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- 2021-04-25 发布
数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
一、单选题(每小题5分，共60分)
1．已知集合，，则A∩B=（ ）
A． B． C． D．
2．计算( )
A． B． C． D．
3．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．一个球的表面积是，那么这个球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．函数恒过定点（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆柱的高等于，侧面积等于，则这个圆柱的体积等于（ ）
A． B． C． D．
9．设，则( )
A． B． C． D．
10．某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的表面积(单位：cm2)是( )
A．16 B．32 C．44 D．64
11．的递增区间是（ ）
A． B． C． D．
12．已知在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．集合的子集有_____________个.（用数字作答）
14．已知，则f（f（﹣1））的值为_____．
15．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.
16．已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则__________.
三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．已知全集，集合，集合，
求：（1）；
（2）．
18．计算下列各式的值：
（Ⅰ)
（Ⅱ）
19．在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形．已知CD＝EF，AD⊥平面ABEF，BE⊥AF．
（1）求证：DF∥平面BCE；
（2）求证：平面ADF⊥平面BCE．
20．已知对数函数的图象经过点（9,2）.
(1)求函数的解析式；
（2）如果不等式成立，求实数的取值范围．
21．在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点，分别是棱，的中点．
（）求证：平面平面．
（）求证：．
22．已知定义域为R的函数是奇函数．
求实数a的值；
判断函数在R上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明
数学期考参考答案
1．D
【解析】
【分析】
直接利用交集的定义计算即可.
【详解】
因为，，所以.
故选:D.
【点睛】
本题考查了集合交集的计算，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
现将化成，然后再根据指数幂的运算公式即可求出结果.
【详解】
.
【点睛】
本题主要考查指数幂的运算公式，熟练掌握运算公式是解决问题的关键.
3．C
【解析】
【分析】
函数有意义，只需，解不等式即可得定义域.
【详解】
由函数有意义，得，解得，
即函数的定义域是.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方数非负，分式分母不为，考查运算能力，属于基础题．
4．B
【解析】
【分析】
先求球半径，再求球体积.
【详解】
因为，所以,选B.
【点睛】
本题考查球表面积与体积，考查基本求解能力，属基础题.
5．A
【解析】
【分析】
连续函数f（x）＝1在（0，+∞）上单调递增且f（1）f（2）＜0，根据函数的零点的判定定理可求结果．
【详解】
∵函数f（x）＝1在定义域（0，+∞）上单调递增，
∴f（1）＜0，f（2）＞0，f（3）>0，f（4）＞0，f（5）＞0，
∴根据根的存在性定理得f（x）＝1的零点所在的一个区间是（1，2），
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题．
6．B
【解析】
【分析】
对选项逐一分析函数的奇偶性，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，为奇函数；
对于B选项，令，函数的定义域为，，故函数为偶函数，符合题意；
对于C选项，函数的定义域为，故函数为非奇非偶函数；
对于D选项，令，函数的定义域为，且，故函数为奇函数.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查函数奇偶性的判断，属于基础题.
7．D
【解析】
【分析】
令指数为零，求出的值，并代入函数的解析式，即可得出定点的坐标.
【详解】
令，得，，因此，定点的坐标为.
故选：D.
【点睛】
本题考查指数型函数图象过定点问题，一般利用指数为零可求得定点的坐标，考查运算求解能力，属于基础题.
8．A
【解析】
分析：已知圆柱的高等于，侧面积等于，根据圆柱的侧面积公式，求出底面半径，即可得到圆柱的体积.
详解：已知圆柱的高等于，侧面积等于，设圆柱的底面半径为
根据圆柱的侧面积公式，则圆柱的体积
故选A.
点睛：本题考查圆柱的侧面积和圆柱的体积，属中档题.
9．A
【解析】
【分析】
先由题中条件分别判断出的范围，进而可得出结果.
【详解】
因为，，，所以.
故选A
【点睛】
本题主要考查指数函数与对数函数的性质，熟记性质即可比较大小，属于基础题型.
10．B
【解析】
【分析】
由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．然后由直角三角形面积公式求解．
【详解】
解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．
则．
该几何体的表面积．
故选：．
【点睛】
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
11．D
【解析】
【分析】
首先求出函数的定义域，然后利用二次函数的性质研究的单调性，结合函数的单调性即可得结果.
【详解】
解：令，解得或，
在上，的单调增区间为，
因为函数在定义域内单调递增，
所以的递增区间是，
故选：D.
【点睛】
本题考查复合函数的单调性，注意：一定要先求函数的定义域.
12．C
【解析】
【分析】
根据分段函数恒增，列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】
因为在上是增函数，
所以，即，解得：.
故选：C
【点睛】
本题主要考查由分段函数恒增求参数，只需保证每段都是增函数，并注意结点位置的取值即可，属于常考题型.
13．7
【解析】
【分析】
根据含个元素的集合的子集个数为个，即可得出结果.
【详解】
含个元素的集合的真子集个数为个，
所以集合的真子集个数为.
故答案为：8
【点睛】
本题主要考查求集合的子集个数，熟记公式即可，属于基础题型.
14．5
【解析】
【分析】
先求的值，再求f（f（﹣1））的值.
【详解】
根据题意，，
则f（﹣1）＝3×（﹣1）2＝3，
则f（f（﹣1））＝f（3）＝2×3﹣1＝5.
故答案为：5
【点睛】
本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．
【解析】
【分析】
画出直观图，得到B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，再求顶点B′到x′轴的距离.
【详解】
画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，
故顶点B′到x′轴的距离为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查直观图和原图的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
16．
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性进行转化求解即可．
【详解】
根据函数的奇偶性的性质可得
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．
17．（1）（2）或
【解析】
【分析】
（1）先化简集合，再根据并集的概念，即可求出结果；
（2）先求出交集，再求补集，即可得出结果.
【详解】
（1）因为，
所以；
（2）由（1）可得，因为，
所以或.
【点睛】
本题主要考查集合交并补的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.
18．(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】
试题分析：（1）根据对数运算法则 化简求值（2）根据指数运算法则，化简求值
试题解析：（Ⅰ）原式.
（Ⅱ）原式.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
(1)证明四边是平行四边形,再用线面平行的判定定理即可证明；
(2)利用线面垂直得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】
证明：（1）相互平行，四边形是梯形．，
∴四边形是平行四边形，
，
，，
∴
（2）∵平面，平面，
,
,,
∴平面，
∵平面，∴平面平面.
【点睛】
本题主要考查的是线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，是中档题.
20．（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）根据条件可得，解得a，即可得解析式；
（2）由函数解析式可得，解对数不等式即可得解.
【详解】
（1）因为函数过点（9，2）
所以，即，
因为，所以.
所以函数的解析式为;
.
由可得，即
即，即.
所以，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了解对数不等式，注意真数大于0，属于基础题.
21．（1）见解析（2）见解析
【解析】
[证明] （1）∵，，垂足为，∴是的中点，又因为是的中点，
∴∥，∵平面，平面，∴∥平面；
同理∥平面. 又，∴平面∥平面.
（2）∵平面平面，且交线为，又平面，，
∴平面，∵平面，∴，
又因为，，、平面，
∴平面，∵平面，∴.
【考点定位】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.
22．（1）1；（2）减函数，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）奇函数在处有定义时，，由此确定出的值，注意检验是否为奇函数；
（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可.
【详解】
根据题意，函数是定义域为R奇函数，
则，解可得，
当时，，为奇函数，符合题意；
故；
由的结论，，在R上为减函数；
证明：设，
则，
又由，则，，，
则，
则函数在R上为减函数．
【点睛】
本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在处有定义时，一定有.