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- 2021-04-25 发布
数学试卷
一、选择题：（每题5分，共60分）
1.已知圆C的圆心是直线x -y +1＝0与y轴的交点，且圆C与直线x +y +3＝0
相切，则圆的标准方程为（ ）
A.（x-1）2+（y+1）2=8 B. x2+(y+1)2=2
C. x2+(y-1)2=8 D. x2+(y-1)2=2
2.掷一枚均匀的硬币3次，出现正面向上的次数恰好为两次的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.某程序框图如图所示，若输出的结果是126，
则判断框中可以是( )
A.i≥6？ B. i＞7？ C. i＞6 ？ D.i≥5？
4.由直线y＝x＋1上的一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，
则切线长的最小值为( )
A. B. C. 1 D. 3
5.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么
互斥而不对立的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球与都是黑球” B.“至少有一个黑球与至少有一个红球”
C.“恰好有一个黑球与恰好有两个黑球” D.“至少有一个黑球与都是红球”
6.直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
7.如表提供的是两个具有线性相关的数据，现求得回归方程为=0.7x + 0.35，
则t等于（ ）A.4.5 B. 3.5 C. 3.15 D. 3
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
8.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图，估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）
A. 73.3,75,72 B. 72,75,73.3
C. 75,72,73.3 D. 75,73.3,72
10.知正方体的各顶点都在球O
表面上，在球O内任取一点M，则点M在正方
体内的概率是（ ）
A. B. C. D.
11.圆C1：（x-1）2+（y-3）2=9和C2：x2+（y-2）2=1，M，N分别是圆C1，C2上的点，P是直线y =-1上的点，则|PM|+|PN|的最小值是（ ）
A. B. C. D.
12.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第Ⅰ营区，从201到500住在第Ⅱ营区，从501到600住在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）
A. 16,26,8 B. 17,24,9 C. 16,25,9 D. 17,25,8
二．填空题（每题5分，共20分）
13.圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的长为______．
14.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
15.已知点O（0，0），A（-2，2），点M是圆（x－3）2+（y－1）2=2上的动点，
则△OAM面积的最大值为______．
16.过点P(1，)作圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．
三．解答题（17题10分，18、19、20、21、22每题12分，共70分）
17.某小卖部为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数
y与当天气温（平均温度）x/°C的对比表：
x
0
1
3
4
y
140
136
129
125
（1）请在图中画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法
求出y关于x的线性回归方程 ；
（3）如果某天的气温是5°C，试根据（2）求出的线性回归方程预测这天大约可以卖出的热饮杯数．
参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：，
参考数据：0×140+1×136+3×129+4×125=1023，（140+136+129+125）÷4=132.5．
18.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次。得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图．
（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为选派哪位学生去参加更合适？请说明理由；
（2）求在甲同学的8次预赛成绩中，从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于85分的概率．
19.已知圆C：x2+y2-8y +14=0，直线l过点（1，1）
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）当l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|=2时，求直线l的方程．
20.某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．
组号
分组
频数
频率
第1组
[160，165）
5
0.050
第2组
[165，170）
①
0.350
第3组
[170，175）
30
②
第4组
[175，180）
20
0.200
第5组
[180，185）
10
0.100
合计
100
1.00
（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．
21.设有关于x的一元二次方程．
(1)若a是从0，1，2三个数中任取的一个数，b是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间 任取的一个数，b是从区间 任取的一个数，求上述方程有实数的概率．
22.已知圆N经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上．
(1)求圆N的方程；
(2)求圆N关于直线x－y +3=0对称的圆的方程．
(3)若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．
答案和解析
1.C 2.B 3.C 4.A 5.C 6.A 7.D 8.D 9.B 10.D 11.A 12.D
13.2 14.01 15.6 16.
17.解：（1）根据表中数据，画出散点图，如图所示；
（2）计算=×（0+1+3+4）=2，
=×（140+136+129+125）=132.5，
又xiyi=1023，=26，
∴==-3.7，=-=132.5-（-3.7）×2=139.9，
故所求线性回归方程为=-3.7x+139.9；
（3）当x=5时，=-3.7×5+139.9=121.4≈121；预测这天大约可以卖出121杯热饮.
18.解：（Ⅰ）派甲参加比较合适，理由如下：
=（70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3）=85，
=（70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5）=85，
==35.5，
=
=41，
∵=，＜，故甲的成绩比较稳定，
（Ⅱ）从不小于80分的成绩中抽取2个成绩，
所有结果为（81，82），（81，84），（81，88），（81，93），
（81，95），（82，84），（82，88），（82，93），（82，95），（84，88），（84，93），（84，95），（88，93），（88，95），（93，95），共15个，
其中，满足2个成绩均大于85分的有（88，93），（88，95），（93，95）共3个，
故，所求的概率是=．
19.解：（1）圆C：x2+y2-8y+14=0，配方，得x2+（y-4）2=2，圆心C（0，4），半径，
①当直线l的斜率不存在时，l：x=1，此时l不与圆相切，
②若直线l的斜率存在，设l：y-1=k（x-1），由得k=7或-1，
所以直线方程为7x-y-6=0或x+y-2=0；
（2）由，得d=1，
①若当直线l的斜率不存在时，l：x=1，满足题意，
②若直线l的斜率存在，设l：y-1=k（x-1）由，
得，此时l：4x+3y-7=0，综上所述l方程为x=1或4x+3y-7=0.
20.解：（1）①由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，
②第3组的频率为=0.300，频率分布直方图如图所示
（2）因为第3、4、5组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第3组：×6=3人， 第4组：×6=2人， 第5组：×6=1
人，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．
（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，
则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），
（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），
其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有9，分别为：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），
∴第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为=．
21.解：设事件A为“方程有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程有实根的充要条件为，即a≥b，
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：
（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）（1，0）（1，1）（1，2）（1，3）（2，0）（2，1）（2，2）（2，3）
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含6个基本事件，
∴事件A发生的概率为P==；
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}
满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≥b}
∴所求的概率是=．
22.解：（Ⅰ）由已知可设圆心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，
从而有,解得：a=2，
于是圆N的圆心N（2，4），半径，
所以，圆N的方程为；
（Ⅱ）N（2，4）关于x-y+3=0的对称点为（1，5），
所以圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程为;
（Ⅲ）设M（x，y），，则由C（3，0）及M为线段CD的中点得：
，解得：．
又点D在圆N：上，
所以有，
化简得：．
故所求的轨迹方程为．