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- 2021-04-25 发布
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）
4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（ ）
A. 15 B. C. 6 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {an}前6项的和公式中即可求出结果．
【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，
∴2，
∴2＝a1+a1+5d，
解得2a1+5d＝2，
∴{an}前6项的和为2a1+5d）=．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．
（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）
3.等差数列中，，，则数列的前20项和等于（ ）
A. -10 B. -20 C. 10 D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】
本道题结合等差数列性质，计算公差，然后求和，即可。
【详解】，解得 ，所以
，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，难度中等。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）
5.在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前10项和等于( )
A. -18 B. 9 C. 18 D. 20[来源:学。科。网Z。X。X。K]
【答案】D
【解析】
【分析】
由韦达定理得，从而的前10项和，由此能求出结果.
【详解】等差数列中，是函数的两个零点，
，
的前10项和.
故选：D.
【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.
（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）
13.设等差数列的前项和为，且,则__________．
【答案】
【解析】
分析：设等差数列{an}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．
详解：设等差数列{an}的公差为d，
∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．
则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.
点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.
（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）
3.已知数列是等比数列，其前项和为，，则（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案。
【详解】由题意得，，，公比，则，故选A。
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试文科数学试题）
13.已知等差数列的前项和为，且，则__________．
【答案】2019
【解析】
【分析】
由求出，再利用等差数列的前项和公式求解
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
由得:
【点睛】本题考查等差数列的性质和前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，合理地进行等价转化．
（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试文科数学试题）
3.等比数列的前项和为，若，则公比（ ）
A. 1 B. -1 C. D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式及的记法即可得出．
【详解】 且为等比数列
，又
故选：C
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及的记法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题）
2.已知数列是各项均为正数的等比数列，且，则（ ）
A. B. C. 12 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等比数列下标和性质，即可得的结果.
【详解】∵数列是各项均为正数的等比数列，且，
∴，即，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（河南省驻马店市2019届高三上学期期中考试数学文试题）
11.已知等差数列的前项和为，若，则的值为
A. 10 B. 15 C. 25 D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用等差数列的性质求出结果．
【详解】等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝85，
则：85，
解得：a9＝5，
所以：a7+a9+a11＝3a9＝15．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的应用，及性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
（河南省驻马店市2019届高三上学期期中考试数学文试题）
8.已知等差数列的前项和为，且满足，，则
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知结合等差数列的求和公式可求a1，d，然后代入到等差数列求和公式Sn＝na1（n﹣1）d可求．
【详解】∵S6＝24，S9＝63，
∴，
解方程可得，a1＝﹣1，d＝2，
则S3＝3a1+3d＝﹣3+6＝3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础题．
（广东省清远市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）
7.世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把磅面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和是较小的三份之和，则最小的份为（ ）
A. 磅 B. 磅 C. 磅 D. 磅
【答案】D
【解析】
【分析】
设出等差数列的首项和公差，利用已知条件列方程组并转化为的形式，由此求得最小分的磅数.
【详解】由于数列为等差数列，设最小一份为，且公差为，依题意可知，即，解得.故选D.
【点睛】本小题主要考查数学史，考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前项和公式的应用，属于基础题. 基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.
（广东省清远市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）
3.等比数列中，满足，且成等差数列，则数列的公比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，且成等差数列，列出关于公比的方程，从而可得的值.
【详解】因为，且成等差数列，
所以，
即,解得或（舍去），
所以数列的公比为，故选B.
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式以及等差中项的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）
5.记等比数列的前项和为，已知，且公比，则=( )
A. -2 B. 2 C. -8 D. -2或-8
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，进而求得的值.
【详解】依题意，解得，故，故选C.
【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等比数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式或前
项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.
（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检理科数学试题）
14.《张丘建算经》卷上第22题有如下内容：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织布5尺，现在一个月（按30天计算）共织布390尺，那么，该女子本月中旬（第11天到第20天）共织布____尺．
【答案】130
【解析】
【分析】
设从第2天起，每天从前一天多织布尺，由等差数列的求和公式，求解的值，由此利用数列的通项公式，即可求解第11天到第20天所织的布，得到答案.
【详解】设从第2天起，每天从前一天多织布尺，
则，解得，
所以
.
【点睛】本题主要考查了等差数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，且熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学文试题）
4.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 15 B. 30 C. 40 D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质和求和公式即可求出．
【详解】∵S3-S2=a3，∴a3=6，∴S5=,故选B.
【点睛】本题主要考查了等差的性质以及前n项和等基础知识，考查了运算能力，属于基础题.
（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学理试题）
7.已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（ ）
A. B. 19 C. 20 D. 23
【答案】D
【解析】
【分析】
本道题利用等差数列通项和等比数列通项,代入,计算公差和公比,即可.
【详解】,计算得到
所以,所以,故选D.
【点睛】本道题考查了等差数列通项和等比数列通项公式,难度中等.
（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）
10.由实数构成的等比数列的前项和为，，且成等差数列，则（ ）
A. 62 B. 124 C. 126 D. 154
【答案】C
【解析】
【分析】
由成等差数列，得到，可求出公比为2，代入等比数列的前项和公式可求出的值。
【详解】由题意知，，设的公比为，则解得，则.
故选C.
【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的通项公式与求和公式，属于基础题。
（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）
14.已知数列是由实数构成的等比数列，，且成等差数列，则的公比为___．
【答案】2
【解析】
【分析】
由已知条件数列是由实数构成的等比数列，且成等差数列，列出等式求出公比
【详解】数列是由实数构成的等比数列，且成等差数列，
，
，
则
,
化简可得
为实数
则
故答案为2
【点睛】本题主要考查了等比数列、等差数列的综合知识，只需按照题目条件列出等式即可求出结果，本题较为基础。
（河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学（文）试题）
5.在等差数列中，，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
利用a1+a9 =a2+a8，将与作和可直接得.
【详解】在等差数列{an}中，由与作和得：
=（）+-（）
∴a1+a9 =a2+a8，∴==6．
∴a5=6．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．
[来源:Zxxk.Com]
（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（五）数学（文）试题）
10.已知等比数列的各项均为正数，且，则等于( )
A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知结合等比数列的性质可得a1009a1010＝4，再由对数的运算性质可得答案．
【详解】由a1008a1011+a1009a1010＝8，可得2a1009a1010＝8，即a1009a1010＝4，
∴＝
＝log2（a1009a1010）1009＝log241009＝2018．
故选：C．
【点睛】本题考查等比数列的性质和通项公式，涉及对数的运算，属中档题．
（山东省济南外国语学校2019届高三1月份阶段模拟测试数学（文）试题）
5.已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由等差数列{an}的公差为成等比数列，列出方程求出a1＝﹣1，由此能求出{an}的前n项和Sn．
【详解】∵等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，
∴（a1+4）2＝（a1+2）（a1+10），
解得a1＝﹣1，
∴{an}的前n项和Snn+n2﹣n＝n2﹣2n＝n（n﹣2）．
故选：A．
【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等比数列、等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学（理）试题）
4.设等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先设等差数列的公差为，根据，求出首项和公差，即可得出结果.
【详解】设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得；
因此.
故选B
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，只需依题意求出首项和公差即可，属于基础题型.
（湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）
7.已知在等比数列中，，则的个位数字是（ ）
A. B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】[来源:学+科+网]
由求得，由求得，即可求得，列出，即可发现它们的个位数字是以4为周期重复出现的，问题得解。
【详解】设等比数列的公比为，首项为
由得：.
解得：.即：，
由得：，所以，所以，
所以：，，，，，，，
由此可得的个位数是以4为周期重复出现的.
所以的个位数字是的个位数字，即的个位数字是：9.
故选：D
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式，还考查了周期性，属于基础题。
（广东省广州市天河区2019届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）
3.设等比数列的前n项和为，若，，则
A. 144 B. 81 C. 45 D. 63
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等比数列性质，得到关于，，的新等比数列，求解出公比后，求出的值即可。
【详解】由等比数列性质可知：，，，……成等比数列，设公比为
由题意得：
本题正确选项：
【点睛】解决本题的关键在于根据等比数列的性质得到：依然成等比数列，从而快速求解此题。本题也可以利用等比数列的基本项和来进行求解，但计算量较大。
（广东省东莞市2019届高三上学期期末调研测试数学理试题）
8.在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
由等比数列的性质可得b5＝2,再利用对数的运算性质即可得出．
【详解】已知,由等比数列的性质可得，
又等比数列各项为正数，b5＞0，可得b5＝2．
则＝log2（b1b2•…•b9）＝log2＝9．
故选：D．
【点睛】本题考查等比数列的性质（其中m+n=p+q）、对数的运算性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
（江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考数学（文）试卷）
5.已知等差数列的首项，前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，由和得，即可得.
【详解】设等差数列的公差为，由，得 ，所以 ，且，所以=，得 .
故选：B
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题.
（广东省汕尾市普通高中2019年3月高三教学质量检测文科数学试题）
4.已知为等比数列的前项和，，，则
A. B. C. D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意易得数列的公比代入求和公式计算可得．
【详解】设等比数列公比为q，，
则，解得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．
（广东省揭阳市2019届高三一模数学（文科）试题）
6.已知数列满足（），，等比数列满足，，则的前6项和为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求，再求等比数列公比，最后根据等比数列前项和公式求结果.
【详解】因为，所以，因此等比数列公比,所以的前6项和为，选B.
【点睛】本题考查等比数列前项和公式，考查基本分析求解能力.属基本题.
（广东省揭阳市2019届高三一模数学（文科）试题）
16.如图，给出一个直角三角形数阵，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据等差数列求，再根据等比数列求，即得.
【详解】因为每一列的数成等差数列，且第一列公差为，所以，
因为从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等为，所以，因此.
【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式，考查基本分析求解能力.属基本题.
（广东省深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试数学理试题）
3.设为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列的前n项和公式和题设条件，求得，进而求解数列的公差，得到答案。
【详解】依题意，可得，解得，
又，所以，
所以公差，故选A。
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
（河南省濮阳市2019届高三下学期摸底考试数学（理）试题）
4.若是等比数列的前项和，，，成等差数列，且，则（ ）
A. B. C. 4 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】[来源:学科网]
当公比q=1时，易推断不符合题意，故q，然后利用等比数列的前n项和的公式和等差数列的性质得方程，再利用等比数列的性质求解.
【详解】设数列的公比为，
当时，，则，，，此时 不成等差数列，不符合题意，舍去；
当时，∵成等差数列，∴，
即，
即，解得或（舍去）或（舍去），
∴，，∴，故选C.
【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列；在应用等比数列的前n项和公式时，公比不能为1，故在解题过程中，应注意公比为1的这种特殊的等比数列，以防造成漏解.
（河南省濮阳市2019届高三下学期摸底考试数学（理）试题）
14.是公差不为0的等差数列，满足，则该数列的前10项和_____．
【答案】0
【解析】
【分析】
，化简可得，可得，再利用等差数列通项公式，求和公式及其性质即可得出．
【详解】，化简可得，
即，．
，
，
，
，
故答案为：0
【点睛】本题考查了等差数列通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）
5.在等比数列中， 若， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A[来源:学科网]
【解析】
【分析】
将和分别用和来表示，根据等比数列的通项公式即可求出结果.
【详解】若，∴，
∴，，即，，∴，
故选A．
【点睛】本题考查了等比数列通项公式，考查了运算能力，解出公比是解题的关键，属于基础题．
（晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题）
8.我国南北朝时期的数学著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是（ ）
A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意将原问题转化为等差数列的问题，列方程组可得，结合题意可确定两个人所得金相差数额绝对值的最小值.
【详解】设首项为，公差为，则根据题意可得，解得．
则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查等差数列及其应用，属于基础题.
（山东省泰安市2019届3月高三第一轮复习质量检测数学文科试题）
8.等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的前10项和为
A. 65 B. 75 C. 90 D. 110
【答案】A
【解析】
【分析】
由的首项，前项和为，，求出，可得 ，再求数列前10项和．
【详解】∵的首项，前项和为，，
解得 故数列的前项和为
故选A.
【点睛】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）
2.是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）
A. 64 B. 100 C. 110 D. 120
【答案】B
【解析】
试题分析：a1+a2=4，a7+a8=28，解方程组可得 [来源:Z#xx#k.Com]
考点：等差数列通项公式及求和
【此处有视频，请去附件查看】
（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）
5.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（ ）
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等差数列通项公式和前项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.
【详解】从冬至起，日影长依次记为，
根据题意，有，
根据等差数列的性质，有，
而，设其公差为，则有，
解得，
所以冬至的日影子长为尺，
故选A.[来源:学.科.网Z.X.X.K]
【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前项和的有关量的计算，属于简单题目.
（广东省汕尾市2019届高三普通高中3月教学质量检测理科数学试题）
15.已知等差数列{an}的首项a1=1，若3a3=7a7，则数列{an}的前n项和的最大值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】
先求出公差，再求出通项公式，求出数列{an}的前n项和的最大值的项，根据求和公式即可求出．
【详解】设公差为d，
∵3a3=7a7，a1=1，
∴3（1+2d）=7（1+6d），
解得d=- ，
∴an=1-（n-1）= ，
令an≥0，解得n=10，
∴数列{an}的前n项和的最大值为S10=10+，
故答案为：5
【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式和通项公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题
（广东省汕尾市2019届高三普通高中3月教学质量检测理科数学试题）
4.已知数列{an}是等比数列，a1=5，a2a3=200，则a5=（ ）
A. 100 B. C. 80 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式即可得出．[来源:学科网]
【详解】设等比数列{an}的公比为q，
∵a1=5，a2a3=200，
∴52×q3=200，解得q=2．
则a5=5×24=80．
故选：C．
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
（陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
14.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据公比及，可求出首项，然后求得，代入即可求解。
【详解】等比数列各项都是正数，且公比为，
所以即
所以
所以
则
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及对数求值，属于基础题。
（四川省成都市实验外国语学校2019届高三二诊模拟考试理科数学）
5.等比数列各项均为正数，若则的前6项和为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质及，可得q的值，计算即可.
【详解】解：等比数列各项均为正数，且，
，，可得q=2或q=-4(舍去)，
=63，
故选B.
【点睛】本题考查了等比数列的性质及前n项和的公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学（文）试题）
15.已知等比数列的首项为，公比为，前项和为，且对任意的 *，都有恒成立，则的最小值为____．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用等比数列的求和公式求出，求出的范围，确定，求出最小值、最大值，即可求出的最小值
【详解】∵等比数列的首项为，公比为，∴，
令，则，，∴，
∵的最小值为，最大值为，
∴对任意恒成立，则的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查等比数列的求和公式，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学（文）试题）
4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则( )
A. 23 B. 32 C. 35 D. 38
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得儿子的岁数成等差数列，其中公差，，根据等差数列的前项和公式即可得结果.
【详解】由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为，其中公差，，
即，解得，故选C.
【点睛】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
13.设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差______．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质，可得到，即可求出公差。
【详解】由题意，解得.
故.
【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了计算能力，属于基础题。
（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）
14.设等差数列的前项和为.若，则______．
【答案】65
【解析】
【分析】
由可得，再由等差数列的求和公式结合等差数列的性质即可得结果.
【详解】在等差数列中，由，
可得，
即，即，
，故答案为65.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列性质的应用，属于中档题. 解答等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.
（西安市2019届高三年级第一次质量检测文科数学）
17.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）.
（1）证明：成等比数列；
（2）设，若数列为等比数列，求的通项公式.
【答案】（1）详见解析； （2）.
【解析】
【分析】
（1）代入n＝1得a1＝t．当n≥2时，由（1﹣t）Sn＝﹣tan+t，得，（1﹣t）Sn﹣1＝﹣tan﹣1+t．作差得an＝tan﹣1，由此能证明{an}是等比数列．
（2）由，分别求得，利用数列{bn}为等比数列，则有，能求出t的值．
【详解】（1）由，
当时，，得，
当时，，即，，
∴，
故成等比数列.
（2）由（1）知是等比数列且公比是，∴，
故，即，
若数列是等比数列，则有，
而，，.
故，解得，
再将代入得：.
【点睛】本题考查了由递推关系证明等比数列，考查了等比数列的应用，考查了运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．
（湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四）数学（理）试题）
17.已知等比数列的前项和为，满足，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）记，数列的前项和为，求使成立的正整数的最小值．
【答案】（1）（2）6
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设的公比为，由题设条件，求得等比数列的首项和公比，即可得到数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，利用乘公比错位相减法，求得，再根据题设，列出不等式，即可求解.
【详解】（Ⅰ）设的公比为，由得，，所以，所以.
又因为，所以，所以.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，
，则，
，
所以，
由，得，即，则，
所以的最小值是6.
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
（河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学（文）试题）
17.在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若等差数列的公差不为零，，且、、成等比数列，求的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由根据正弦定理可得，由余弦定理可得，从而可得结果；（2）由（1）可得，再由、、成等比数列，列方程求得公差，从而得，则 ，利用裂项相消法可得结果.
【详解】（1）由 得
，所以
又
（2）设的公差为，由（1）得，且，
∴．又，∴，∴．
∴
∴
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
（吉林省长春实验高中2019届 高三第五次月考 数学（文）试题）
17.已知公差不为零的等差数列{an）满足a1＝5，且a3，a6，a11成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an·3n－1，求数列{bn}的前n项和Sn．
【答案】（1）an＝2n＋3； （2）Sn＝（n＋1）×3n-1.
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列中，，且成等比数列列出关于公差的方程，解方程可得的值，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得结果.
【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a3，a6，a11成等比数列，
所以，即（a1＋5d）2＝（a1＋2d）（a1＋10d），
化简得5d－2a1＝0．
又a1＝5，所以d＝2，从而an＝2n＋3．
（2）由（1）可得，
所以Sn＝5×30＋7×31＋9×32＋…＋
所以3Sn=5×31＋7×32＋9×33＋…＋（2n＋3）×3n，
以上两个等式相减得，
化简得Sn＝（n＋1）×3n-1
【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式与等差数列的通项以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
（河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）
18.设为等差数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）若成等比数列，求.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列中，，,利用等差数列的求和公式以及通项公式列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，根据，，成等比数列列方程求得，从而可得结果.
【详解】（1），，
故.
（2）由（1）知，.
，，成等比数列，，
即，解得，故.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量
一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.
（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题）
17.为数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析：（1）由和作差得，化简可得等比数列，从而得解；
（2）由，利用裂项相消法求和得，进而求解不等式即可.
详解：（1）由，可知．可得，易知，于是．
又，得．所以是首项为2，公比为4的等比数列，通项公式为．
（2）由可知．
于是．
不等式可化为．因为，所以，故．
因此实数的取值范围为．
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.
裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）
18.已知是首项为1的等差数列，是公比为2的等比数列，且.
（1）求，的通项公式；
（2）记的前项和为，的前项和为，求满足的最大正整数的值．
【答案】(1) , (2)5
【解析】
【分析】
（1）设的公差为，的公比为，依题意列出方程组，求得，进而利用等差数列和等比数列的通项公式，即可求解.
（2）由（1），求得，，在根据，利用是递增数列，即可求解.
【详解】（1）设的公差为，的公比为，依题意得
，即，
解得
所以，.
（2）由（1）可知，
由可得，即
因为是递增数列，又，，
所以满足的最大正整数的值是5.
【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，其中解答中熟记等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组及合理利用数列的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.