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- 2021-04-25 发布
2017-2018 学年内蒙古赤峰二中高二 4 月月考
理科数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的．
1．已知复数 z＝ 10
3＋i
－2i (其中 i 为虚数单位)，则|z|＝
A．3 3 B．3 2 C．2 3 D．2 2
2．设集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则 A∩B 的子集的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
3.为了研究某班学生的脚长 x（单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽
取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方
程为 ˆˆ ˆy bx a ．已知
10
1
225i
i
x
，
10
1
1600i
i
y
， ˆ 4b ．该班某学生的脚长为 24，据此
估计其身高为
A 160 B 163 C 166 D 170 [
4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验
得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134 石 B．169 石 C．338 石 D．1365 石
5. 某 校 从 高 一 年 级 学 生 中 随 机 抽 取 部 分 学 生 , 将 他 们 的 模 块 测 试 成 绩 分 成 6 组 ：
[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图．已知
高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为( )．
A．588 B．480 C．450 D．120
6．已知 1 是 lga 与 lgb 的等比中项，若 a＞1，b＞1，则 ab 有（ ）
A．最小值 10 B．最大值 100 C．最大值 10 D．最小值 100
7.设函数 f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ） 的最小正周期为π，且 f
（﹣x）=f（x），则
A . f（x）在 单调递减 B. f（x）在（ ， ）单调递减
C. f（x）在（0， ）单调递增 D . f（x）在（ ， ）单调递增
8．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执
行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 72，27，则输出的 a
A．18 B．9 C．6 D．3
9.某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择 4 名参加志
愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有 1 人参加，则甲、乙都被选中且列队
服务时不相邻的概率为
A． 1
2
B． 1
3
C． 1
6
D． 1
4
10 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视
图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r=（）
A 1 B 8 C 4 D 2
11. 抛物线 xy 122 的焦点为 F，抛物线的弦 AB 经过焦点 F，以 AB 为直径的圆与直线
)0( ttx 相切于 )6,( tM ，则线段 AB 的长为（ ）
A.12 B. 18 C. 16 D. 24
12. 已知函数 (为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.在
n
xx
23 的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于_________.
14 如图，在边长为 e （ e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部
分的概率为______.
15．设双曲线
2 2
2 2 1 0 0x y a ,ba b
的左、右顶点分别为 A , B ，点 P 在双曲线上且异于 A , B
两点， O 为坐标原点．若直线 PA 与 PB 的斜率之积为 7
9
，则双曲线的离心率为________．
16.锐角．． ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且满足
sin sin sina b A B c b C ，若 3a ，则 2 2b c 的取值范围是________
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分 12 分）记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，已知， 24122 aa . 12111 S
(1)求 na 的通项公式；
(2)令
21
1
nn
n aab ， nn bbbT ......21 ，若 024 mTn 对一切 Nn 成立，求实数 m
的最大值.
18. （本小题满分 12 分）如图,矩形 和梯形 所在平面互相垂直， ，
, .
（Ⅰ）求证： 平面 ;
（Ⅱ）当 的长为何值时,二面角 的大小为 60°．
19. （本小题满分 12 分）一盒中装有 9张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是1，
3张卡片上的数字是 2 ， 2 张卡片上的数字是 3 .从盒中任取3 张卡片.
(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率
(2) X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望.
20.（本小题满分 12 分）椭圆 )0(1: 2
2
2
2
ba
b
y
a
xC 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦
距为 2 ，且与椭圆 12
2
2 yx 有相同离心率．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线 mkxyl : 与椭圆C 交于不同的 BA, 两点，且椭圆C 上存在点Q ，满足
OQOBOA ，（O 为坐标原点），求实数 取值范围．
21.（本小题满分 12 分）已知函数 xaxxf ln)1()( 2
（1）若曲线 )(xfy 在 )1(,1 f 处的切线与直线 012 yx 垂直，求 a 的值；并判断此时
)(xf 的单调性；
（2）若 )(xf 有两个极值点 21, xx ，且 21 xx ，当 1)( 21 mxxf 恒成立时，求 m 的取值范
围。
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的
第一个题目计分．
22．(本小题满分 10 分) 选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝2＋2cosα，
y＝2sinα
(α为参数)，曲线 C2 的参数
方程为 x＝2cosβ，
y＝2＋2sinβ
(β为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C1 和曲线 C2 的极坐标方程；
(2)已知射线 l1：θ＝α(0<α<π
2)，将射线 l1 顺时针旋转π
6
得到射线 l2：θ＝α－π
6
，且射线 l1 与
曲线 C1 交于 O，P 两点，射线 l2 与曲线 C2 交于 O，Q 两点，求|OP|·|OQ|的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4—5；不等式选讲
已知函数 2( ) | 2 |f x x a .
（Ⅰ）若 3| |(0) (1) af f a
，求实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）对任意| | 1 ( ) 1x f x≤ ， ≤ 恒成立，求实数 a 的值.
理科数学答案
选择题 1---12 BACBB DABCD DA
12【答案】A
【解析】 ，
若函数 有两个极值点，
则 和 在 有 2 个交点，
令 , 则 ，
在 递减 , 而 ，
故 时 , , 即 , 递增，
时 , , 即 , 递减，
故 ，
而 时 , , 时 , ，
若 和 在 有 2 个交点
只需 ，
13【答案】 14【答案】 15. 16 答案.
17. （12 分）解：(1)∵等差数列 中， ， .
∴ ，解得 . ……………………………2 分
，……………………………3 分
. ……………………………5 分
(2) ……………………………7 分
，………9 分
是递增数列， ，
，
∴实数 的最大值为 .……………………………12 分
18（1）证明：在 中， ， ， ， ，
所以 .又因为在 中， ，所以 .
由已知条件知， 平面 ，所以 .
又 ，所以 平面
（2）如图，以点 C 为坐标原点，以 CB，CF 和 CD 分别作为 x 轴，y 轴和 z 轴，建立空间直
角坐标系 C-xyz．
设 AB=a（a >0），则 C(0,0,0)，A( ,0,a)，B( ，0，0），E( ， 3，0），F（0，4，0）．从
而
设平面 AEF 的法向量为 ，由 得，
取 x=1，则 ，即 .
不妨设平面 EFCB 的法向量为 ，
由条件，得 ，
解得 ．所以当 时，二面角 A-EF-C 的大小为 60°．
18 解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为
(2) 的所有可能值为 1，2，3，且
， ，
，故 的分布列为：
1 2 3
从而
20.解：（1）由已知可 解得 ．……………3 分
所求椭圆 的方程 ． ………4 分
（2）建立方程组 消去 ，整理得 ．
．
由于直线直线 与椭圆 交于不同的 两点，
，有 ．① ………………6 分
设 ,于是 ，
． ………8 分
当 时，易知点 关于原点对称，则 ；
当 时，易知点 不关于原点对称，则 ．
此时，
由 ，得 即
点在椭圆上，∴ ．
化简得 ． ．②
由①②两式可得 ．
综上可得实数 的取值范围是 ． …12 分
21 解： ，所
以在 为增函数。
（2）
令
所以， 为减函数，所以
22．(1)曲线 C1 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4 1 分所以 C1 的极
坐标方程为ρ＝4cosθ 2 分
曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4， 3 分
所以 C2 的极坐标方程为ρ＝4sinθ. 4 分
(2)设 P 的极坐标为(ρ1，α)， 5 分
即ρ1＝4cosα，点 Q 的极坐标为(ρ2，(α－
π
6 ))，即ρ2＝4sin(α－
π
6 )， 6 分
则|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4cosα·4sin(α－
π
6 )＝16cosα·(
3
2sinα－
1
2cosα)
＝8sin(2α－
π
6 )－4.∵α∈(0，
π
2 )， 8 分∴2α－
π
6 ∈(－
π
6 ，
5π
6 )．当 2α－
π
6 ＝
π
2 ，即α
＝
π
3 时，|OP|·|OQ|取最大值 4. 10
（23）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
解析：（Ⅰ）当 时， 可转化为 ，该不等式恒成立；
当 时， 可转化为 .
综上可得，实数 的取值范围是
…5 分
（Ⅱ）对任意 恒成立，可得 ，即 ，①
又 ，即 ，② 由①②可知 .验证 时 恒成立.
…10 分