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- 2021-04-25 发布
2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知i是虚数单位，则i+|﹣i|在复平面上对应的点是（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C．（1，1） D．（1，﹣1）
2．函数f（x）=x+（x＞0）的单调减区间是（ ）
A．（2，+∞） B．（0，2） C．（，+∞） D．（0，）
3．判断下列四个命题：
①若∥，则=；
②若||=||，则=；
③若||=||，则∥；
④若=，则||=||，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间（﹣3，1）上y=f（x）是增函数 B．在区间（1，3）上y=f（x）是减函数
C．在区间（4，5）上y=f（x）是增函数 D．在x=2时y=f（x）取到极小值
5．若tanθ=，则cos2θ=（ ）
A． B． C． D．
6．已知单位向量的夹角为α，且cosα=，若向量，则||=（ ）
A．2 B．3 C．9 D．13
7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
A． B． C． D．
8．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，a=3，则△ABC 的周长的最大值为（ ）
A．2 B．6 C． D．9
9．已知△ABC的三个内角为A，B，C，若函数f（x）=x2﹣xcosA•cosB﹣cos2有一零点为1，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
10．已知命题p：∀x∈[﹣1，2]，函数f（x）=x2﹣x的值大于0，若p∨q是真命题，则命题q可以是（ ）
A．∃x∈（﹣1，1）使得cosx＜
B．“﹣3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的必要不充分条件
C．x=是曲线f（x）=sin2x+cos2x的一条对称轴
D．若x∈（0，2），则在曲线f（x）=ex（x﹣2）上任意一点处的切线的斜率不小于﹣
11．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
12．若实数m的取值使函数f（x）在定义域上有两个极值点，则叫做函数f（x）具有“凹凸趋向性”，已知f′（x）是函数f（x）的导数，且f′（x）=﹣2lnx，当函数f（x）具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围是（ ）
A．（﹣，+∞） B．（﹣，0） C．（﹣∞，﹣） D．（﹣，﹣）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13．若函数f（x）=x3+2x2+mx﹣5是R上的单调递增函数，则m的取值范围是 ．
14．若直线l与曲线C满足下列两个条件：
（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．
下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3
②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2
③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx
④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx
⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx．
15．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）= ．
16．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B分别在两条互相垂直的射线OP，OQ上滑动，则•的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且2acosB=2c﹣b．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．
18．（12分）为了促进人口的均衡发展，我国从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开两孩政策．为了解适龄国民对放开生育二胎政策的态度，某部门选取70后和80后年龄段的人作为调查对象，进行了问卷调查，其中，持“支持生二胎”、“不支持生二胎”和“保留意见”态度的人数如表所示：
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，其中持“支持”态度的人共36人，求n的值；
（2）在持“不支持”态度的人中，仍用分层抽样的方法抽取5人，并将其看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1个80后的概率．
支持
保留
不支持
80后
780
420
200
70后
120
180
300
19．（12分）如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中．AB=AA1，D是BC上的一点，且AD⊥C1D，
（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；
（Ⅱ）在棱CC1上是否存在一点P，使直线PB1⊥平面AC1D？若存在，找出这个点，并加以证明；若不存在，请说明理由．
20．（12分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．
（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求 f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．
21．（12分）设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．
22．（12分）设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．
（1）求b；
（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．
2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2016秋•雁峰区校级月考）已知i是虚数单位，则i+|﹣i|在复平面上对应的点是（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C．（1，1） D．（1，﹣1）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；数系的扩充和复数．
【分析】利用模的计算公式、几何意义即可得出．
【解答】解：i+|﹣i|=i+1在复平面上对应的点是（1，1），
故选：C．
【点评】本题考查了模的计算公式、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（2016秋•雁峰区校级月考）函数f（x）=x+（x＞0）的单调减区间是（ ）
A．（2，+∞） B．（0，2） C．（，+∞） D．（0，）
【考点】函数的单调性及单调区间．
【专题】转化法；函数的性质及应用．
【分析】利用勾勾函数的性质求解．
【解答】解：函数f（x）=x+（x＞0），
根据勾勾函数图象及性质可知，
函数f（x）=x+（x＞0）在（，+∞）单调递增，函数f（x）在（0，）单调递减．
故选D．
【点评】本题考查了勾勾函数的性质．要牢记勾勾函数y=性质才能推广应用．属于基础题．
3．（2016秋•雁峰区校级月考）判断下列四个命题：
①若∥，则=；
②若||=||，则=；
③若||=||，则∥；
④若=，则||=||，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用；向量的模；平行向量与共线向量．
【专题】平面向量及应用；简易逻辑．
【分析】通过向量共线判断①的正误；利用模相等向量判断②的正误；模相等的向量判断③的正误；通过相等向量判断④的正误．
【解答】解：对于①，若∥，则=；显然不正确，向量平行，模与向量的方向不一定相同，所以①不正确．
对于②，若||=||，则=；显然不正确，因为模相等，方向不一定相同，所以②不正确．
对于③，若||=||，则∥；显然不正确，因为模相等，方向不一定相同或相反，所以③不正确；
对于④，若=，则||=||，正确，因为向量相等满足方向相同，模相等，所以④正确．
故选：A．
【点评】本题考查向量的模与相等向量，共线向量的关系，基本知识的考查．
4．（2012秋•永顺县期末）如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间（﹣3，1）上y=f（x）是增函数 B．在区间（1，3）上y=f（x）是减函数
C．在区间（4，5）上y=f（x）是增函数 D．在x=2时y=f（x）取到极小值
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；数形结合；导数的综合应用．
【分析】由图象可判断导数的正负，从而确定函数的增减性及极值，从而确定答案即可．
【解答】解：由图象可知，
当﹣3≤x＜﹣时，f′（x）＜0；
当﹣＜x＜2时，f′（x）＞0；
当2＜x＜4时，f′（x）＜0；
当4＜x＜5时，f′（x）＞0；
故函数y=f（x）在（﹣3，﹣），（2，4）上是减函数，
在（﹣，2），（4，5）上是增函数；
在x=2时取得极大值；
故选：C．
【点评】本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于中档题．
5．（2015春•习水县校级期末）若tanθ=，则cos2θ=（ ）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得cos2θ的值．
【解答】解：∵tanθ=，则cos2θ====，
故选：A．
【点评】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系，解决本题的关键是熟练掌握倍角公式，敏锐的观察角间的关系，属基础题．
6．已知单位向量的夹角为α，且cosα=，若向量，则||=（ ）
A．2 B．3 C．9 D．13
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；转化思想；定义法；平面向量及应用．
【分析】根据向量的模的运算和向量的数量积公式计算即可．
【解答】
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．
7．（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．
【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，
∴函数的周期T满足=﹣=，
由此可得T==π，解得ω=2，
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
又∵当x=时取得最大值2，
∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）
∵，∴取k=0，得φ=﹣
故选：A．
【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．
8．（2016秋•雁峰区校级月考）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，a=3，则△ABC 的周长的最大值为（ ）
A．2 B．6 C． D．9
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．
【分析】由已知利用余弦定理可求A，利用a=3和sinA的值，根据正弦定理表示出b和c，代入三角形的周长a+b+c中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值．
【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，可得：bc=b2+c2﹣a2，
∴cosA==，
∵A∈（0，π），
∴A=，
∴由a=3，结合正弦定理得：==2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
则a+b+c=3+2sinB+2sinC
=3+2sinB+2sin（﹣B）
=3+3sinB+3cosB
=3+6sin（B+），
可知周长的最大值为9．
故选：D．
【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．
9．（2016秋•雁峰区校级月考）已知△ABC的三个内角为A，B，C，若函数f（x）=x2﹣xcosA•cosB﹣cos2有一零点为1，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【考点】三角形的形状判断；三角函数的化简求值．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；三角函数的求值．
【分析】利用二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简表达式求解即可．
【解答】解：知△ABC的三个内角为A，B，C，函数f（x）=x2﹣xcosA•cosB﹣cos2有一零点为1，
可得1﹣cosA•cosB﹣cos2=0，
即：﹣cosA•cosB+=0
可得2cosA•cosB=1+cos（A+B），
即cosAcosB+sinAsinB=1，
cos（A﹣B）=1，△ABC的三个内角为A，B，C，
可得A=B，三角形是等腰三角形，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的形状的判断，两角和与差的三角函数以及二倍角公式的应用，考查转化思想以及计算能力．
10．（2016春•哈密市期末）已知命题p：∀x∈[﹣1，2]，函数f（x）=x2﹣x的值大于0，若p∨q是真命题，则命题q可以是（ ）
A．∃x∈（﹣1，1）使得cosx＜
B．“﹣3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的必要不充分条件
C．x=是曲线f（x）=sin2x+cos2x的一条对称轴
D．若x∈（0，2），则在曲线f（x）=ex（x﹣2）上任意一点处的切线的斜率不小于﹣
【考点】复合命题的真假．
【专题】简易逻辑．
【分析】对于命题p：函数f（x）=x2﹣x=﹣，当x=时，取得最小值，=＜0，因此命题p是假命题．若p∨q是真命题，则命题q必须是真命题．
A．∀x∈（﹣1，1），可得cosx∈（cos1，1]，而cos1＞=，即可判断出真假；
B．函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上单调递增，若函数f（x）在此区间上有零点，则=＜0，解得m范围，即可判断出真假；
C．f（x）=2，当x=时，=1，即可判断出真假；
D．f′（x）=ex+ex（x﹣2）=ex（x﹣1），当x∈（0，2）时，f′（x）＞f′（0）=﹣1，几节课判断出真假．
【解答】解：对于命题p：函数f（x）=x2﹣x=﹣，则函数f（x）在上单调递减；在上单调递增．∴当x=时，取得最小值，=＜0，因此命题p是假命题．若p∨q是真命题，则命题q必须是真命题．
A．∀x∈（﹣1，1），cosx∈（cos1，1]，而cos1＞=，因此A是假命题；
B．函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上单调递增，若函数f（x）在此区间上有零点，则=＜0，解得，因此“﹣3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的充分不必要条件，因此是假命题；
C．f（x）=sin2x+cos2x=2，当x=时，==1，因此x=是函数f（x）的一条对称轴，是真命题；
D．曲线f（x）=ex（x﹣2），f′（x）=ex+ex（x﹣2）=ex（x﹣1），当x∈（0，2）时，f′（x）＞f′（0）=﹣1，因此D是假命题．
故选：C．
【点评】本题考查了复合命题的判断方法、三角函数的单调性及其对称性、函数的零点判定方法、函数的单调性、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（2016•亳州校级模拟）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．
【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，
故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，
由当x=时，y=1＞0，
当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．
由此可排除选项A和选项C．
故正确的选项为D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，属于基础题．
12．（2016秋•雁峰区校级月考）若实数m的取值使函数f（x）在定义域上有两个极值点，则叫做函数f（x）具有“凹凸趋向性”，已知f′（x）是函数f（x）的导数，且f′（x）=﹣2lnx，当函数f（x）具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围是（ ）
A．（﹣，+∞） B．（﹣，0） C．（﹣∞，﹣） D．（﹣，﹣）
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．
【分析】问题转化为m=2xlnx在（0，+∞）有2个不同的实数根，令g（x）=2xlnx，g′（x）=2（1+lnx），根据函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出m的范围即可．
【解答】解：f′（x）=﹣2lnx=，（x＞0），
若函数f（x）具有“凹凸趋向性”时，
则m=2xlnx在（0，+∞）有2个不同的实数根，
令g（x）=2xlnx，g′（x）=2（1+lnx），
令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，
∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
故g（x）的最小值是g（）=﹣，x→0时，g（x）→0，
故﹣＜m＜0，
故选：B．
【点评】不同考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13．（2016秋•雁峰区校级月考）若函数f（x）=x3+2x2+mx﹣5是R上的单调递增函数，则m的取值范围是 ．
【考点】利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的应用．
【专题】转化思想；判别式法；导数的概念及应用．
【分析】根据函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增，得出f′（x）≥0恒成立，利用判别式△≤0，求出m的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x3+2x2+mx﹣5在（﹣∞，+∞）内单调递增，
∴f′（x）=3x2+4x+m≥0恒成立，
即△=16﹣4×3m≤0，
解得m≥；
∴m的取值范围是m≥
故答案为：[．
【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，也考查了一元二次不等式的恒成立问题，是常规题．
14．（2014•安徽）若直线l与曲线C满足下列两个条件：
（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．
下列命题正确的是 ①③④ （写出所有正确命题的编号）．
①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3
②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2
③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx
④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx
⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx．
【考点】命题的真假判断与应用；曲线与方程．
【专题】简易逻辑．
【分析】分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P出的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．
【解答】解：对于①，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，
又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，
∴命题①正确；
对于②，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x=﹣1=0，
而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切，
∴命题②错误；
对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈时x＜sinx，x∈时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，
∴命题③正确；
对于④，由y=tanx，得，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈时tanx＜x，x∈时tanx＞x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，
∴命题④正确；
对于⑤，由y=lnx，得，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1，
设g（x）=x﹣1﹣lnx，得，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．
∴y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，
命题⑤错误．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当x∈时，tanx＞x＞sinx，该题是中档题．
15．（2014•安徽）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）= ．
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．
【解答】解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，
则f（）+f（）
=f（8﹣）+f（8﹣）
=f（﹣）+f（﹣）
=﹣f（）﹣f（）
=
==．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．
16．（2016秋•雁峰区校级月考）如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B分别在两条互相垂直的射线OP，OQ上滑动，则•的最大值为 8 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．
【分析】令∠OAB=θ，由边长为2的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，可得出D，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可
【解答】解：如图令∠OAB=θ，由于AB=2，故OA=2cosθ，OB=2sinθ，
如图∠DAX=﹣θ，AD=2，故xD=2cosθ+2cos（﹣θ）=2cosθ+2sinθ，yD=2sin（﹣θ）=2cosθ，
故=（2cosθ+2sinθ，2cosθ），
同理可求得C（2sinθ，2cosθ+2sinθ），即=（2sinθ，2cosθ+2sinθ），
∴•=（2cosθ+2sinθ，2cosθ）•（2sinθ，2cosθ+2sinθ）=4（1+sin2θ），
∴•的最大值是8，
故答案是：8．
【点评】本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）（2016•福建模拟）在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且2acosB=2c﹣b．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】方程思想；转化思想；解三角形．
【分析】（I）利用余弦定理即可得出；
（II）利用余弦定理可得bc，与b+c=4联立解出b，c，即可得出．
【解答】解：（I）2acosB=2c﹣b，∴=2c﹣b，化为：b2+c2﹣a2=bc．
∴cosA==，
又A∈（0，π），
∴A=．
（II）由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴22=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA=42﹣2bc（1+），化为bc=4．
联立，解得b=c=2．
∴△ABC是等边三角形，
∴S△ABC=×22=．
【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2016秋•雁峰区校级月考）为了促进人口的均衡发展，我国从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开两孩政策．为了解适龄国民对放开生育二胎政策的态度，某部门选取70后和80后年龄段的人作为调查对象，进行了问卷调查，其中，持“支持生二胎”、“不支持生二胎”和“保留意见”态度的人数如表所示：
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，其中持“支持”态度的人共36人，求n的值；
（2）在持“不支持”态度的人中，仍用分层抽样的方法抽取5人，并将其看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1个80后的概率．
支持
保留
不支持
80后
780
420
200
70后
120
180
300
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】（1）根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，写出比例式，使得比例相等，得到关于n的方程，解方程即可．
（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，本题解题的关键是列举出所有事件的事件数，再列举出满足条件的事件数，得到概率．
【解答】解：（1）所有参与调查的人数为780+120+420+180+200+300=2000．
由分层抽样知…
（2）由分层抽样知抽取的5人中有2个80后（记为甲、乙），3个70后（记为A、B、C）
则从中任取两个，共有以下10种等可能的基本事件：
（甲，乙）、（甲，A）、（甲，B ）、（甲，C）、（乙，A ）、（ 乙，B ）、（乙，C ）、（A，B）、（A，C）、（B，C），…（7分）
其中至少有1个80后的基本事件有（甲，乙）、（甲，A）、（甲，B）、（甲，C）、
（乙，A ）、（乙，B ）、（乙，C ）共7种．…（9分）
故至少有1个80后的概率为…（12分）
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．
19．（12分）（2014•兴庆区校级一模）如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中．AB=AA1，D是BC上的一点，且AD⊥C1D，
（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；
（Ⅱ）在棱CC1上是否存在一点P，使直线PB1⊥平面AC1D？若存在，找出这个点，并加以证明；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）连接A1C交AC1于E点，利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；
（II）在棱CC1上存在一点P，P为CC1的中点，使直线PB1⊥平面AC1D．利用正三棱柱的性质和正三角形的性质可得AD⊥B1P．
在正方形BCC1B1中，可得△CC1D≌△C1B1P，即可证明B1P⊥C1D．再利用线面垂直的判定定理即可证明．
【解答】证明：（Ⅰ）连接A1C交AC1于E点，则AE=EC1．
∵CC1⊥AD，且AD⊥C1D，CC1∩C1D=C1，
∴AD⊥侧面BCC1B1，∴AD⊥BC．
∵△ABC是正三角形，∴D是BC的中点．
∴ED∥A1B．
∵A1B⊄平面AC1D，ED⊂AC1D．
∴A1B∥平面AC1D．
（Ⅱ）在棱CC1上存在一点P，P为CC1的中点，使直线PB1⊥平面AC1D．下面给出证明：
由正三棱柱ABC﹣A1B1C1．可得CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AD．
又AD⊥C1D，∴AD⊥BC．
∵C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥B1P．
∵△ABC是正三角形，∴D为边BC的中点．
在正方形BCC1B1中，可得△CC1D≌△C1B1P，
∴∠CC1D=∠C1B1P．∴，∴B1P⊥C1D．
∵AD∩DC1=D，∴B1P⊥平面AC1D．
【点评】熟练掌握线面平行于垂直的判定定理于性质定理、三角形的中位线定理、正三棱柱的性质、正三角形的性质、正方形的性质、三角形全等的性质等是解题的关键．
20．（12分）（2015•内江三模）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．
（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求 f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．
【考点】解三角形；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】计算题．
【分析】（1）由可得，从而可求tanx，而
（2）由正弦定理得， 可求A=代入可得，结合已知x可求函数的值域
【解答】解：（1）∵
∴
∴（2分）
（6分）
（2）
由正弦定理得，（a＜b，即A＜B），
所以A=（9分）
∵∴
所以（12分）
【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示，利用1=sin2x+cos2x的代换，求解含有sinx，cosx的齐次式，向量的数量积的坐标表示，三角函数在闭区间上的值域的求解．
21．（12分）（2012•长宁区一模）设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．
【考点】指数函数综合题；函数奇偶性的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．
（2）由f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），即 x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．
（3）由f（1）=求得a的值，可得 g（x）的解析式，令t=f（x）=2x﹣2﹣x，可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，t≥f（1），令h（t）=t2﹣2mt+2，（t≥），分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m的值．
【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，…（2分）
∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．…（4分）
（2）∵函数f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，又 a＞0，
∴1＞a＞0．…（6分）
由于y=ax单调递减，y=a﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4）．
∴x2+tx＞x﹣4，即 x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，…（8分）
∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．…（10分）
（3）∵f（1）=，a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2，或 a=﹣（舍去）．…（12分）
∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．
令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知k=2，故f（x）=2x﹣2﹣x ，显然是增函数．
∵x≥1，∴t≥f（1）=，
令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2 （t≥）…（15分）
若m≥，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2…（16分）
若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去…（17分）
综上可知m=2．…（18分）
【点评】本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，函数的奇偶性的应用，以及函数的恒成立问题，属于中档题．
22．（12分）（2016•福安市校级模拟）设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．
（1）求b；
（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．
【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）求导，从而求b；
（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．
【解答】解：（1），
∵f′（e）=0，a≠e，
∴b=e；
（2）由（1）得，，
①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．
此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．
∵，
；
∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，
则只需=，
即；
②当时，
由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．
此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．
此时，
∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；
③当a＞e时，
由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，
此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，
∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．
综上所述，a的取值范围为．
【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．