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- 2021-04-25 发布
永春一中高二年下学期3月月考数学(文)科试卷（2019.03）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
本试卷分第I卷和第II卷两部分
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。
1．不等式组的解集为 ( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
2．曲线的参数方程为(是参数)，则曲线是 ( )
A.线段 B.射线 C.双曲线的一支 D.圆
3. 对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中正确的有 ( )
①若ac2>bc2，则a>b； ②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；
③若a>b，c>d，则ac>bd； ④若a>b，则.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. 对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．不等式|x－3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ( )
A．(－∞，－2]∪[5，＋∞) B．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
C．[1，2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
6．在极坐标系中，点 到直线的距离是 ( )
A. 1 B. 2 C. D.
7. 已知a>0，b>0，下列四个不等式中，所有正确的序号是 ( )
①；②；③；④.
A．② B．②③ C．①②③ D．①②③④
8． 函数,为的导函数, 若, 则( )
A．3 B．-3 C．-2 D．2
9．已知动圆：，
则圆心的轨迹是 ( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线的一部分
10．点在椭圆上，则的最大值为 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
11．已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，
点是内切圆的圆心，过作于，是坐标原点，则
的取值范围为 ( )
A . B. C. D.
12．已知函数对任意的满足
（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是 ( )
A． B．
C. D．
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上。
13. 已知关于的不等式的解集为,则 ．
14. 在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则 ．
15. 已知，若不等式恒成立，则的最大值为 ．
16. 若函数在上仅有一个零点，则 ．
第II卷（非选择题，共90分）
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
请在答题卡各自题目的答题区域内作答。
17. (本小题满分10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设的最小值为，若的解集包含，求实数的取值范围.
18． (本小题满分12分）
已知函数，。
（1）当时，解不等式；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
19. (本小题满分12分）
在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求直线的极坐标方程和曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，
射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.
20．(本小题满分12分）
曲线C的极坐标方程为，过点M(1，0)的直线l的参数方程为
(为参数，为直线l的倾斜角)，直线l与曲线C相交于A、B两点．
（1）求证：|MA|·|MB|为定值；
（2）D是曲线C上一点，当α＝45°时，求△DAB面积的最大值．
21. (本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，
试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论．
22. (本小题满分12分）
设函数，.
（1）关于的方程在区间上有解,求的取值范围；
（2）当时，恒成立,求实数的取值范围.
永春一中高二年下学期月考数学(文)科试卷（2019.03）
参考答案
一、选择题：（每题5分，满分60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
B
B
A
D
A
C
D
B
D
二、填空题：（每题5分，满分20分）
13．3 ； 14．2 ； 15．16； 16． ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17. (本小题满分10分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设的最小值为，若的解集包含，求实数的取值范围.
解：（1），
∴当时，，，解得；
当时，得2＞2，无解；
当x≥4时，得，解得．
所以不等式的解集为． ……………5分
（2）∵，∴，
∵的解集包含， ∴对恒成立，
又当时，取最大值. ∴，
故的取值范围为． ……………10分
18． (本小题满分12分）已知函数，。
（1）当时，解不等式；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
解：(Ⅰ）当时，由得，
两边平方整理得， 解得
∴原不等式的解集为 ……………6分
（Ⅱ）由 得，令 ，
即 ， 故 ，
故 所求实数的范围为 ……………12分
19. (本小题满分12分）在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求直线的极坐标方程和曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线
与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.
解：（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，
曲线的普通方程为，极坐标方程为. ……………6分
（Ⅱ）依题意，∵，∴，
，
，∴，，
∴，. ……………12分
20．(本小题满分12分）曲线C的极坐标方程为，过点M(1，0)的直线l的参数方程为 (为参数，为直线l的倾斜角)，直线l与曲线C相交于A、B两点．
(1)求证：|MA|·|MB|为定值；
(2)D是曲线C上一点，当α＝45°时，求△DAB面积的最大值．
解： (1)证明：C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋4y＝0.①
将直线l：(t为参数)代入①得t2＋(4sin α)t－1＝0.②
，设 A、B两点对应的参数为t1，t2， t1t2＝－1，
所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝|－1|＝1.
即|MA|·|MB|为定值1. ……………6分
(2)当α＝45°时，代入②式即为t2＋2t－1＝0，
t1＋t2＝－2，t1t2＝－1，
所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝2.
由①得(x－1)2＋(y＋2)2＝5，
所以曲线C的参数方程为(r为参数)．
可设D点的坐标为(1＋cos r，－2＋sin r)，直线l的普通方程为x－y－1＝0，
D到l的距离d＝＝，
当时， dmax＝＋，
所以△DAB面积的最大值为Smax＝|AB|·dmax＝×2(＋)＝＋. ……12分
21. (本小题满分12分）在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论．
解：（Ⅰ）由题意可得，所以，即，
即，即动点的轨迹的方程为；……………4分
（Ⅱ）依题意直线斜率存在， 设直线的方程为,
， 则．
由消整理得，则，即．
． ………8分
直线，，
，
， 即，
所以直线恒过定点． ……………12分
22、(本小题满分12分）设函数，.
（1）关于的方程在区间上有解,求的取值范围；
（2）当时，恒成立,求实数的取值范围.
解：（1）方程即为,
令， 则．
∴当时，随变化情况如下表：
1
3
+
0
-
↗
极大值
↘
∵，，.
∴当时，，
∴的取值范围为 ..........6分
（2）依题意，当时，恒成立,
令,
则
令,则当时，，
∴函数在上递增，∵,，
∴存在唯一的零点，
且当时，，当时，，
则当时，，当时，.
∴在上递减，在上递增，从而.
由得，且，
∴，∴，∴，
即实数的取值范围为. ......12分