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- 2021-04-25 发布
第 2 讲 函数与方程、数形结合思想
数学思想解读 1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量
之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数
学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决
问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解
方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、相互为用的.2.数形结合思想，
就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.
数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题
直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数
定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
热点一 函数与方程思想
应用 1 求解不等式、函数零点的问题
【例 1】 (1)设 00，
则 f′(x)＝ex－1>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0，f(x)>0，
∴ex－1>x，即 ea－1>a.
又 y＝ax(0ae，
从而 ea－1>a>ae.
(2)令 h(x)＝g(x)，得 xln x＋1＝kx，即1
x
＋ln x＝k.
令函数 f(x)＝ln x＋1
x
，若方程 xln x－kx＋1＝0 在区间
1
e
，e 上有两个不等实根，
则函数 f(x)＝ln x＋1
x
与 y＝k 在区间
1
e
，e 上有两个不相同的交点，f′(x)＝1
x
－1
x2
，
令1
x
－1
x2
＝0可得 x＝1，当x∈
1
e
，1 时f′(x)<0，函数是减函数；当x∈(1，e)时，f′(x)>0，
函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为 f(1)＝1，而 f
1
e ＝－1＋e，f(e)＝1
＋1
e
，又－1＋e>1＋1
e
，所以，函数的最大值为 e－1.所以关于 x 的方程 xln x－kx
＋1＝0 在区间
1
e
，e 上有两个不等实根，则实数 k 的取值范围是 1，1＋1
e .
答案 (1)B (2)B
探究提高 1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与
不等式的性质求解.
2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题
(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程
根的问题转化为函数零点问题.
(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.
【训练 1】 (1)设函数 f(x)＝x
2
－cos x，则方程 f(x)＝π
4
所有实根的和为( )
A.0 B.π
4 C.π
2 D.3π
2
(2)(2018·石家庄质检)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝
log2(1－x)，若 f(a2－1)<1，则实数 a 的取值范围是( )
A.(－ 2，0)∪(0， 2) B.(－ 2， 2)
C.(－1，0)∪(0，1) D.(－1，1)
解析 (1)由 f(x)＝x
2
－cos x＝π
4
，得x
2
－π
4
＝cos x，
令 y＝x
2
－π
4
，y＝cos x.
在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点
π
2
，0 .
∴方程 f(x)＝π
4
的实根之和为π
2.
(2)依题意，f(x)在(－∞，0)上单调递减，且 f(x)在 R 上是偶函数.
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(1)＝f(－1)＝1.
由 f(a2－1)<1，得|a2－1|<1，解得－ 20 恒成立，
∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴当 x＝1 时，f(x)min＝f(1)＝3，
即当 n＝1 时，(bn)max＝1
6.
要使对任意的正整数 n，不等式 bn≤k 恒成立，
则须使 k≥(bn)max＝1
6
，∴实数 k 的最小值为1
6.
探究提高 1.本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求 bn，
构造函数，利用单调性求 bn 的最大值.
2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前 n
项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值(范围)问题的方法如下：(1)由其
表达式判断单调性，求出最值；(2)由表达式不易判断单调性时，借助 an＋1－an 的
正负判断其单调性.
【训练 2】(2018·东北三省四校二模)已知等差数列{an}的公差 d＝1，等比数列{bn}
的公比 q＝2，若 1 是 a1，b1 的等比中项，设向量 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且 a·b
＝5.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设 cn＝2anlog2bn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
解 (1)依题设，a1b1＝1，且 a·b＝5.
∴ a1b1＝1，
a1b1＋a2b2＝5，
即 a1b1＝1，
a1b1＋（a1＋1）·2b1＝5.
解之得 a1＝1，
b1＝1.
数列{an}的公差为 d＝1，{bn}的公比 q＝2，
所以 an＝n，bn＝2n－1(n∈N*).
(2)cn＝2anlog2bn＝2n·log22n－1＝(n－1)2n(n∈N)，
Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)2n，
2Tn＝23＋2×24＋3×25＋…＋(n－1)2n＋1，
两式相减得，
－Tn＝22＋23＋24＋…＋2n－(n－1)2n＋1，
＝22－2n×2
1－2
－(n－1)2n＋1＝－4＋(2－n)2n＋1，
Tn＝(n－2)2n＋1＋4(n∈N*).
应用 3 函数与方程思想在几何问题中的应用
【例 3】 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线 y＝kx(k
＞0)与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E，F 两点.
(1)若ED→ ＝6DF→ ，求 k 的值；
(2)求四边形 AEBF 面积的最大值.
解 (1)依题意得椭圆的方程为x2
4
＋y2＝1，直线 AB，EF 的方程
分别为 x＋2y＝2，y＝kx(k＞0).
如图，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中 x1＜x2，且
x1，x2 满足方程(1＋4k2)x2＝4，
故 x2＝－x1＝ 2
1＋4k2.①
由ED→ ＝6 DF→ 知 x0－x1＝6(x2－x0)，
得 x0＝1
7(6x2＋x1)＝5
7x2＝ 10
7 1＋4k2
；
由 D 在 AB 上知 x0＋2kx0＝2，
得 x0＝ 2
1＋2k.所以 2
1＋2k
＝ 10
7 1＋4k2
，
化简得 24k2－25k＋6＝0，解得 k＝2
3
或 k＝3
8.
(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点 E，F 到 AB 的距离分别为
h1＝|x1＋2kx1－2|
5
＝2（1＋2k＋ 1＋4k2）
5（1＋4k2）
，
h2＝|x2＋2kx2－2|
5
＝2（1＋2k－ 1＋4k2）
5（1＋4k2） .
又|AB|＝ 22＋12＝ 5，
所以四边形 AEBF 的面积为
S＝1
2|AB|(h1＋h2)
＝1
2· 5· 4（1＋2k）
5（1＋4k2）
＝2（1＋2k）
1＋4k2
＝2 1＋4k2＋4k
1＋4k2
＝2 1＋ 4
1
k
＋4k
≤2 2，
当且仅当 4k2＝1(k＞0)，即当 k＝1
2
时，上式取等号.
所以 S 的最大值为 2 2.
即四边形 AEBF 面积的最大值为 2 2.
探究提高 几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求
解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目
标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这
是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.
【训练 3】 (1)(2018·长沙一中质检)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切
削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件
的一个面内，则原工件材料的利用率为
材料利用率＝新工件的体积
原工件的体积 ( )
A. 8
9π B.16
9π
C.4（ 2－1）3
π D.12（ 2－1）3
π
(2)若点 O 和点 F(－2，0)分别为双曲线x2
a2
－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点 P 为双
曲线右支上的任意一点，则OP→ ·FP→的取值范围为________.
解析 (1)如图所示，原工件是一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥，
依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体，且落在圆锥底面上
的面是正方形，设正方形的边长为 a，长方体的高为 h，则 0m，
其中 m>0.若存在实数 b，使得关于 x 的
方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________.
解析 (1)在同一坐标系中作出三个函数 y＝x2＋1，y＝x＋3，
y＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集 R 上，min{x2＋1，
x＋3，13－x}为 y＝x＋3 上 A 点下方的射线，抛物线 AB 之间
的部分，线段 BC，与直线 y＝13－x 点 C 下方的部分的组合
图.显然，在区间[0，＋∞)上，在 C 点时，y＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大
值.
解方程组 y＝x＋3，
y＝13－x
得点 C(5，8).所以 f(x)max＝8.
(2)作出 f(x)的图象如图所示.当 x>m 时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2
＋4m－m2.
∴要使方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则有 4m－m20.又 m>0，解得 m>3.
答案 (1)C (2)(3，＋∞)
探究提高 1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题把函
数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解.
2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两
个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.
(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原
则，不要刻意去用数形结合.
【训练 4】 若函数 f(x)满足 f(x－1)＝ 1
f（x）－1
，当 x∈[－1，0]时，f(x)＝x，若在
区间[－1，1)上，g(x)＝f(x)－mx＋m 有两个零点，则实数 m 的取值范围为________.
解析 ∵x∈[－1，0]时，f(x)＝x.
∴当 x∈(0，1)时，－11
2
时，作出不等式组
x＋2y≥0，
mx－y≤0，
x－2y＋2≥0
表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边
界).
y＝2x－z 过点 B 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z＝2x－y 取得最大值.
易求点 B
2
2m－1
， 2m
2m－1 ，
∴最大值为 z＝2× 2
2m－1
－ 2m
2m－1
＝2，解得 m＝1.
答案 (1)A (2)C
探究提高 1.平面向量中数形结合关注点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适
当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解.
2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选
择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关
系解决问题.
【训练 5】 (1)当 x∈(1，2)时，(x－1)21.
在同一坐标系内作出 y＝(x－1)2，x∈(1，2)及 y＝logax 的图象.
若 y＝logax 过点(2，1)，得 loga2＝1，所以 a＝2.
根据题意，函数 y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在 y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.
结合图象，a 的取值范围是(1，2].
(2)因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c).如图所示，设OC→ ＝
c，OA→ ＝a，OB→ ＝b，CA→＝a－c，CB→＝b－c，即AC→⊥BC→.
又因为OA→ ⊥OB→ ，所以 O，A，C，B 四点共圆.当且仅当 OC 为圆
的直径时，|c|最大，且最大值为 2.
答案 (1)(1，2] (2)C
应用 3 圆锥曲线中的数形结合思想
【例 6】 已知抛物线的方程为 x2＝8y，点 F 是其焦点，点 A(－2，4)，在此抛物
线上求一点 P，使△APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为________.
解析 因为(－2)2<8×4，所以点 A(－2，4)在抛物线 x2＝8y 的
内部，如图，设抛物线的准线为 l，过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q，
过点 A 作 AB⊥l 于点 B，连接 AQ.则△APF 的周长为|PF|＋|PA|
＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当
P，B，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为 A(－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点 P 的坐标为(－2，y0)，代
入 x2＝8y，得 y0＝1
2
，故使△APF 的周长最小的点 P 的坐标为 －2，1
2 .
答案 －2，1
2
探究提高 1.对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其
中的相互关系求解.
2.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比
值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——
可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
【训练 6】 (2018·江南名校联考)设 A，B 在圆 x2＋y2＝1 上运动，且|AB|＝ 3，点
P 在直线 l：3x＋4y－12＝0 上运动，则|PA→＋PB→|的最小值为( )
A.3 B.4 C.17
5 D.19
5
解析 设 AB 的中点为 D，则PA→＋PB→＝2PD→ ，
∴当且仅当 O，D，P 三点共线时，|PA→＋PB→|取得最小值，
此时 OP⊥AB，且 OP⊥l.
∵圆心到直线 l 的距离为 12
9＋16
＝12
5
，|OD|＝ 1－3
4
＝
1
2
，∴|PA→＋PB→|的最小值为 2×
12
5
－1
2 ＝19
5 .
答案 D