【数学】河北省张家口市2020届高三下学期第二次模拟试题（理）（解析版） 22页

河北省张家口市2020届第二学期高三年级第二次模拟考试 数学试卷（理）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，则.‎ 故选：C.‎ ‎2.已知非零复数满足（其中是的共轭复数，是虚数单位），在复平面内对应点，则点的轨迹为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，‎ 所以，‎ 因为在复平面内对应点，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，‎ 因为非零复数，‎ 所以，‎ 故点的轨迹为，‎ 故选：B ‎3.若函数的部分图象如图所示，则函数可能为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图象可知函数为奇函数，且当时，.‎ 对于A选项，，该函数为偶函数，A选项不符；‎ 对于C选项，函数为偶函数，C选项不符；‎ 对于B选项，，该函数为奇函数，且当时，，，此时，合乎题意；‎ 对于D选项，函数为奇函数，当时，，D选项不符.‎ 故选：B.‎ ‎4.已知为等差数列的前项和，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等差数列的公差为，则，解得，‎ 因此，.‎ 故选：D.‎ ‎5.已知向量，的夹角为，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，故.‎ 故选：C.‎ ‎6.已知定义在上的函数满足对其定义域内任意、，都有成立，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得，‎ 构造函数，则，‎ 取，则，可得，‎ 令，所以，，即且，‎ 因此，.‎ 故选：A.‎ ‎7.今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”，某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低，则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】将身高从低到高9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，‎ 则9号必须排在正中间，从其余8个人中任选4人排在9号的左边，剩下的4个人排在9号的右边，有种，‎ 当排名第四的6号排在最高的9号的左边时，从1，2，3，4，5中任选3个排在6号的左边，其余四个排在9号的右边，有种，同理当当排名第四的6号排在最高的9号的右边时，也有10种，‎ 所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种，‎ 所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为.‎ 故选：A.‎ ‎8.已知直线与椭圆：交于两点，点，分别是椭圆的右焦点和右顶点，若，则（ ）‎ A. 4 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设椭圆的另一焦点为，连，直线过原点，‎ 所以坐标原点为中点，互相平分，‎ 所以四边形为平行四边形，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎9.为彻底打赢脱贫攻坚战，2020年春，某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富，若该农户计划种植冬瓜和茄子，总面积不超过15亩，帮扶资金不超过4万元，冬瓜每亩产量10 000斤，成本2000元，每斤售价0.5元，茄子每亩产量5000斤，成本3000元，每斤售价1.4元，则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为（ ）‎ A. 4万元 B. 5.5万元 C. 6.5万元 D. 10万元 ‎【答案】B ‎【解析】设种植冬瓜和茄子的种植面积分别为，亩，种植总利润为万元，‎ 由题意可知，‎ 总利润 作出约束条件如下图阴影部分：‎ ‎ ‎ 联立解得，‎ 平移直线，当过点时，一年的种植总利润为取最大值5.5万元，‎ 故选：B.‎ ‎10.如图所示，四边形是正方形，其内部8个圆的半径相等，且圆心都在正方形的对角线上，在正方形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设正方形的边长为1，圆的半径为r，‎ 因为圆心都在正方形的对角线上，‎ 如图所示：‎ ‎，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以阴影部分的面积为：，‎ 所以该点取自阴影部分的概率为.‎ 故选：A ‎11.已知双曲线:的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，过作与平行的直线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】不妨设，则，‎ 因为，，，‎ 联立，解得，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以，所以，所以，所以，‎ 所以离心率.‎ 故选：C.‎ ‎12.对于函数（为自然对数的底数，），函数，给出下列结论：‎ ‎①函数的图象在处的切线在轴的截距为 ‎②函数是奇函数，且在上单调递增；‎ ‎③函数存在唯一的极小值点，其中，且；‎ ‎④函数存在两个极小值点，和两个极大值点，且.‎ 其中所有正确结论的序号是（ ）‎ A. ①②③ B. ①④ C. ①③④ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①，，‎ 函数的图象在处的切线方程为，‎ 令，即所求的切线在轴上的截距为，‎ 所以①正确；‎ 对于②，，‎ 定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，所以②不正确；‎ 对于③，，当，‎ 当，设，‎ 时，为增函数，‎ 又恒成立，‎ 在上单调递增，‎ 即在上单调递增，‎ ‎，‎ ‎，所以存在唯一的，‎ 使得，当，‎ 所以时，取得极小值，所以③正确；‎ 对于④，，‎ 显然不是极值点，取的定义域为，‎ 此时为奇函数，‎ 为偶函数，‎ ‎，令，‎ 转化为求与在的交点，‎ 画出两函数图象，如下图所示，‎ 与在为奇函数，‎ 两函数图象有四个交点，与均关于原点对称，‎ 当时，，‎ ‎，‎ 所以时，取得极大值，时，取得极小值，‎ 当时，时偶函数，，‎ ‎，‎ 所以时，取得极大值，时，取得极小值，‎ 此时，所以④正确.‎ 故选：C.‎ 二填空题.‎ ‎13.如图，某班体重为‎70kg的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为，拉力大小均为，若使身体能向上移动，则拉力的最小整数值为______N．（取重力加速度大小为，）‎ ‎【答案】405‎ ‎【解析】设是两个拉力，合力为，由于，在菱形中知，所以，，所以的最小整数为405．‎ 故答案为：405．‎ ‎14.已知各项均为正数的数列的前项和为，若，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，‎ 代入，‎ 得：，‎ 即：，‎ 因为数列是正数数列，‎ 所以，‎ 所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎15.若函数在区间上恰好有一个零点，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，函数在区间，上有零点等价于方程在区间，上恰有一个根，函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点，‎ 函数关于对称，在上有最小值，时，，，‎ 函数，令，‎ 当时，由复合函数单调性知单调递减，当时，，‎ 所以函数和函数的图象在区间上无交点，‎ 当时，由复合函数单调性知单调递增，如图，‎ 由图可知，当，时，函数图象恰好有1个交点，‎ 此时，‎ 解得，‎ 因为在上单调递增，‎ 所以，即的最小值为，‎ 故答案为：‎ ‎16.已知直三棱柱的顶点都在球的表面上，四边形的面积为．若是等边三角形，则球体积的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示：‎ 因为三棱柱是正三棱柱，‎ 所以外接球的球心为上下底面中心连线的中点，‎ 设外接球的半径为R，底面边长为a，高为h，‎ 因为四边形的面积为．‎ 所以ah=，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时，取等号，‎ 所以，‎ 所以球体积最小值为.‎ 故答案为：‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题 ‎17.如图，在中，点在边上，，，.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的面积.‎ 解：（1）因为在中，，，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以.‎ 在中，，，，‎ 由正弦定理得，‎ 所以，‎ 解得.‎ ‎（2）在中，，，，‎ 出余弦定理得，‎ 所以，‎ 整理得，‎ 解得或（舍），所以.‎ ‎.‎ 即的面积为.‎ ‎18.已知四边形是梯形，如图，，，，为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（如图2），且 ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ 解：（1）连接，因为，，，为的中点，，所以四边形是边长为1的正方形，且.‎ 取的中点，连接，，，因为，所以，，，‎ 作于，则 因为，，，所以，故.‎ 因为，所以平面.‎ 因平面，所以平面平面.‎ ‎（2）由（1）知平面，.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 因为，所以，，，，，，‎ 设平面的一个法向量为，则得 即，令，则，，所以.‎ 因为，设与平面所成的角为，‎ 则，‎ 即与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19.已知抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于，两点.‎ ‎（1）若，求直线的方程；‎ ‎（2）过点作直线交抛物线于，两点，若线段，的中点分别为，，直线与轴的交点为，求点到直线与距离和的最大值.‎ 解：（1）由已知得，‎ 直线:与联立消，得.‎ 设，，则，.‎ 由，得，‎ 即，得，‎ 所以或.‎ 所以直线的方程为或；‎ ‎（2）由（1）知，所以，所以.‎ 因为直线过点且，所以用替换得.‎ 当时，:，‎ 整理化简得，‎ 所以当时，直线过定点（3，0）；‎ 当时，直线的方程为，过点（3，0）.‎ 所以点的坐标为（3，0）‎ 设点到直线和的距离分别为，，由，，得.‎ 因为，所以，当且仅当时，等号成立,‎ 所以点到直线和的距离和的最大值为.‎ ‎20.某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩，得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）估计这100位学生的数学成绩的平均值.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）根据整个年级的数学成绩，可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布经计算，（1）问中样本标准差的近似值为10．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率.‎ 参考数据:若随机变量，则，，‎ ‎（3）该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中“玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少领取老师相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第格的概率为，试证明是等比数列，并求的值.（获胜的概率）‎ 解：（1）‎ ‎（2）由，所以，‎ ‎.‎ ‎（3）小兔子开始在第1格，为必然事件，，‎ 点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为，即，‎ 小兔子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种情况.‎ ‎①小兔子先跳到第格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为；‎ ‎②小兔了先跳到第格，乂点一下开始按钮跳了1格，其概率为；‎ 因为，所以.‎ 所以当时，‎ 数列是以为首项，以为公比的等比数列，‎ 所以，‎ ‎.‎ 所以获胜的概率.‎ ‎21.已知函数（自然对数的底数）有两个零点.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若的两个零点分别为，证明：.‎ 解：（1）有两个零点，等价于有两个零点，令，则在时恒成立，所以在时单调递增，‎ 所以有两个零点，等价于有两个零点.‎ 因为所以 ‎①当时，，单调递增，不可能有两个零点；‎ ‎②当时，令，得，单调递增；令，得，单调递减.‎ 所以.‎ 若，得，此时恒成立，没有零点；‎ 若，得，此时有一个零点；‎ 若，得，因为，且，，所以在，上各存在一个零点，符合题意.‎ 综上，当时，函数有两个零点，‎ 即若函数有两个零点，则的取值范围为.‎ ‎（2）要证，只需证，即证，‎ 由（1）知，，所以只需证.‎ 因为，，所以，，‎ 所以，只需证.‎ 设，令，则，所以只需证，即证.‎ 令，，则，.‎ 即当时，成立.‎ 所以，即，‎ 即.‎ ‎（二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答.‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线:，点的极坐标为，圆的圆心在极轴上，且过，两点.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线，分别交于异于原点的点，，求线段的中点的直角坐标方程.‎ 解：（1）设圆的直径长为，因为点的极坐标为，的圆心在极轴上，且过，两点，所以，解得，所以圆的极坐标方程为.‎ ‎（2）由已知得直线的极坐标方程为，设，，，‎ 则，，，‎ 因为，所以点的极坐标方程为.‎ 因为，，，所以，‎ 即.‎ 即线段的中点的直角坐标方程为.‎ ‎ [选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.已知，，均正实数，且，证明：‎ ‎（1）‎ ‎（2）.‎ 解：（1）因为，，均为正实数，且，‎ 所以，，均为正数.‎ 所以 ‎.‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ ‎（2）因为，，均为正实数，且，所以，‎ 所以，即，当且仅当时，等号成立.‎ 因为.‎ 所以.‎ 当且仅当时，等号成立.‎