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- 2021-04-25 发布
理科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共13个小题,每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设全集，集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.已知幂函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3.已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，则红豆落在内的概率是（ ）
A． B． C． D．
4.正数，满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C. D．
5.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（ ）
A． B． C. D．
6.我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（ ）
A．600 B．400 C.300 D．200
7.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程，那么表中的值为（ ）
3
4
5
6
4
A．4 B． C. D．
8.已知正四棱锥的各棱棱长都为，则正四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
9.将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每盒放2个，则标号为1，6的小球不在同一个盒子中的概率有（ ）
A． B． C. D．
10.已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C. D．
11.的展开式中，各项系数之和为，各项的二项式系数之和为，且，则展开式中常数项为（ ）
A．6 B．9 C.12 D．18
12.按下图所示的程序框图运算：若输出，则输入的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
13．数列中，，则数列前12项和等于（ ）
A．76 B．78 C．80 D．82
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
14.的展开式中的常数项为 ．
15.若，且，则的值为 ．
16.过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ．
17．已知为的外心，，若，且，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.（本小题满分10分）已知函数．
（1）求的最大值及取得最大值时的集合；
（2）设的角，，的对边分别为，，，且，，求的取值范围．
19.（本小题满分12分）
设数列的前项和为，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
20.（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，，梯形上底．
（1）求证：平面；
（2）求面与面所成锐二面角的余弦值．
21.（本小题满分12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过的前提下，你是否有理由认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．
附：
22.（本小题满分12分）已知函数的图象经过点，点关于直线的对称点在的图象上．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）令，求的最小值及取得最小值时的值．
23. （本小题满分12分）已知圆．
（Ⅰ）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的议程；
（Ⅱ）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得取得最小值时点的坐标．
24. （本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（用同一组数据用该区间的中点值用代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（i）的结果，求．
附：，若，则，
答案详解部分
1
【答案】B
【解答过程】本题考查集合的混合运算.解答本题时要注意根据分式不等式及指数不等式确定集合A,B，然后进行补集与交集运算.由 得 ,所以 .由 解得 ，所以 .所以 .故选B.
2
【答案】B
【解答过程】本题考查幂函数.解答本题时要注意利用待定系数法确定幂函数，然后进行求值计算.设 ，由其图象经过点 得 ，解得 ，所以 . 所以 .故选B.
3
【答案】B
【解答过程】本题考查几何概型.解答本题时要注意根据条件确定几何图形，然后利用几何概型求值计算.因为 ,所以 是 的重心.连接 。则将 分为面积相等的三个部分.所以将一粒红豆随机撒在 内,则红豆落在 内的概率是 .故选B.
4
【答案】C
【解答过程】本题考查简单的线性规划.解答本题时要注意先根据不等式组确定平面区域，然后找到使得目标函数取到最小的最优解，最后代入求值计算.由题可得，不等式组表示的平面区域如图所示，结合图形可知，当 时， 的最大值为4，所以 的最小值为 .,故选C.
5
【答案】C
【解答过程】本题考查几何体的表面积.解答本题时要注意根据三视图确定几何体的结构特征，然后求解几何体的侧面积.
由题可得，该几何体是一个四棱锥，其侧面积时四个直角三角形面积的和.这四个三角形的面积两两相等，其中一个三角形的底时俯视图菱形的一条边，高为1，这个三角形的面积是.另一个不同的三角形的底也是俯视图菱形的一条边，高时正视图中间的线，面积是，所以侧面积为.故选C.
6
【答案】D
【解答过程】本题考查正态分布.解答本题时要注意利用正态分布原理，结合条件求得结论.考试成绩在70分到110分之间的人数为600，则落在90分到110分之间的人数为300，故数学成绩不低于110分的学生人数约为500-300=200.故选D.
7
【答案】D
【解答过程】本题考查线性回归方程.解答本题时要注意根据线性回归方程，估计m的值.因为 关于 的线性回归方程 ，所以当x=4时， .结合前后数据分析可知， .故选D.
8
【答案】B
【解答过程】本题考查空间几何体的体积与表面积.解答本题时要注意根据正四棱锥的棱长计算得到其外接球的直径或半径，然后计算得到球的表面积.由题可得，该正四棱锥的底面正方形对角线交点就是球心，所以外接球的半径为3，所以表面积为 .故选B.
9
【答案】A
【解答过程】本题考查随机事件的概率.解答本题时要注意先确定所有的事件总数，然后再确定满足条件的事件的基本事件总数，最后利用古典概型计算求值.由题可得，所有的放法总数为 种，标号为1,6的小球不在同一个盒子中的放法总数有m= 种.由古典概型知，标号为1,6的小球不在同一个盒子中的概率为 .故选A.
10
【答案】C
【解答过程】本题考查对数函数的性质.解答本题时要注意结合给出的对数型函数的特点，建立a,b的关系式，然后利用该关系式结合不等式求解范围.由题可得，函数 的图象如图所示，因为 ，不妨 ，则有 ,所以 ， ，所以 .因为 ,所以 = , 不满足，所以 ，所以 .故选C.
11
【答案】B
【解答过程】本题考查二项式定理.解答本题时要注意根据条件确定各项系数之和及各项的二项式系数之和，通过条件确定n的值，然后利用通项公式求常数项.由题可得，令x=1,则 ，各项的二项式系数之和为 ，所以 ，解得 .所以该二项式展开式的通项公式为 .所以当 时，该二项式展开式的常数项为 .故选B.
12
【答案】D
【解答过程】本题考查程序框图.解答本题时要做注意根据给出的程序框图确定算法，根据输出的值确定输入的值.因为输出的k的值为2，所以该框图进行了2次循环.所以满足,且，解得.对比选项，故选D.
13
【答案】B
【解答过程】本题考查数列求和.解答本题时要注意根据题中的递推关系式，写出其中一些项，然后结合项确定性质，最后求值计算.因为，所以,,,,,,,.相邻的两个式子作差（后面的减前面）得：，，.所以从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8位首项，16为公差的等差数列，以上式子相加可得=+==故选B.
14
【答案】-5
【解答过程】本题考查二项式定理.解答本题时要注意根据二项式展开式的通项公式，表示得到常数项. 的展开式的通项公式为 .所以 展开式值的常数项为 .
15
【答案】1或
【解答过程】本题考查三角恒等变换.解答本题时要注意根据条件，利用二倍角公式及和差公式展开，计算得到的值，然后通过平方计算得到的值.
因为，所以有或.所以或，解得或.
16
【答案】
【解答过程】本题考查直线与圆的位置关系.解答本题时要注意根据直线与圆相切的关系，确定过切点的直线方程.已知圆心(1,0)，半径为1.圆心与点(3,1)的连线与A,B连线垂直.所以圆心与点(3,1)的连线的斜率为 ，所以直线AB的斜率为 .圆心与点(3,1)的中点在AB连线上，所以中点为 .所以直线 ,即为 .
17
【答案】10
【解答过程】本题考查平面向量的数量积.解答本题时要注意利用向量的投影建立方程，求解问题.因为 为 的外心, ，且 ，所以 .所以 .
18【解答过程】(1) ,
∵ ,∴ 的最大值为4.
当 ,即 时,函数 取得最大值,则此时 的集合为 ；
(2)由 得： ,即 ,
∴ ,又 ,∴ ,
∵ ,
由正弦定理 得 ,
又 即
∴
∵ ,
∴ ,∴ ,∴ ,
则 的取值范围为 .
【备注】本题考查三角函数的图象与性质及解三角形应用.解答本题时要注意(1)利用三角恒等变换，化简函数解析式，然后利用整体代换法求函数的最大值及最小值，并确定取到最值时的 的集合；(2)先计算得到角A的值，然后利用正弦定理建立边与角的联系，化边b,c为角B,C，最后根据三角恒等变换化简得到关于角B的式子，利用角B的范围确定范围.
19【解答过程】(Ⅰ)∵ ,当 时, ,
∴ ,
∴ ,即 ,
又 ,∴ ,∴ ,
∴ ,即 .
(Ⅱ)∵ ,∴ .
∴ .
.
.
【备注】本题考查等比数列及数列求和.解答本题时要注意(1)根据数列的递推关系式化简得到一阶递推数列，然后建立等比数列模型，化简得到数列 的通项公式；(2)先表示得到数列 的通项公式，然后根据通项公式确定采用错位相减法求数列的和.
20【解答过程】(Ⅰ)证明：由题意：∵ 且 ,
又 平面 得, ,
而 ,∴ 平面
(Ⅱ)(法一)延长 交于 点,过 作 ,垂足为 ,连 ,由(Ⅰ)及 知： 平面 ,
∴ 且 ,
所以 平面 ,即 .
所以 是面 与面 所成的二面角的平面角.
易知 ,所以 ,
∴ ,所以面 与面 所成二面角的余弦值为 .
【备注】本题考查直线与平面垂直的证明及求二面角的大小.解答本题时要注意(1)利用直线与平面垂直的判定定理，通过直线与直线垂直得到直线与平面垂直；(2)利用垂直关系确定二面角的平面角，然后利用解三角形原理，确定二面角的余弦值大小.
21【解答过程】(Ⅰ)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而 列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
由 列联表中数据代入公式计算,得：
因为 ,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.
(Ⅱ)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 ,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 ,由题意,
,从而 的分布列为：
0
1
2
3
.
【备注】本题考查统计案例及随机变量的期望值与方差.解答本题时要注意(1)利用题中所给的数据，计算得到相关数据，通过对比确定是否具有相关性；(2)根据条件确定随机变量所成分布列机器类型，并利用二项分布的计算公式求随机变量的期望值与方差.
22【解答过程】(Ⅰ)点 关于直线 的对称点 的坐标为 .
由 得 .
解得 ,故函数解析式为 .
(Ⅱ) ,
∵ .
当且仅当 即 时,“ ”成立,
而函数 在 上单调递增,则 ,
故当 时,函数 取得最小值,
【备注】本题考查对数型函数的图象与性质.解答本题时要注意(1)利用点在函数图象上建立方程组，通过解方程组确定参数的值，由此确定函数的解析式；(2)先得到函数 的解析式，然后将真数进行处理，得到基本不等式模型，然后利用基本不等式确定真数的最小值，由此得到函数的最小值.
23【解答过程】(1)将圆 配方得 ,
①当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为 ,由 ,解得 ,得 ,
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为 ,
由 ,得 ,即 ,或 ,
∴直线方程为 ,或 ,
综上,圆的切线方程为 ,或 ,或 ,或 .
(2)由 ,得 ,整理得 ,
即点 在直线 上,
当 取最小值时,即 取得最小值,直线 ,∴直线 的方程为 ,
解方程组 ,得点 的坐标为 .
【备注】本题考查直线与圆的位置关系.解答本题时要注意(1)根据条件设定圆的切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求得参数，确定直线方程；(2)根据 ，确定 ，根据 取最小值确定直线 的方程为 ,然后通过解方程组得到点 的坐标.
24【解答过程】(Ⅰ)抽取产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为
= + + + + + +
= + + + + + + =
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知 ,从而 ,
(ii)由(i)知,一件产品中质量指标值位于区间 的概率为 ,依题意知 ,所以 .
【备注】本题考查统计与概率.解答本题时要注意(1)根据题中所给的数据求得抽取产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 ；(2)利用正态分布原理求得满足条件的概率值；(3)利用二项分布原理求得期望值.
河北冀州中学
2016-2017学年高二年级上学期第三次月考理科数学答案
一、选择题
1-5:BBBCC 6-10:DDBCB 11、12、13：BDB
二、填空题
14. 15. 1或 16. 17.10
三、解答题
18.解：（1），
∵，∴，的最大值为4.
当，即时，函数取得最大值，则此时的集合为；
（2）由得：，即，
∴，，又，∴，
∵，，
∵，，
∴，∴，∴，
则的取值范围为.
19.解：（Ⅰ）∵，当时，，
∴，
∴，即，
又，，∴，∴，
∴，即.
（Ⅱ）∵，∴.
∴.
.
.
20.解：（Ⅰ）证明：由题意：∵且，，
又平面得，，
而，∴平面…………………………………………4分
（Ⅱ）（法一）延长，交于点，过作，垂足为，连，由（Ⅰ）及知：平面，
∴且，
所以平面，即.
所以是面与面所成的二面角的平面角.…………………………6分
易知，，所以，
∴，所以面与面所成二面角的余弦值为.
21.解析：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
由列联表中数据代入公式计算，得：
因为，所以，没有理由认为“体育迷”与性别有关.
（Ⅱ）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为，由题意，
，从而的分布列为：
0
1
2
3
，.
22.解：（Ⅰ）点关于直线的对称点的坐标为.……………………………………2分
由得.………………………………………………………………………4分
解得，，故函数解析式为.…………………………………………6分
（Ⅱ），…………8分
∵.
当且仅当即时，“”成立，…………………………………………10分
而函数在上单调递增，则，
故当时，函数取得最小值，………………………………………………………………12分
23.解：（1）将圆配方得，
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为，由，解得，得，
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为，
由，得，即，或，
∴直线方程为，或，
综上，圆的切线方程为，或，或，或.
（2）由，得，整理得，
即点在直线上，
当取最小值时，即取得最小值，直线，∴直线的方程为，
解方程组，得点的坐标为.
24.（Ⅰ）抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，从而,
(ii)由（i）知，一件产品中质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以.