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- 2021-04-25 发布
武邑中学2018-2019学年高三下学期第一次质量检测
数学（文）试题
全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数z满足z（1－i）＝|1+i|，则复数z的虚部是
A．1 B．－1 C． D．
3. “a＝－2”是“直线l1：ax－y+3＝0与l2：2x－（a+1）y+4＝0互相平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若从集合中随机取一个数，从集合中随机取一个数，则直线一定经过第四象限的概率为( )
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A．在单调递减 B．的图象关于对称
C．在上的最大值为3 D．的图象的一条对称轴为
6. 设，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
7. 已知实数满足约束条件 ，且的最小值为，则的值为
A． B．
C． D．
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
A． B．
C． D．
9.下面几个命题中，假命题是（ ）
A. “若，则”的否命题
B. “，函数在定义域内单调递增”的否定
C. “是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”
D. “”是“”的必要条件
10.若，则等于（ ）
A. B. C. 2 D.
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线与双曲线的斜率为正的渐近线交于点，曲线的左、右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． 或 B． C． D．
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是__________________.
14.面积为S的三角形ABC中，在边AB上有一点P ,使三角形PBC的面积大于的概率为__________.
15.正项数列满足,又是以为公比的等比数列,则使得不等式成立的最小整数为__________.
16.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，，射线，分别交抛物线于异于点的点，，若，，三点共线，则__________．
三、解答题(共6小题 ,共70分)
17. （本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2acos C＋bcos C＋ccos B＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求c的大小．
18. （本小题满分12分）已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求； （2）设数列的前n项和为，求证：．来源:学科网]
19. （本小题满分12分）某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：
微信控
非微信控
合计
男性
26
24
50
女性
30
20
50
合计
56
44
100
(1)根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；
(3)从(2)中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.
参考数据：
0.10
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考公式：，
其中.
20. （本小题满分12分）设椭圆，定义椭圆C的“相关圆”方程为．若抛物线的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．
(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；
(2)过“相关圆”E上任意一点P的直线l：与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点，若，证明原点O到直线AB的距离是定值，并求m的取值范围。
21. （本小题满分12分）已知函数，
（Ⅰ）若，且是函数的一个极值，求函数的最小值；
（Ⅱ）若，求证：，.
22. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|
（Ⅰ）解不等式f（x）≥﹣2；
（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1. C 2. C 3.A 4. D 5. B 6. A 7. D 8. D 9. D 10. B 11. A 12. D
13. 14. 15. 6 16.
17．【解析】(1)在△ABC中，因为2acos C＋bcos C＋ccos B＝0，
所以由正弦定理可得：2sin Acos C＋sin Bcos C＋sin Ccos B＝0，
所以2sin Acos C＋sin(B＋C)＝0，又△ABC中，sin(B＋C)＝sin A≠0，所以cos C＝－.
因为0＜C＜π，所以C＝.
(2)由S＝absin C＝，a＝2，C＝，得b＝1.
由余弦定理得c2＝4＋1－2×2×1×＝7，所以c＝.
18. 解：（1）设公差为d，由题解得，．
所以．
（2） 由（1），，则有．
则．
所以
．
19. 解（1）由列联表可得：
，····3分
所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．···········4分
（2）根据题意所抽取的位女性中，“微信控”有人，“非微信控”有人····6分．
（3）抽取的位女性中，“微信控”人分别记为，，；“非微信控”人分别记为，．
则再从中随机抽取人构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共有种；···········9分
抽取人中恰有人为“微信控”所含基本事件为：，，，，，，共有种，···········11分
所求为．···········12分
20.解：（1）因为若抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以，又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以，
故椭圆的方程为，“相关圆”的方程为 ………4分
（2）设，
联立方程组得，
，
即 ……………………6分
，，
由条件得, ………………………………8分
所以原点到直线的距离是，
由得为定值
……10分
由，即，即
又，即，所以，即或
或 ……………………………12分
21.分析：（I）由函数的解析式可得．结合，可得， 利用导函数研究函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为．
（II ）若，则，，
由在上单调递增，分类讨论：
①当在上单调递增时，；
②当在上单调递减时，；
③当在上先减后增时， ，， ，
综上①②③得：，．
详解：（I），定义域为，
．
由题意知，即，解得，
所以，，
又、、（）在上单调递增，
可知在上单调递增，又，
所以当时，；当时，．
得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为．
（II ）若，得，
由在上单调递增，可知在上的单调性有如下三种情形：
①当在上单调递增时，
可知，即，即，解得，
，令，则，
所以单调递增，，所以；
②当在上单调递减时，
可知，即，即，解得，
得，所以；
[或：令，则，
所以单调递减，，所以；]
③当在上先减后增时，得在上先负后正，
所以，，即，取对数得，
可知 ，
所以；
综上①②③得：，．
22. 解：（Ⅰ）f（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，
当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；
当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；
当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；
综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6} …（5分）
（Ⅱ），
函数f（x）的图象如图所示：
令y＝x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a＝2；
∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…（8分）
当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4＝x﹣a，得x＝2+，
∴a≥2+，即a≥4时成立，
综上a≤﹣2或a≥4．…（10分）
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