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- 2021-04-25 发布
2020 年春四川省叙州区第一中学高二期中考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知全集 则
A． B． C． D．
2．复数 （ 是虚数单位）的共轭复数的虚部为
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．已知等差数列 满足: ，则
A．2 B．1 C．0 D．
4．椭圆 的焦距为 ，则 的值等于
A． B． C． 或 D．
5．如果数据 x1，x2，…，xn 的平均数是 ，方差是 s2，则 3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2 的平均
数和方差分别是
A． 和 s2 B．3 和 9s2 C．3 ＋2 和 9s2 D．3 ＋2 和 12s2＋4
6. 已知正方形 的边长为 6， 在边 上且 ， 为 的中点，则
A．-6 B．12 C. 6 D．-12
7．实数 a，b，“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．用电脑每次可以从区间 内自动生成一个实数，且每次生成每个实
数都是等可能性的，若用该电脑连续生成 3 个实数，则这 3 个实数都大
于 的概率为
2 1{ | 3 2 0}, { || 2 | 1}, { | 0},2
xU x x x A x x B x x
−= − + ≥ = − > = >− UA C B =
∅ ( ,1)−∞ (3, )+∞ ( ,1) (3, )−∞ +∞
1
1
i
i
+
− i
{ }na 3 55, 3a a= = 8a =
1−
2 2
14
x y
m
+ = 2 m
5 3 5 3 8
x
x x x x
ABCD M BC BMBC 3= N DC
=• BNAM
a b> ln lna a b b+ > +
( )0,1
1
3
A． B． C． D．
9．执行如图所示的框图，若输入 ，则输出的 等于
A． B． C． D．
10.已知椭圆 与抛物线 有相同的焦点为 原点，点 是抛物线准线上一
动点，点 在抛物线上，且 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
11．已知 A、B 分别为椭圆 C： 1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点，F 是 C 的左焦点，
若 FB⊥AB，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
12．若 在区间[1，+∞）上单调递增，则 a 的取值范围
是
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．给出命题“若 xy=0，则 x=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的
个数是_______.
14.若实数 满足 ，则 的最小值是 ．
15.过定点 的直线： 与圆： 相切于点 ，则
．
16．已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时，
.若函数 有 4 个零点，则实数 的取值范围是__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60
分。
1
27
2
3
8
27
4
9
5N = S
3
4
4
5
5
6
6
7
2
2 15
y x+ = 2x ay= ,F O P
A 4AF = PA PO+
2 13 4 2 3 13 4 6
2 2
2 2
x y
a b
+ =
1
2
5 1
2
− 2
2
3
2
( ) ( ) ( )11 0 01
xf x ln ax x ax
−= + + ≥+ ， ＞
yx,
≤+
≥−
≥
,5
,02
,0
yx
yx
y
yx 2+
M 021 =−+− kykx 9)5()1( 22 =−++ yx N
=MN
( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞ 0x >
4 2( ) 3f x x x ax= − − ( )f x a
17．(12 分)已知函数 （ ， 为自然对数的底数），且曲线 在
点 处的切线平行于 轴.
（Ⅰ）求 的值；
（II）求函数 的极值.
18．(12 分)学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方
法，从某班选出 10 人参加活动，在活动前，对所选的 10 名同学进行了国学素养测试，这 10
名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．
（Ⅰ）分别计算这 10 名同学中，男女生测试的平均成绩；
（II）若这 10 名同学中，男生和女生的国学素养测试成绩的标准差分别为 S1，S2，试比较 S1
与 S2 的大小（不必计算，只需直接写出结果）；
（III）规定成绩大于等于 75 分为优良，从这 10 名同学中随机选取一男一女两名同学，求这
两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．
19．(12 分)如图，矩形 和菱形 所在平面互相垂直，已知 ，点 是
线段 的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）试问在线段 上是否存在点 ，使得直线 平面 ？若存在，请证明
平面 ，并求出 的值；若不存在，请说明理由.
( ) 1 x
af x x e
= − + a R∈ e ( )y f x=
(1, (1))f x
a
( )f x
ADEF ABCD 3
π=∠ADC N
AD
AFCN ⊥
BE M //AF MNC //AF
MNC ME
BM
20．(12 分)在平面直角坐标系 中，已知椭圆 E： （ ）
过点 ，其心率等于 .
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（II）若 A，B 分别是椭圆 E 的左，右顶点，动点 M 满足 ，且 椭圆 E 于点 P.
求证： 为定值：
21．(12 分)设 ，函数 ，其导数为
（I）当 时，求 的单调区间；
（II）函数 是否存在零点？说明理由；
（III）设 在 处取得最小值，求 的最大值
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
（ ， 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐
标系，直线 的极坐标方程为 ，若直线 与曲线 相切；
（I）（1）求曲线 的极坐标方程与直线 的直角坐标方程；
（II）在曲线 上取两点 ， 与原点 构成 ，且满足 ，求
面积的最大值.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ．
xOy
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> >
61, 2
2
2
MB AB⊥ MA
OMOP⋅
0a > ( ) ( )11
x axf x e xx
= − > −+
( )f x′
1a = ( )f x
( )f x′
( )f x 0x x= ( )0f x a−
xOy C
3 cos
1 sin
x r
y r
ϕ
ϕ
= + = +
0r > ϕ O x
l sin( ) 13
πρ θ − = l C
C l
C M N O MON∆
6MON
π∠ = MON∆
( ) 3f x =| x|+| x |−
（I）求不等式 的解集；
（II）记 的最小值为 ，若正实数 ， 满足 ，求 的最小值．
2020 年春四川省叙州区第一中学高二期中考试
文科数学参考答案
1．A 2．A 3．C 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．A
11．B 12．D
13．2 14.2 15. 4 16．
17．(Ⅰ)由 ,得 .
又曲线 在点 处的切线平行于 轴, 得 ,即 ,解得 .
(Ⅱ) ,
①当 时, , 为 上的增函数,所以函数 无极值.
②当 时,令 ,得 , .
, ; , .
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
故 在 处取得极小值,且极小值为 ,无极大值.
综上,当 时,函数 无极值;
当 , 在 处取得极小值 ,无极大值.
点睛：求函数 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程
求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值
(2 4) 10f x + ≤
( )f x m p q 1 1
3 2 mp q
+ = 9 4p q+
( 2,0)−
( ) 1 x
af x x e
= − + ( ) 1 x
af x e
=′ −
( )y f x= ( )( )1, 1f x ( )1 0f ′ = 1 0a
e
− = a e=
( ) 1 x
af x e
=′ −
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),−∞ +∞ ( )f x
0a > ( ) 0f x′ = xe a= lnx a=
( ),lnx a∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )ln ,x a∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x ( ),lna−∞ ( )ln ,a +∞
( )f x lnx a= ( )ln lnf a a=
0a ≤ ( )f x
0a > ( )f x lnx a= lna
( )f x ( )f x′
( ) 0,f x′ = ( )f x′ ( ) 0f x′ = 0x
的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右
增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.
18．（1）由茎叶图得男生测试的平均成绩为： = （64+76+77+78）=73.75，
女生测试的平均成绩为： = （56+79+76+70+88+87）=76．
（2）由茎叶图观察得 S1＜S2．
（3）设“两名学生的成绩均这优良”为事件 A，
男生按成绩由低到高依次为 64，76，77，78，
女生按成绩由低到高依次为 56，70，76，79，87，88，
则从 10 名学生中随机选取一男一女两名同学共有 24 种方取法：
{64，56}，{64，70}，{64，76}，{64，79}，{64，87}，{64，88}，
{76，56}，{76，70}，{76，76}，{76，79}，{76，87}，{76，88}，
{77，56}，{77，70}，{77，76}，{77，79}，{77，87}，{77，88}，
{78，56}，{78，70}，{78，76}，{78，79}，{78，87}，{78，88}，
成绩大于等于 75 分为优良，
∴其中两名均为优良的取法有 12 种取法，分别为：
{76，76}，{76，79}，{76，87}，{76，88}，{77，76}，{77，79}，
{77，87}，{77，88}，{78，76}，{78，79}，{78，87}，{78，88}，
则这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率
19．解：（Ⅰ）证明：菱形 ， ， ，则 是等边三角形，
又 是线段 的中点，
∴ ．
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 .
又∵ 平面 ，故 .
（Ⅱ）作 的中点 ，连接 交 于点 ， 点即为所求的点．
证明：连接 ，
∵ 是 的中点， 是 的中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴直线 平面 ．
∵ ， ，∴ ，∴ ．
( )f x 0x
( )f x 0x
1x 1
4
2x 1
6
( ) 12 1P 24 2A = =
ABCD DCAD =
3
π=∠ADC ADC∆
N AD
ADCN ⊥
⊥ADEF ABCD ADEF ADABCD =
⊥CN ADEF
⊂AF ADEF AFCN ⊥
FE P CP BE M M
PN
N AD P FE AFPN //
⊂PN MNC ⊄AF MNC //AF MNC
ADPE // BCAD // BCPE // 2==
PE
BC
ME
BM
20．（1）设椭圆焦距为 ，所以 且 解得
所以椭圆 E 的方程为 ；
（2）设 ， ，易得直线 的方程为： ，
代入椭圆 得， ，
由 得， ，从而 ，
所以 .
21．（1）当 时， ，由于 ，且 时， ；
时， ，所以 在 的单调递减，在 单调递增
（2） ，令 ，所以
因为 ，所以 ，所以 在 单调递增
因为 ，又
所以当 时， ，此时 必有零点，且唯一；
当 时， ，而
故 时， 存在唯一零点
（3）由（2）可知 存在唯一零点，设零点为
当 时， ；当 时， ，
2c 2 2
3
1 2 1,
2 ,2
a b
c
a
+ =
=
2 2 2c a b= −
2
2
4,
2,
a
b
=
=
2 2
14 2
x y+ =
( )02,M y ( )1 1,P x y MA 0 0
4 2
y yy x= +
2 2
14 2
x y+ =
2 2 2
20 0 01 4 08 2 2
y y yx x
+ + + − =
( )2
0
1 2
0
4 8
2 8
y
x y
−
− = +
( )2
0
1 2
0
2 8
8
y
x y
− −
= +
0
1 2
0
8
8y y
y= +
( ) ( )
2
0 0
02 2
0 0
2 8 8, 2,8 8
y yOP OM yy y
− − ⋅ = ⋅ + +
( )2 2
0 0
2 2
0 0
4 8 8 48 8
y y
y y
− −
= + =+ +
1a = ( ) ( )2
1
1
xf x e
x
= −
+
′ ( )0 0f ′ = 1 0x− < < ( ) 0f x′ <
0x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1,0− ( )0,+∞
( ) ( )21
x af x e
x
= −
+
′ ( ) ( ) ( )21
x ag x f x e
x
= −
+
′= ( ) ( )3
2
1
x ag x e
x
= +
+
′
0, 1a x> > − ( ) ( )3
2 0
1
x ag x e
x
= + >
+
′ ( )f x′ ( )1,− +∞
( ) ( )2 1
2
1 12 1 042
a af a e ea
−− = − > − >′ ( ) ( )0 0 1g f a= ′ = −
1a ≥ ( ) ( )0 0 1 0g f a= = − ≤′ ( )f x′
0 1a< < ( ) 11 1 0af a e −− = − <′ ( ) ( )2 1
2
1 12 1 042
a af a e ea
−− = − > − >′
0a > ( )f x′
( )f x′ 1x
( )11,x x∈ − ( ) 0f x′ < ( )1,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
故 在 的单调递减，在 单调递增
所以当 时， 取得最小值，由条件可得 ， 的最小值为
由于 ，所以
所以
设
则
令 ，得 ；令 ，得
故 在 的单调递增，在 单调递减，所以
故 的最大值是
22．（1）∵直线 l 的极坐标方程为 ，
∴由题意可知直线 l 的直角坐标方程为 y 2，
曲线 C 是圆心为（ ，1），半径为 r 的圆，直线 l 与曲线 C 相切，可得 r
2，
∵曲线 C 的参数方程为 （r＞0，φ 为参数），
∴曲线 C 的普通方程为（x ）2+（y﹣1）2＝4，
所以曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣2 ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，即 ．
（2）由（Ⅰ）不妨设 M（ρ1，θ），N（ρ2， ），（ρ1＞0，ρ2＞0），
( )f x ( )11, x− ( )1,x +∞
1xx = ( )f x 1 0x x= ( )f x ( )0f x
( ) ( )0
0 2
0
=0
1
x af x e
x
= −
+
′ ( )0 2
0 1xa e x= +
( ) ( ) ( )0 0 0 0 20
0 0 0 0 0
0
= 1 11
x x x xaxf x e e e x x e x xx
= − − + = − − ++
( ) ( ) ( ) ( )( )22 21 1 2 3 1x x xg x e x x e x e x x x= − − + − + = − + > −
( ) ( ) ( )( )( )22 7 3 2 1 3 1x xg x e x x e x x x= − + + = − + + > −′
( ) 0g x′ > 11 2x− < < − ( ) 0g x′ < 1
2x > −
( )g x 11, 2
− −
1 ,2
− +∞
( ) 1 1
2g x g
e
≤ − =
( )0f x a− 1
e
sin 13
πρ θ − =
3x= +
3 3 3 1 2
2
⋅ − +
= =
3
1
x rcos
y rsin
ϕ
ϕ
= + = +
3−
3 4 3sin
πρ θ = +
6
πθ +
1
2 6MONS OM ON sin
π=
4sin（ ）sin（ ）＝2sinθcosθ+2
＝sin2θ 2sin（2 ） ，
当 时， ，故 所以△MON 面积的最大值为 2 ．
23．（1） ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，故 ；
当 时， ，故 ；
综上：所求不等式的解集为 ．
（2） ，故 ，
故
当且仅当 时等号成立，故 的最小值为 ．
1 2
1
4
ρ ρ= =
3
πθ +
2
πθ + 23cos θ
3 2 3cos θ+ + =
3
πθ + 3+
12
πθ = 2 3MONS = +
2 3MONS ≤ +
3+
(2 4) | 2 4 | | 2 1|f x x x+ = + + +
2x < − (2 4) (2 1) 10x x− + − + ≤ 15 24 x− ≤ < −
12 2x− ≤ ≤ − (2 4) (2 1) 10x x+ − + ≤ 12 2x− ≤ ≤ −
1
2x > − 15 5
4 4x− ≤ ≤ 1 5
2 4x− < ≤
15 5| 4 4x x− ≤ ≤
( ) | | | 3| | 3| 3f x x x x x= + − ≥ − + = 1 1 33 2p q
+ =
1 1 1 1 4 99 4 (9 4 ) 3 23 3 2 3 3 2
q pp q p q p q p q
+ = + + = + + +
1 4 9 15 2 (5 2 6)3 3 2 3
q p
p q
≥ + ⋅ = +
2 2 3 3q p= 9 4p q+ ( )1 5 2 63
+