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- 2021-04-25 发布
临川一中2018—2019学年度下学期期中考试
高二理科数学试卷
卷面满分：150 分 考试时间： 120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则( )
A． B． C． D．
2.已知，，且，则向量在方向上的投影为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则是在处取得极大值的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.大致的图象是（ ）
A． B． C. D．
5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数的一个对称中心为，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．
D．
7. 在区间上随机取三个数，则事件“”发生的概率为( )
A. B. C. D.
8.执行如右图所示的算法流程图，则输出的结果的值为（ ）
A． B． C． D．
9.在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于、两点，过、分别作、的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于， 则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.几只猴子在一棵枯树上玩耍，它们均不慎失足下落．已知
（）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
（）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
（）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，．
则这根树枝从高到低不同的次序有（ ）种
A． B． C． D．
12.记函数，若曲线上存在点使得，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷 (非选择题共90分)
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知展开式中常数项为，则正数＝________.
14.对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎不都相邻，则不同的站法种数是 ．（用数字作答）
15.抛掷红、黄两颗骰子，设事件为“黄色的骰子的点数为3或6”，事件为“两颗骰子的点数之和大于7”.当已知黄色的骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于7的概率为__________．
16.已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为__________．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
已知正项数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若是等比数列，且，，令，求数列的前项和.
18.
(本小题满分12分)如图，函数（其中）的图像与坐标轴的三个交点为，且，为的中点，且的纵坐标为.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求线段与函数图像围成的图中阴影部分的面积.
19. (本小题满分12分)
如图，在多面体中，底面是菱形，，，，，，.
（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
组别
频数
（Ⅰ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该所大学共有学生人，试估计有多少位同学旅游费用支出在元以上；
（Ⅱ）已知样本数据中旅游费用支出在范围内的名学生中有名女生，名男生，现想选其中名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望.
附：若，则，
，.
21. （本小题满分12分）已知曲线由抛物线及抛物线组成，直线与曲线有个公共点.
（Ⅰ）若，求的最小值；
（Ⅱ）若，自上而下记这个交点分别为，求的取值范围.
22．（本小题满分12分）已知函数,为常数.
（Ⅰ）讨论并求函数的单调区间；
（Ⅱ）若的图像与轴有且只有一个交点,曲线在处切线斜率为，若存在两个不同的正实数满足，证明：.
临川一中2018—2019学年度下学期期中考试答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
D
C
B
B
C
B
A
D
B
二、 填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由得，
两式相减得，
∴， …………3′
∵，∴，又由得得，
是首项为，公差为的等差数列，从而.…………5′
（Ⅱ）设公比为，则由可得，∴，
∴ …………8′
故 …………10′
解（Ⅰ）由，则周期…………2′
又…………4′
…………5′
（Ⅱ）由图可知，设轴上方的阴影部分面积为，轴下方的阴影部分面积为，
则…………8′
…………11′
则…………12′
19.解：(Ⅰ)证明：作交于，交于，连接
由，易得
所以四边形是平行四边形，
所以，又因为底面是菱形 …………2′
所以，又易得，所以，所以，
因为，
所以，所以， …………4′
故，故. …………5′
(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
所以，，， ………7′
设平面的法向量为，则
令，得，所以 ………9′
设平面的法向量为，则
令，得，所以
设平面与平面所成锐二面角为，
则 ……11′
所以平面C与平面所成锐二面角的余弦值为 ………12′
20.（Ⅰ），，，
旅游费用支出在元以上的概率为
，………………3′
，
估计有位同学旅游费用支出在元以上.………………5′
（Ⅱ）的可能取值为，，，，
，，
，，………………9′
∴的分布列为
.………………12′
21.解：（Ⅰ）联立与，得，∵，………2′
∴与抛物线恒有两个交点.联立与，得.
∵，∴.
∵，∴，∴的最小值为.………………5′
（Ⅱ）设，，，，
则两点在抛物线上，两点在抛物线上，
∴，，，，且，，∴.………………8′
∴，，………………10′
∴.
∴，∴，∴.………………12′
22.解：由题意得：，当时，当时，又易知.
（1）①当时在总成立，且由，满足题意
故在上单调递增。 ……………2′
②当时，得在上单调递减，在单调递增.
i)当时，，令
，所以在上也有个根，故与轴有两 个不同的交点，不符合题意； ……………4′
ii)当时,,满足题意，此时在上单调递减，在上单调递增；
iii)当时，，令，
，
设，，
故在单增，所以，
所以，故在上有零点，不合题意.
综上得：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增。……………6′
（2）由题意得，解得，由（1）得，……………8′
得 在总成立，故在上单调递增，
不妨设，所以有，
则即为
得， ……………10′
又，
则，即
亦即
得，故 ……………12′