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- 2021-04-25 发布
综合题（提高）
1. 【解答题】如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．
1小题1.求证：BF=BC．
答案：
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，
∴∠CDB+∠DBC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DBC+∠ECB=90°，
∴∠ECB=∠CDB．
∵∠CFB=∠CDB+∠DCF，∠BCF=∠ECB+∠ECF，∠DCF=∠ECF，
∴∠CFB=∠BCF，
∴BF=BC．
2小题2.若AB=4 cm，AD=3 cm，求CF的长．
答案：
解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=4，BC=AD=3．
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD==5．
又∵BD·CE=BC·DC，
∴CE=．
∴BE=．
8
∴EF=BF-BE=3-=．
∴CF= cm．
解析(1)要求证：BF=BC只要证明∠CFB=∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE=∠CDB就可以；
(2)已知AB=4 cm，AD=3 cm，就是已知BC=BF=3 cm，CD=4 cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于BD·CE=BC·DC，就可以求出CE的长．要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF=BF-BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题．
2. 【解答题】计算：
1小题1.．
答案：
解：原式＝6-5+3=4．
2小题2.．
答案：
解：原式＝3-4×+2+
＝3-2+2+
=+2+．
解析(1)根据二次根式的性质化简各二次根式，再计算加减可得；
(2)先化简各二次根式，再合并同类二次根式可得．
8
3. 【解答题】如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．
1小题1.求证：四边形ADCE是矩形．
答案：
证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
又∵AB=AC，
∴DE=AC．
∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠ADC=90°，
又∵D为BC中点，
∴CD=BD．
∴CD∥AE，CD=AE．
∴四边形AECD是平行四边形，
又∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
2小题2.若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．
答案：
8
解：∵四边形ADCE是矩形，
∴AO=EO，∵∠AOE=60°
∴△AOE为等边三角形，
∴AO=AE=2，
∴AC=2OA=4．
解析(1)根据四边形ABDE是平行四边形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四边形ADCE是矩形．
(2)根据∠AOE=60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长．
4. 【解答题】如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：
小题1.在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数．
答案：
解：如图1所示：
∵=5，
∴△ABC即为所求，
8
小题2.在图②中，画一个三边长分别为3，2，的三角形，一共可画这样的三角形____个．
答案：
16
解析(1)画一个边长3，4，5的三角形即可；
(2)如图2所示：
∵=2，=，
∴△ABC，△DBC，…，
都是符合条件的三角形，一共可画这样的三角形16个．
故答案为：16．
5. 【解答题】小明根据学习函数的经验，对y=x+的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
小题1.函数y=x+的自变量x的取值范围是____．
答案：
x≠0
小题2.下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=____，n=____．
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x
…
-3
-2
-1
-
-
1
2
3
4
…
y
…
-
-
-2
-
-
m
2
n
…
答案：(1) (2)
小题3.如图．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．
答案：
解：
小题4.结合函数的图象．请完成：
①当y=-时，x=____．
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②写出该函数的一条性质____．
③若方程x+=t有两个不相等的实数根，则t的取值范围是____．
答案：(1) -4或-(2) 函数图象在第一、三象限且关于原点对称(3) t<-2或t>2
解析(1)∵x在分母上，∴x≠0．
故答案为：x≠0．
(2)当x=时，y=x+=；
当x=3时，y=x+=．
故答案为：；．
(3)连点成线，画出函数图象．
(4)①当y=-时，有x+=-，
解得：x1=-4，x2=-．
故答案为：-4或-．
②观察函数图象，可知：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
故答案为：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
③结合函数的图象，当x+=t有两个不相等的实数根时，
∴t<-2或t>2．
故答案为：t<-2或t>2．
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