ( ) ( ) ( )g x f x xf x′ ′= +
( ) ( ) 0f x xf x′+ >
( ) ( ) ( ) 0g x f x xf x′ ′= + >
∴ ( )0, ∞+ ( )g x
( )2 0f =
∴ ( )f x ( )0,2 ( ) 0f x < ( )2,+∞ ( ) 0f x >
( )f x R
∴ ( )f x ( )2,0,− ( ) 0f x < ( ), 2−∞ − ( ) 0f x >
∴ ( ) 0f x >
应位置）．
13.若函数 ，且 f（a）＝1，则 a＝_____
【答案】﹣3 或 2
【解析】
【分析】
讨论 的取值范围，代入对应的表达式解方程即可求解.
【详解】∵函数 ，且 f（a）＝1，
∴当 a＜0 时，f（a）＝log3（﹣a）＝1，解得 a＝﹣3；
当 a≥0 时，f（a）＝﹣a2+5＝1，解得 a＝2 或 a＝﹣2（舍）．
综上，a 的值为﹣3 或 2．
故答案为：﹣3 或 2
【点睛】本题考查分段函数求参数值，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
14.函数 f（x） 在点（1，f（1））处的切线方程为_____
【答案】y＝﹣2x+1
【解析】
【分析】
求出 ，利用导数的几何意义得出切线的斜率，由点斜式方程即可求解.
【详解】由题得点为（1，﹣1）， ，
所以斜率为 ，
所以切线方程为 y＝﹣2（x﹣1）﹣1＝﹣2x+1．
故答案为：y＝﹣2x+1
【点睛】本题考查曲线的切线方程，需理解导数的几何意义以及点斜式方程，属于基础题.
15.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）＝2x+x，则 f（﹣1）＝_____
【答案】
【解析】
【分析】
( ) ( )3
2
0
5 0
log x xf x
x x
−= − + ≥
， ＜
，
a
( ) ( )3
2
0
5 0
log x xf x
x x
−= − + ≥
，＜
，
2 3x
= −
( )1 2f ′ = −
( ) 2
2f x x
′ = −
( )1 2f ′ = −
3−
利用函数的奇偶性即可求值.
【详解】根据题意，当 x＞0 时，f（x）＝2x+x，则 f（1）＝2+1＝3，
又由 f（x）为奇函数，则 f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3；
故答案为：
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，需掌握奇偶性的特征，属于基础题.
16.sin15°+cos15°=__.
【答案】
【解析】
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤）．
17.已知函数 f（x）＝x2﹣x﹣alnx．
（1）当 a＝3 时，求 f（x）在[1，2]上的最大值与最小值；
（2）若 f（x）在（0，+∞）上单调递增，求 a 的取值范围．
【答案】（1） ，f（x）max＝0（2）
【解析】
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，利用导函数判断函数的单调性，再结合函数的定义域即可求解.
（2）利用导函数转化为 f′（x）≥0 在（0，+∞）上恒成立，采用分离参数法即 a≤2x2﹣x 在
（0，+∞）上恒成立，令 ，求 在 的最小值即可.
【详解】（1）解：当 a＝3 时，f（x）＝x2﹣x﹣3lnx（x＞0）；
；
∴f（x）在 上单调递减，在 上单调递增；
∴当 x∈[1，2]时， ；
3−
3 6sin15 cos15 2 sin(15 45 ) 2 2 2
+ = + = × =
3 3( ) 34 2minf x ln= − 1
8
∞ − − ，
( ) 22g x x x= − ( )g x ( )0, ∞+
( ) ( )( )2 3 132 1 x xf x x x x
− +′ = − − =
31 2
， 3 22
，
3 3 3( ) 32 4 2minf x f ln = = −
f（1）＝0，f（2）＝2﹣3ln2；
∴f（x）max＝f（1）＝0；
（2）解： ；
若 f（x）在（0，+∞）上单调递增，
即 在（0，+∞）上恒成立；
则 a≤2x2﹣x 在（0，+∞）上恒成立；
令 g（x）＝2x2﹣x，则 g′（x）＝4x﹣1；
易知， ；
∴a ，即 a 的取值范围是 ．
【点睛】本题主要考查导数求函数的最值以及根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中
档题.
18.已知角 α 的终边过点（1，2）．
（1）求 的值；
（2）若 tan（α+β）＝﹣1，求 tan2β 的值．
【答案】（1）3（2）
【解析】
【分析】
（1）根据终边上的点求出 ，再利用诱导公式化简、代入求值即可.
（2）利用正切的两角和的公式展开求出 ，再根据正切的二倍角公式即可求值.
【详解】由角 α 的终边过点 P（1，2），可得 tanα＝2，
（1） 3．
（2）∵tan（α+β） 1，
∴解得：tanβ＝3，
( ) 2 1 af x x x
′ = − −
( ) 0f x′ ≥
1 1( ) 4 8ming x g = = −
1
8
≤ − 1
8
∞ − − ，
( ) ( )
( )
2sin cos
cos sin
π α α
π α α
− − −
− +
3
4
−
tan 2α =
tan 3β =
( ) ( )
( )
2 2 2 1 2 2 1
1 2 1
sin cos sin cos tan
cos sin cos sin tan
π α α α α α
π α α α α α
− − − − − × −= = = =− + − + − −
2
1 1 2
tan tan tan
tan tan tan
α β β
α β β
+ += = = −− −
∴tan2β ．
【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式以及正切的两角和与差的公式、二倍角公式，需
熟记公式，属于基础题.
19.石嘴山市第三中学高三年级统计学生的最近 20 次数学周测成绩，现有甲乙两位同学的 20
次成绩如茎叶图所示:
（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完
整；
（2）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给
出结论即可）；
（3）现从甲乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成绩，记事件 为“其中 2 个
成绩分别属于不同的同学”，求事件 发生的概率.
【答案】（1）见解析；（2）乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同
学的成绩更稳定集中 ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）直接由茎叶图求解.
（2）由茎叶图中数据的集中程度直接判断．
（3）甲同学的不低于 140 分的成绩有 2 个设为 a，b，乙同学的不低于 140 分的成绩有 3 个，
设为 c，d，e，即可求得任意选出 2 个成绩有 10 种，其中 2 个成绩分属不同同学的情况有 6
种，利用古典概型概率公式即可得解．
【详解】（1）甲的成绩的中位数是 119，乙的成绩的中位数是 128，
2 2
2 2 3 3
1 1 3 4
tan
tan
β
β
×= = = −− −
A
A
3
5
同学乙的成绩的频率分布直方图如下：
（2）从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学
的成绩更稳定集中 .
（3）甲同学的不低于 140 分的成绩有 2 个设为 a，b，
乙同学的不低于 140 分的成绩有 3 个，设为 c，d，e ,
现从甲乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成绩有：
(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共 10 种，
其中 2 个成绩分属不同同学的情况有：
(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)共 6 种，
因此事件 A 发生的概率 P(A)= .
【点睛】本题主要考查了茎叶图知识，考查了平均数计算及稳定性判断，还考查了古典概型
概率计算，属于基础题．
20.已知椭圆 C： 的左右焦点分别为 F1、F2，过 F1 的直线交椭圆 C 与
A、B 两点，△AF2B 的周长为 ，且椭圆 C 经过点 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）当 AB 的中点坐标为 时，求△AF2B 的面积．
【答案】（1） y2＝1（2）
【解析】
6 3
10 5
=
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = ＞ ＞
4 2
21 2
，
2 1
3 3
− ，
2
2
x + 4
3
【分析】
（1）根据椭圆的定义求出 a ，再由椭圆上的点满足椭圆方程求出 即可.
（2）根据已知设出直线方程，将直线与椭圆联立，利用中点弦公式求出直线方程，
再由弦长公式以及点到直线的距离即可求解.
【详解】（1）∵△AF2B 的周长为 4 ，故 4a＝4 ，即 a ，
又椭圆经过点（1， ），∴ 1，即 b＝1，
∴椭圆方程为 y2＝1．
（2）由椭圆方程可知 F1（﹣1，0），F2（1，0）．
∵AB 的中点（ ， ）在第二象限，显然直线 AB 有斜率且斜率大于 0，
设直线 AB 的方程为 y＝k（x+1）（k＞0），
代入椭圆方程可得：（ k2）x2+2k2x+k2﹣1＝0，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），即
，
解得：k＝1，于是 x1x2＝0，
∴|AB| • ．
又直线 AB 的方程为：y＝x+1，F2（1，0），
∴F2 到直线 AB 的距离 d ，
∴△ABF2 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，需掌握住弦长公式、点到
直线的距离公式，属于中档题.
21.已知函数 f（x）＝ex﹣ax﹣1，a∈R．
（1）当 a＝2 时，求函数 f（x）的单调性；
2= 1b =
2 2 2=
2
2 2
1 1
2 2b
+ =
2
2
x +
2
3
− 1
3
1
2
+
2
1 2
2
2 2 21 3
2
kx x
k
+ = − = − ×
+
2 2
1 2 1 2(1 )( ) 4 2k x x x x= + + − = 4 4 2
3 3
=
2 2
2
= =
1 4 2 422 3 3
× × =
（2）设 a≤0，求证：x≥0 时，f（x）≥x2．
【答案】（1）f（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将 代入，求函数的导函数，由函数的单调性与导数即可求解.
（2）利用分析法，将不等式转化为 f（x）﹣x2＝ex﹣ax﹣1﹣x2≥0 恒成立，
令 g（x）＝ex﹣ax﹣1﹣x2，研究 的单调性即可证明.
【详解】（1）解：当 a＝2 时，f（x）＝ex﹣2x﹣1；
f′（x）＝ex﹣2；
当 f′（x）＝0 时，x＝ln2；
∴f（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增；
（2）证明：令 g（x）＝f（x）﹣x2；
即证当 x≥0 时，g（x）＝f（x）﹣x2＝ex﹣ax﹣1﹣x2≥0 恒成立；
g′（x）＝ex﹣2x﹣a；
令 h（x）＝g′（x），则 h′（x）＝ex﹣2；
由第（1）问可知，h（x）min＝h（ln2）＝2﹣2ln2﹣a；
∵a≤0；
∴h（ln2）＞0；
∴g′（x）＞0，即 g（x）在[0，+∞）上单调递增；
∴g（x）≥g（0）＝0；
∴当 x≥0 时，f（x）≥x2．
【点睛】本题考查利用导函数研究函数的单调性以及不等式的证明，考查学生的逻辑推理能
力，属于中档题
请考生在题（22）（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计
分．做题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并填写序号．
22.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），在以 O 为极点，x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ＝4cosθ．
a
( )g x
31 2
1
2
x t
y t
= +
=
（1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与 x 轴的交点为 F，直线 l 与曲线 C 的交点为 A、B，求|FA|+|FB|的值．
【答案】（1）直线l 的普通方程为 ，曲线 C 的直角坐标方程为 y2＝4x
（2）16
【解析】
【分析】
（1）消参即可求出直线 l 的普通方程，由 代入即可求出曲线 C 的直角坐标方程.
（2）将直线 参数方程代入曲线方程，根据韦达定理求出 ，t1•t2＝﹣16（t1 和 t2
为 A、B 对应的参数），由 即可求解.
【详解】（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），转换为直角坐标方程为
．
曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ＝4cosθ．整理得（ρsinθ）2＝4ρcosθ，转换为直角坐标方程为 y2
＝4x．
（2）由于直线 l 与 x 轴 交点坐标为（1，0），所以把直线 l 的参数方程 （t 为
参数）代入 y2＝4x，
得到 ，即 ，
所以 ，t1•t2＝﹣16（t1 和 t2 为 A、B 对应的参数），
所以|FA|+|FB| ．
【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查了直线与抛物线相交的
焦点弦长，属于基础题.
23.设
的
的
3 1 0x y− − =
sin
cos
y
x
ρ θ
ρ θ
=
=
1 2 8 3t t+ =
1 2FA FB t t+ = −
31 2
1
2
x t
y t
= +
=
3 1 0x y− − =
31 2
1
2
x t
y t
= +
=
2 34 14 2
t t
= +
2 8 3 16 0t t− − =
1 2 8 3t t+ =
2
1 2 1 2 1 2( ) 4 256 16t t t t t t= − = + − = =
( ) 2 2f x x x= − + +
（1）解不等式 ；
（2）对任意的非零实数 ，有 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）通过讨论 的范围去绝对值符号，从而解出不等式．
（2） 恒成立等价于 恒成立的问题即可解决．
【详解】（1）
令
当 时
当 时
当 时
综上所述
（2） 恒成立等价于
（当且仅当 时取等）
恒成立
【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式以及恒成立的问题，在解绝对值不等式时首先考虑
去绝对值符号．属于中等题．
( ) 6f x ≥
x 2( ) 2f x m m≥ − + m
3 3x x≤ − ≥或 1 2m− ≤ ≤
x
2( ) 2f x m m≥ − + 2
min( ) 2f x m m≥ − +
( ) 2 2f x x x= − + +
( ) 6 ( ) 2 2 6f x f x x x∴ ≥ ⇒ = − + + ≥
2 0 2, 2 0 2x x x x− = ⇒ = + = ⇒ = −
2x −≤ ( ) ( )2 2 6 2 2 6 3x x x x x− + + ≥ ⇒ − − − + ≥ ⇒ ≤ −
3x∴ ≤ −
2x ≥ ( ) ( )2 2 6 2 2 6 3x x x x x− + + ≥ ⇒ − + + ≥ ⇒ ≥
3x∴ ≥
2 2x− < < ( ) ( )2 2 6 2 2 6 4 6x x x x− + + ≥ ⇒ − − + + ≥ ⇒ ≥
x φ∴ ∈
3 3x x≤ − ≥或
2( ) 2f x m m≥ − + 2
min( ) 2f x m m≥ − +
( ) ( )( ) 2 2 2 2 4f x x x x x= − + + ≥ − − + = ( ) ( )2 2 0x x− ⋅ + ≤
2 2 2
min( ) 2 4 2 2 0f x m m m m m m∴ ≥ − + ⇒ ≥ − + ⇒ − − ≤
1 2m∴− ≤ ≤