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- 2021-04-25 发布
专题11 零点、根、交点教你如何转化
考纲要求:
1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点．
2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．
基础知识回顾:
一、方程的根与函数的零点
（1）定义：对于函数（，把使成立的实数叫做函数（的零点。函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距、极值点等。
（2）函数零点的意义：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图像与轴的交点的横坐标，即：方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点。
（3）零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在使得，这个也就是方程的根。
函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有是函数在区间内至少有一个零点的一个充分不必要条件。
【注】零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决。
二、二分法
（1）二分法及步骤
对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。
（2）给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
第一步：确定区间，验证，给定精确度。
第二步：求区间的中点。
第三步：计算：①若=0，则就是函数的零点；②若，则令（此时零点）③若，则令（此时零点）
第四步：判断是否达到精确度即若，则得到零点值或，否则重复第二至第四步。
三、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零点的分布
根的分布(m＜n
＜p为常数)
图象
满足条件
x1＜x2＜m
m＜x1＜x2
x1＜m＜x2
f(m)＜0
m＜x1＜x2＜n
m＜x1＜
n＜x2＜p
只有一根在
(m，n)之间
或f(m)·f(n)＜0
【注】y＝ax2＋bx＋c(a<0)的零点分布请自己类比。
应用举例:
类型一、判断函数的零点的个数
【例1】函数， ，则函数的零点个数是（）
A.2B.3C.4D.0
【答案】A
点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【例2】已知偶函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（）
A.8B.7C.6D.5
【答案】B
【解析】由题意可得f(x)对称轴,x=0,所以周期为,
由图可知,在上有两个根,其中一个为x=0,根据周期性可知,上各有一个零点,所有共7个零点.选B.
【点睛】
对于函数零点问题,我们一般先找到己知函数区间上的零点个数,再根据对称性和周期性求出其它区间上的零点数,特别要注意每段区间端点的零个数,需不重不漏.
【例3】已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．2 B．3C．4D．5
【答案】A
点评：判断函数零点个数的3种方法
(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
类型二、函数的零点所在区间的判定
【例4】函数的零点所在的区间（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，，根据函数零点的判定定理，故选C．
【例5】函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
【答案】2
点评：确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法：
(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，如“题组练透”第1题．
(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点．
类型三、函数的零点、方程的根与函数图象的交点三者之间的互相转化
【例6】【2017江西省新余市第一中学高三开学考试】已知定义域为的函数满足以下条件：①；②；③当时,.若方程在上至少有个不等的实根,则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【名师点睛】在解决函数的零点或方程的根等问题时，一般把方程的根的个数转化为两函数图象的交点问题，其中一个函数要求是确定的函数，参数只在其中一个函数中出现，且随参数的变化，函数的图象变化规律易找，如能转化为直线与函数的交点更好，象本题函数是确定的，函数变化规律也易知，这样就容易得出结论．
【例7】【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】函数其中，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
由题设问题转化为有六个不等实数根，由于函数的零点是
，所以或。
点睛：解答本题的关键关节有两个：其一是将函数的零点问题进行等价转化；其二是要巧妙运用数形结合思想建立不等式组。求解时还要综合运用导数知识确定函数的极值点和极值。
灵活运用所学知识和重要是数学思想进行分析问题和解决问题是本题一大特征，体现了数学思想在解决数学问题中四两拨千斤的功能。
【例8】设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为( )
A.B．[－1,0]C．(－∞，－2]D.
【答案】A
【解析】令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－3x＋4－(2x＋m)＝x2－5x＋4－m，则由题意知F(x)＝0在[0,3]上有两个不同的实数根，因而，即，解之得－