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- 2021-04-25 发布
2010~2014年高考真题备选题库
第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布
第3节 二项式定理
1．（2014浙江，5分）在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )
A．45 B．60
C．120 D．210
解析: 由题意知f(3,0)＝CC，f(2,1)＝CC，f(1，2)＝CC，f(0,3)＝CC，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝120，选C.
答案：C
2．（2014湖南，5分）5的展开式中x2y3的系数是( )
A．－20 B．－5
C．5 D．20
解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20，选A.
答案：A
3．（2014四川，5分）在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30 B．20
C．15 D．10
解析： 只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C＝15，故选C.
答案：C
4．（2014湖北，5分）若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝( )
A．2 B.
C．1 D.
解析： Tk＋1＝C(2x)7－kk＝C27－kakx7－2k，令7－2k＝－3，得k＝5，即T5＋1＝C22a5x－3＝84x－3，解得a＝1.选C.
答案：C
5．（2014新课标全国Ⅰ，5分）(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(
用数字填写答案)
解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Cx8－ryr，令r＝7，再令r＝6，得x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.
答案：－20
6．（2014新课标全国Ⅱ，5分）(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)
解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx10－rar，当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝.
答案：
7．（2014山东，5分）若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．
解析：Tr＋1＝C(ax2)6－rr＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，故Ca3b3＝20，所以ab＝1，a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1或a＝b＝－1时，等号成立．
答案：2
8．（2014安徽，5分）设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.
解析：由题图可知a0＝1，a1＝3，a2＝4，由题意知故可得
答案：3
9．（2013新课标全国Ⅰ，5分）设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6
C.7 D.8
解析：本题考查二项式系数的性质，意在考查考生对二项式系数的性质的运用和计算能力．根据二项式系数的性质知：(x＋y)2m的二项式系数最大有一项，C＝a，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大有两项，C＝C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C，将各选项中m
的取值逐个代入验证，知m＝6满足等式，所以选择B.
答案：B
10．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝( )
A．－4 B.－3
C．－2 D．－1
解析：本题涉及二项式定理、计数原理的知识，意在考查考生的分析能力与基本运算能力．展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1，故选D.
答案：D
11．（2013陕西，5分）设函数f(x)＝则当x>0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为( )
A．－20 B．20
C．－15 D．15
解析：本题考查分段函数和二项式定理的应用，解题关键是对复合函数的复合过程的理解．依据分段函数的解析式，得f(f(x))＝f(－)＝6，∴Tr＋1＝C(－1)rxr－3，则常数项为C(－1)3＝－20.
答案：A
12．（2013江西，5分）.5展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80
C．40 D．－40
解析：本题考查二项式定理，意在考查考生的运算能力．Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·(－2)r·x10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，故常数项为C×(－2)2＝40.
答案：C
13．（2013安徽，5分）若8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.
解析：本题考查二项展开式的通项．二项式8展开式的通项为Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，易得a＝.
答案：
14．（2013浙江，5分）设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.
解析：本题考查二项式定理及相关概念，考查利用二项式定理解决相关问题的能力以及考生的运算求解能力．Tr＋1＝(－1)rCx，令15－5r＝0，得r＝3，故常数项A＝(－1)3C＝－10.
答案：－10
15. （2013天津，5分）6的二项展开式中的常数项为________．
解析：本题考查二项式定理的应用，意在考查考生的运算求解能力．二项式6展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝C(－1)rx6－r，当6－r＝0，即r＝4时是常数项，所以常数项是C(－1)4＝15.
答案：15
16．（2013四川，5分）二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)
解析：本题考查二项式的通项，意在考查考生的运算能力．因为C＝10，故含x2的项的系数是10.
答案：10
17．（2012安徽，5分）(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：(－1)5的展开式的通项为Tr＋1＝C()5－r·(－1)r，r＝0,1,2,3,4,5.当因式(x2＋2)中提供x2时，则取r＝4；当因式(x2＋2)中提供2时，则取r＝5，所以(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是5－2＝3.
答案：D
18．（2012天津，5分）在(2x2－)5的二项展开式中，x的系数为( )
A．10 B．－10
C．40 D．－40
解析：二项式(2x2－)5展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C(2x2)5－r(－)r＝C·25－r×(－1)rx10－3r，当r＝3时，含有x，其系数为C·22×(－1)3＝－40.
答案：D
19．（2012湖北，5分）设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1
C．11 D．12
解析：512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 012＋a能被13整除．
答案：D
20．（2010陕西，5分）(x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于( )
A．－1 B.
C．1 D．2
解析：利用(x＋)5的通项公式构建方程有
Cx5－rarx－r＝Cx5－2rar＝10x3⇒r＝1，a＝2.
答案：D
21．（2012广东，5分）(x2＋)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)
解析：由(x2＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r()r＝Cx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系数为C＝＝20.
答案：20
22．（2010辽宁，5分）(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．
解析：(x－)6的展开式的通项
Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝(－1)rCx6－2r.
令6－2r＝0，得r＝3，令6－2r＝－1，得r＝(舍去)，
令6－2r＝－2，得r＝4.
所以所求的常数项为：(－1)3C＋(－1)4C＝－20＋15＝－5.
答案：－5