2018届二轮复习一道数列存在性问题的分析与解学案（江苏专用） 2页

一道数列存在性问题的分析与解 ‎1.问题呈现 题目：已知正项数列的前项和为，且 .‎ ‎（1）求的值及数列的通项公式； ‎ ‎（2）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎2.分析与解 分析：第（1）问根据数列通项很容易求出；关键是第（2）问中根据第（1）问的结论，可得，则可考虑分离参数，令则需要分析的单调性以确定的最值.最后，需要考虑为奇数和偶数进行分类讨论.‎ 解（1）由. ‎ 当时，，解得或（舍去）．‎ 当时，‎ 由，‎ ‎∵，∴，则， ‎ ‎∴是首项为2，公差为2的等差数列，故． ‎ ‎（2）由，得，‎ 设，则不等式等价于. ‎ ‎，‎ ‎ ∵，∴，数列单调递增. ‎ 假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 ‎① 当为奇数时，得； ‎ ‎② 当为偶数时，得，即.‎ 综上，，由是非零整数，知存在满足条件． ‎ ‎3.题后反思 ‎ 针对这类数列的存在性问题，往往需要进行分类参数并构造数列，判断数列的单调性可用比商法或作差法，题目中出现三角函数往往要考虑其周期性，涉及往往需要对为奇数和偶数进行分类讨论.‎