2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十） 5页

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十）‎ ‎17．（本小题满分12分）在中，，，分别是内角，，的对边，且，．‎ ‎（1）求边的值；‎ ‎（2）求的周长的最大值．‎ ‎【答案】（1）由得．‎ ‎∴，即．‎ 由正弦定理得，故．‎ ‎（2）由余弦定理得，．‎ ‎∴，∴．‎ 所以当时，的周长的最大值为．‎ ‎18．（本小题满分12分）2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立．‎ ‎（1）求该学生进入省队的概率．‎ ‎（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为，求的分布列及的数学期望．‎ ‎【答案】（1）记“该生进入省队”的事件为事件，其对立事件为，‎ 则．‎ ‎∴．‎ ‎（2）该生参加竞赛次数的可能取值为2，3，4，5．‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎．‎ 故的分布列为：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，过作平面与直线平行，交于．‎ ‎（1）求证：为的中点；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明：连结，设，连接，则为的中点，且面面，‎ ‎∵平面，∴，∴为的中点．‎ ‎（2）∵，∴底面，∴．‎ 又∵，，∴平面．‎ 过点作的垂线，交于，连接．‎ ‎∵，∴，∴为所求的平面角．‎ ‎，∴，又，∴．‎ ‎∴，∴二面角的余弦值为．‎ ‎20．（本小题满分12分）椭圆的右焦点为，过作圆的切线交轴于点，切点为线段的中点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）曲线与椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上，求此圆的圆心坐标．‎ ‎【答案】（1）由已知得，且，∴，∴．‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）由曲线知曲线的图象关于轴对称，‎ 又椭圆的图象也是关于轴对称，所以圆心在轴上，‎ 设圆心为，曲线与椭圆在一、四象限交于，‎ 两点，则，．‎ 把代入得，∴，‎ 又由得，‎ 即，‎ ‎∵，∴，∴．‎ 所以此圆的圆心坐标为．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数，其中．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）证明：对任意时，．‎ ‎【答案】（1），，‎ ‎①若，当时，，当时，．‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎②若，当时，，当或时，，‎ 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；‎ ‎（2）证明：当时，由（1）知在处取得最小值，‎ ‎∴，即，‎ 当时，恒有．‎