2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 理科数学 11页

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ 数 学（理科）‎ 本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．‎ 满分150分，考试时间120分钟．‎ 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．‎ 第Ⅰ卷（共50分）‎ 注意事项：‎ 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．‎ 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ 其中表示球的半径 如果事件相互独立，那么 球的体积公式 ‎ 其中表示球的半径 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么次独立重复试验中恰好发生 次的概率：‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 1．已知是实数，是纯虚数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 2．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 3．已知都是实数，那么“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在的展开式中，含的项的系数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 5．在同一平面直角坐标系中，函数（）的图象和直线的交点个数是（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．4‎ ‎6．已知是等比数列，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为，则双曲线的离心率是（ ）‎ A．3 B．‎5 ‎ C． D．‎ ‎8．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 10．如图，是平面的斜线段，为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是（ ）‎ A B P ‎（第10题）‎ A．圆 B．椭圆 ‎ C．一条直线 D．两条平行直线 第Ⅱ卷（共100分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．‎ ‎ 2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．‎ ‎11．已知，若平面内三点共线，则 ．‎ ‎12．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则 ．‎ A B C D ‎（第14题）‎ ‎13．在中，角所对的边分别为．若，则 ．‎ ‎14．如图，已知球的面上四点，‎ 平面，，，‎ 则球的体积等于 ．‎ ‎15．已知为常数，函数在区间上的最大值为2，则 ．‎ ‎16．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）‎ ‎17．若，且当时，恒有，则以为坐标的点所形成的平面区域的面积等于 ．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ D A B E F C ‎（第18题）‎ ‎18．（本题14分）如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当的长为何值时，二面角的大小为？‎ ‎19．（本题14分）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．‎ ‎（Ⅰ）若袋中共有10个球，‎ ‎（ⅰ）求白球的个数；‎ ‎（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望．‎ ‎（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．‎ ‎20．（本题15分） 已知曲线是到点和到直线距离相等的点的轨迹．‎ A B O Q y x l M ‎（第20题）‎ 是过点的直线，是上（不在上）的动点；在上，，轴（如图）．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求出直线的方程，使得为常数．‎ ‎21．（本题15分）已知是实数，函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设为在区间上的最小值．‎ ‎（ⅰ）写出的表达式；‎ ‎（ⅱ）求的取值范围，使得．‎ ‎22．（本题14分）已知数列，，，．‎ 记：，．‎ 求证：当时，‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）；‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ 数 学（理科）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分 ‎1．A　　2．D　　3．D　　4．A　　5．C　　‎ ‎6．C　　7．D　　8．B　　9．C　　10．B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．‎ ‎11．　　12．　　13．　　14． 15．1　　16．40　　17．1‎ 三、解答题 ‎18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分．‎ 方法一：‎ D A B E F C H G ‎（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，‎ 可得四边形为矩形，‎ 又为矩形，‎ 所以，从而四边形为平行四边形，‎ 故．‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．‎ 由平面平面，，得 平面，‎ 从而．‎ 所以为二面角的平面角．‎ 在中，因为，，所以，．‎ D A B E F C y z x 又因为，所以，‎ 从而．‎ 于是．‎ 因为，‎ 所以当为时，二面角的大小为．‎ 方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．‎ 设，‎ 则，，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：，，，‎ 所以，，从而，，‎ 所以平面．‎ 因为平面，‎ 所以平面平面．‎ 故平面．‎ ‎（Ⅱ）解：因为，，‎ 所以，，从而 解得．‎ 所以，．‎ 设与平面垂直，‎ 则，，‎ 解得．‎ 又因为平面，，‎ 所以，‎ 得到．‎ 所以当为时，二面角的大小为．‎ ‎19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则，‎ 得到．‎ 故白球有5个．‎ ‎（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望 ‎．‎ ‎（Ⅱ）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，‎ 所以，，故．‎ 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则 ‎．‎ 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．‎ 故袋中红球个数最少．‎ ‎20．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．‎ ‎（Ⅰ）解：设为上的点，则 ‎，‎ 到直线的距离为．‎ 由题设得．‎ A B O Q y x l M 化简，得曲线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）解法一：‎ 设，直线，则 ‎，从而．‎ 在中，因为 ‎，‎ ‎．‎ 所以 .‎ ‎，‎ ‎．‎ 当时，，‎ 从而所求直线方程为．‎ 解法二：设，直线，则，从而 ‎．‎ 过垂直于的直线．‎ A B O Q y x l M H l1‎ 因为，所以，‎ ‎．‎ 当时，，‎ 从而所求直线方程为．‎ ‎21．本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分．‎ ‎（Ⅰ）解：函数的定义域为，‎ ‎（）．‎ 若，则，‎ 有单调递增区间．‎ 若，令，得，‎ 当时，，‎ 当时，．‎ 有单调递减区间，单调递增区间．‎ ‎（Ⅱ）解：（i）若，在上单调递增，‎ 所以．‎ 若，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以．‎ 若，在上单调递减，‎ 所以．‎ 综上所述， ‎ ‎（ii）令．‎ 若，无解．‎ 若，解得．‎ 若，解得．‎ 故的取值范围为．‎ ‎22．本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．‎ ‎①当时，因为是方程的正根，所以．‎ ‎②假设当时，，‎ 因为 ‎ ，‎ 所以．‎ 即当时，也成立．‎ 根据①和②，可知对任何都成立．‎ ‎（Ⅱ）证明：由，（），‎ 得．‎ 因为，所以．‎ 由及得，‎ 所以．‎ ‎（Ⅲ）证明：由，得 所以，‎ 于是，‎ 故当时，，‎ 又因为，‎ 所以．‎