2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§4-3 三角函数的图象与性质（讲解部分） 27页

考点一　三角函数的图象 考点清单 考向基础 1. y = A sin( ωx + φ )的有关概念 y = A sin( ωx + φ ) ( A >0, ω >0), x ∈ [0,+ ∞ )表示一 个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T =   f =   =   ωx + φ φ 2.用五点法画 y = A sin( ωx + φ )一个周期内的简图 用五点法画 y = A sin( ωx + φ )一个周期内的简图时,要找五个关键点,如表所示: 3.由函数 y =sin x 的图象变换得到 y = A sin( ωx + φ )( A >0, ω >0)图象的步骤   上述两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是| φ |个 单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是   ( ω >0)个单位.原 因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言的. 考向一　三角函数图象的变换 考向突破 例1    (2020届安徽合肥八校第一次联考,8)要得到函数 y =-   sin 3 x 的图象, 只需将函数 y =sin 3 x +cos 3 x 的图象   (　　) A.向右平移   个单位长度 B.向右平移   个单位长度 C.向左平移   个单位长度 D.向左平移   个单位长度 解析     y =sin 3 x +cos 3 x =   sin   ,将其图象向右平移   个单位长度,可 得 y =   sin   =   sin(3 x -2π)=   sin 3 x 的图象,排除A;将其图象向 右平移   个单位长度,可得 y =   sin   =   sin   =-   ·sin   的图象,排除B;将其图象向左平移   个单位长度,可得 y =   sin   =   sin(3 x +π)=-   sin 3 x 的图象,C正确;将其图象向左平移   个单位长度,可得 y =   ·sin   =   sin   =-   sin   的 图象,排除D.故选C. 答案    C 考向二　根据三角函数图象求解析式 解析　由题图知, A =   =   , b =   =1.由题图知函数 f ( x )的周期是4,所 以 ω =   .由五点作图法知,   × 0+ φ =0,所以 φ =0,故函数的解析式为 f ( x )=   sin   x +1. 因为 f (0)=1, f (1)=   , f (2)=1, f (3)=   , f (4)=1, f (5)=   , …… , 所以 S = f (0)+ f (1)+503 × [ f (0)+ f (1)+ f (2)+ f (3)] =1+   +503 ×   =   +2 012=2 014   . 答案    D 考点二　三角函数的性质 考向基础 考向突破 考向一　三角函数的单调性 例3    (2018湖北重点高中期中联考,7)已知函数 f ( x )=   ( a >0且 a ≠ 1)的图 象过定点 P ,且点 P 在角 θ 的终边上,则函数 y =sin( x + θ )的单调递增区间为   (　　) A.   ( k ∈Z) B.   ( k ∈Z) C.   ( k ∈Z) D.   ( k ∈Z) 解析　由函数 f ( x )=   ( a >0且 a ≠ 1)的图象及性质可知定点 P 的坐标为(   , 1),由三角函数的定义知tan θ =   ,∴ θ =   +2 k π( k ∈Z),∴函数 y =sin( x + θ )=sin   =sin   ( k ∈Z),令2 k π-   ≤ x +   ≤ 2 k π+   ( k ∈Z),解得2 k π-   ≤ x ≤ 2 k π+   ( k ∈Z),故函数 y =sin( x + θ )的单调递增区间为   ( k ∈Z),故选A. 答案    A 考向二　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 例4    (2019广东东莞第二次调研,8)将函数 f ( x )=cos 2 x 的图象向右平移   个 单位后得到函数 g ( x )的图象,则 g ( x )   (　　) A.周期为π,最大值为1,图象关于直线 x =   对称,为奇函数 B.周期为π,最大值为1,图象关于点   对称,为奇函数 C.周期为π,最大值为1,在   上单调递减,为奇函数 D.周期为π,最大值为1,在   上单调递增,为奇函数 解析　将函数 f ( x )=cos 2 x 的图象向右平移   个单位后得到函数 g ( x )=cos   =sin 2 x 的图象,则函数 g ( x )的周期为π,最大值为1,在   上单调 递减,在   上单调递增,并且为奇函数,其图象关于直线 x =   +   ( k ∈Z) 对称,关于点   对称,结合四个选项知选D. 答案    D 方法1 　由三角函数图象确定函数解析式的方法 求函数 y = A sin( ωx + φ )+ B ( A >0, ω >0,| φ |<π)的解析式的方法与步骤: (1)求 A 、 B ,确定函数的最大值 M 和最小值 m ,则 A =   , B =   . (2) ω 由周期得到,| ω |=   ,确定周期时可利用以下结论: ①函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为函数的半个周期; ②函数图象的相邻两个对称中心间的距离也为函数的半个周期; ③一条对称轴和与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的   个周期(借 助图象很好理解、记忆). 方法技巧 (3)求 φ 的常用方法如下: ①代入法:把图象上的一个已知点坐标代入(此时, A , ω , B 已求出),或代入图 象与直线 y = B 的交点坐标求解(此时要注意交点在上升曲线还是在下降曲 线). ②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点   作为 突破口,具体如下: “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)的横坐标满足 ωx + φ =0;“第二 点”(即图象的“峰点”)的横坐标满足 ωx + φ =   ;“第三点”(即图象下降 时与 x 轴的交点)的横坐标满足 ωx + φ =π;“第四点”(即图象的“谷点”)的 横坐标满足 ωx + φ =   ;“第五点”的横坐标满足 ωx + φ =2π. 例1    (2020届江西五校第一次联考,14)已知函数 f ( x )= A sin( ωx + φ )( A >0, ω >0,| φ |<π)的部分图象如图所示,则该函数的解析式为 　　　　　　     .   解析　由函数图象知 f ( x )的最大值为   ,最小值为-   , 又知 A >0,∴ A =   . 由图象知   =   -   =   ,∴ T =π, 又∵ T =   , ω >0,∴ ω =2. ∴ f ( x )=   sin(2 x + φ ). 又知函数 f ( x )的图象过点   ,∴ f   =   , 即   sin   =   ,∴sin   =1. ∴   + φ =2 k π+   ( k ∈Z), ∴ φ =2 k π-   π( k ∈Z),又∵| φ |<π,∴ φ =-   π, ∴函数 f ( x )的解析式为 f ( x )=   sin   . 答案     f ( x )=   sin     一题多解　解法一:由图象知 A =   ,图象过点   ,   . 根据五点作图法得   解得   ∴函数 f ( x )的解析式为 f ( x )=   sin   . 解法二:由图象可知 A =   ,   =   π-   =   ,∴ T =π. 又知 T =   , ω >0,∴ ω =2.∴函数 f ( x )的图象可由 y =   sin 2 x 的图象向右平移   个单位长度得到,∴函数 f ( x )的解析式为 f ( x )=   sin   =   sin . 方法2 　三角函数的周期与对称轴(对称中心)的求解方法 1.三角函数周期的求解方法:(1)定义法;(2)公式法:函数 y = A sin( ωx + φ )+ B ( y = A cos( ωx + φ )+ B )的最小正周期 T =   ,函数 y = A tan( ωx + φ )+ B 的最小正周期 T =   ;(3)图象法:求含有绝对值符号的三角函数的周期,可画出函数的图象,从 而观察出周期大小;(4)转化法:对于较为复杂的三角函数,可通过恒等变换 将其转化为 y = A sin( ωx + φ )+ B (或 y = A cos( ωx + φ )+ B )或 y = A tan( ωx + φ )+ B 的类 型,再利用公式法求得. 2.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法:(1)熟记以下各函数图象 的对称轴与对称中心: y =sin x 图象的对称轴为 x = k π+   , k ∈Z,对称中心为( k π, 0), k ∈Z; y =cos x 图象的对称轴为 x = k π, k ∈Z,对称中心为   , k ∈Z; y = tan x 图象的对称中心为   , k ∈Z,无对称轴.(2)利用整体代换思想求解 函数 y = A sin( ωx + φ )图象的对称轴和对称中心,令 ωx + φ = k π+   , k ∈Z,解得 x =   , k ∈Z,即为对称轴方程;令 ωx + φ = k π, k ∈Z,解得 x =   , k ∈Z,即为 对称中心的横坐标,纵坐标为0. 例2    (2019湖南衡阳高中毕业班联考(二),4)将函数 f ( x )的图象向右平移   个单位长度,再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的   ,得到 函数 g ( x )= A sin( ωx + φ )   的图象.已知函数 g ( x )的部分图象如 图所示,则函数 f ( x )   (　　)   A.最小正周期为   π,最大值为2 B.最小正周期为π,图象关于点   中心对称 C.最小正周期为   π,图象关于直线 x =   对称 D.最小正周期为π,在区间   上单调递减 解析　对于 g ( x ),由题图可知, A =2, T =4   =   ,又∵ ω >0,∴ ω =   =3.则 g ( x )=2sin(3 x + φ ),又由 g   =2可得2sin   =2,则   + φ =2 k π+   , k ∈Z, ∴ φ =-   +2 k π, k ∈Z,而| φ |<   ,∴ φ =-   . ∴ g ( x )=2sin   ,∴ f ( x )=2sin   . ∴ f ( x )的最小正周期为π,选项A,C错误. 对于选项B,令2 x +   = k π( k ∈Z),所以 x =   -   , k ∈Z,所以函数 f ( x )图象的对称 中心为   ( k ∈Z),所以选项B是错误的.当 x ∈   时,2 x +   ∈   ,所以 f ( x )在   上是减函数,所以选项D正确.故选D. 答案    D 方法3 　三角函数的单调性与最值(值域)的求解方法 1.求函数 y = A sin( ωx + φ )+ B (或 y = A cos( ωx + φ )+ B 或 y = A tan( ωx + φ )+ B )的单调区 间时,一般先将 x 的系数化为正值(通过诱导公式转化),再把“ ωx + φ ”视为 一个整体,结合基本初等函数 y =sin x (或 y =cos x 或 y =tan x )的单调性找到 “ ωx + φ ”在 x ∈R上满足的条件,通过解不等式求得单调区间. 2.三角函数的最值和值域问题一般有两种类型:(1)形如 y = a sin x + b ( a ≠ 0)或 y = a cos x + b ( a ≠ 0)的函数的最值或值域问题,利用正、余弦函数的有界性 (-1 ≤ sin x ≤ 1,-1 ≤ cos x ≤ 1)求解,求三角函数取最值时相应自变量 x 的集合 时,要注意考虑三角函数的周期性;(2)形如 y = a sin 2 x + b sin x + c , x ∈ D ( a ≠ 0)(或 y = a cos 2 x + b cos x + c , x ∈ D ( a ≠ 0))的函数的最值或值域问题,通过换元,令 t =sin x (或 t =cos x ),将原函数化为关于 t 的二次函数,利用配方法求其最值或值域, 求解过程中要注意 t 的取值范围. 例3    (2019江西南昌重点中学联考,17)已知函数 f ( x )=   sin   cos   -   sin 2 . (1)求 f ( x )的单调递增区间; (2)求 f ( x )在区间[-π,0]上的最小值.   解析　(1) f ( x )=   sin   cos   -   sin 2   =   sin x -   ·   =   sin x +   cos x -   =sin   -   , 由2 k π-   ≤ x +   ≤ 2 k π+   ( k ∈Z), 得2 k π-   ≤ x ≤ 2 k π+   ( k ∈Z). 故 f ( x )的单调递增区间为   ( k ∈Z). (2)因为-π ≤ x ≤ 0,所以-   ≤ x +   ≤   . 当 x +   =-   ,即 x =-   时, f ( x )取最小值, f ( x ) min =-1-   .