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- 2021-04-25 发布
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四川省雅安中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题
评卷人
得分
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A． 经过点的直线都可以用方程表示
B． 经过定点的直线都可以用方程表示
C． 经过任意两个不同点的直线都可用方程 表示
D． 不经过原点的直线都可以用方程表示
【答案】C
【解析】
【分析】
根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示、截距为零的直线不能用截距式表示，从而可得结果.
【详解】
因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项不正确；
故选C.
【点睛】
本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.
2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A． 若，则 B． 若,则
C． 若,则 D． 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
以正方体为模型逐个验证四个选项后可得正确的选项．
【详解】
如图，平面平面，平面，平面，但，故A错；
平面平面，平面，，但平面，故B错；
，平面，平面，但平面平面，
故C错；
对于D，因为，，所以，而，所以．
综上，选D．
【点睛】
本题考查立体几何中的点、线、面的位置关系，具有一定的综合性．解决这类问题，可选择一些常见的几何模型，在模型中寻找符合条件的位置关系或反例．
3．已知直线平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．
【详解】
当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；
当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；
当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，
∵两条直线平行，∴，≠，解得m=﹣7．
综上可得：m=﹣7．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．
4．已知实数x，y满足x2+y2=1，则x+y的取值范围是（ ）
A． （-2，2） B． （-，2] C． D． （-2，+）
【答案】C
【解析】
【分析】
设,则，再求函数的取值范围.
【详解】
设,则，所以x+y的取值范围是
.
故答案为：C
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
5．已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令直线的参数的系数等于零，求得定点的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得的最小值.
【详解】
直线，即，过定点，
点在直线上，，
，
故当时，取得最小值为，故选B.
【点睛】
本题主要考查直线经过定点问題，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题.
6．若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设直线的的方程，由题意得，由此求得结果，得到答案.
【详解】
由圆的方程，可知圆心坐标为，半径为，
设直线的的方程，
由题意知，圆上恰由3个点到直线的距离等于1，
可得圆心到直线的距离等于1，即，解得.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解答是要注意直线与圆的位置关系的合理应用，同时注意数形结合法在直线与圆问题的中应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．已知直线l：y＝x＋m与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是( )
A． ［－1,) B． (－，－1］ C． [1，) D． (－，1］
【答案】B
【解析】
【分析】
由曲线表示一个半圆，直线表示平行于的直线，作出图象，利用数形结合思想，即可求解.
【详解】
根据题意，可得曲线表示一个半圆，直线表示平行于的直线，
其中表示在轴上的截距，
作出图象，如图所示，
从图中可知之间的平行线与圆有两个交点，在轴上的截距分别为，
所以实数的取值范围是，故选B.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中作出曲线的图象和明确直线表示平行于的直线，其中表示在轴上的截距，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用，属于中档试题.
8．圆与直线l相切于点，则直线l的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆x2+y2+4x+2=0与直线l相切于点A（-3，-1），得到直线l过（-3，-1）且与过这一点的半径垂直，做出过这一点的半径的斜率，再做出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程．
【详解】
∵圆x2+y2+4x+2=0与直线l相切于点A（-3，-1），
∴直线l过（-3，-1）且与过这一点的半径垂直，圆心为
∵过（-3，-1）的半径的斜率是，
∴直线l的斜率是﹣1，
∴直线l的方程是y+1=﹣（x+3）
即x+y+4=0
故选：B．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，本题解题的关键是根据圆的切线具有的性质，做出圆的切线的斜率，本题是一个基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。
9．为顶点的正四面体的底面积为，为的中点，则与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
取SA的中点E,连接DE,则DE和BD所成的角或补角就是与所成角，再利用余弦定理求,即得与所成角的余弦值.
【详解】
取SA的中点E,连接DE,则AC||DE,
所以DE和BD所成的角或补角就是与所成角，
设正四面体的边长为a,则
.
所以与所成角的余弦值为.
故答案为：C
【点睛】
(1)本题主要考查异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.
10．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）
A． B． C． D． 3
【答案】B
【解析】
【分析】
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，不难得到输出结果．
【详解】
模拟程序的运行，可得
x=8，y=3
不满足条件|y-x|＜3，执行循环体，x=3，y=，
满足条件|y-x|＜3，退出循环，输出y的值为．
故选B.．
【点睛】
本题考查根据框图计算，属基础题．
11．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上， 平面， 是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由球体积知球半径为，设的外心为，由正弦定理得，由得，设的中点为，则平面，连接，则为直线与平面所成的角， ， ， ，故选A.
12．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意曲线为圆，，且表示曲线上的点到点的距离的平方，结合圆的特征可得点，由此可得
，于是，故，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值．
【详解】
曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，
可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，
所以直线的方程为，
由，解得或（舍去），
∴当时，取得最大值，且，
∴，
∴，
∴，
当且仅当，且，即时等号成立．
故选A．
【点睛】
（1）解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用，如本题中将
转化为两点间距离的平方，圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该点的距离加上半径等．
（2）利用基本不等式求最值时，若不等式不满足定值的形式，则需要通过“拼凑”的方式，将不等式转化为适合利用基本不等式的形式，然后再根据不等式求出最值．
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
13．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于yoz面对称的点的坐标为____________.
【答案】(-1，2，3)
【解析】
【分析】
在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于平面yoz对称的点坐标是（-x，y，z）．
【详解】
在空间直角坐标系中，
点（1，2，3）关于平面xoy对称的点坐标是（-1，2，3）．
故答案为：（-1，2，3）．
【点睛】
本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．
14．已知直线：和：垂直，则实数的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
对a分类讨论，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
【详解】
a=1时，两条直线不垂直，舍去．
a≠1时，由﹣×=﹣1，解得a=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分类讨论、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
15．若为圆的弦的中点，则直线的方程是__________________.
【答案】
【解析】设圆心为C，则C(1，0)，由圆的性质有 ，而直线PC的斜率 ，因为 ，所以直线AB的斜率为1，又直线AB过点 ，所以直线AB的方程为 ，即 .
16．若动点在直线上，动点Q在直线上，记线段的中点为
，且，则的取值范围为 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意判断出点M的轨迹，利用点到直线的距离公式求得最小值，进而联立直线和圆的方程求得点B的坐标，即可求得最大值，得到答案.
【详解】
因为动点在直线上，动点Q在直线上，
直线与直线狐仙平行，
动点在直线上，动点在直线上，
所以的中点在与平行，且到的距离相等的直线上，
设该直线为，其方程为，
因为线段的中点为，且，
点在圆的内部或在圆上，
设直线角圆于，可得点在线段上运动，
因为表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，
所以原点到直线的距离的平方为最小，
所以的最小值为，为最大，
联立 ，解得，
当与重合时，的最大值为，即的最大值为，
所以的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的方程的综合应用，同时解答中涉及到直线的方程，圆的方程和点到直线的距离公式等基础知识的综合运用，着重考查了函数与方程思想，以及转化的数学思想的应用，试题有一定难度，属于中档试题.
评卷人
得分
三、解答题
17．设直线的方程为.
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
（2）若不经过第二象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）．
【解析】
试题分析：（1）根据直线截距的概念，分别令和，即可求解直线在坐标轴上的截距；（2）由不经过第二象限，列出不等式组，即可求解实数的取值范围.
试题解析：（1），
当时，，…………………………………………2分
当时，，…………………………………………3分
由题意可知，
∴，∴，或，…………………………5分
∴的方程为，或.…………………………………………6分
（2）∵不经过第二象限，
∴，∴.……………………………………12分
考点：直线方程.
18．已知两圆x2+y2﹣2x+10y﹣24=0和 x2+y2+2x+2y﹣8=0
（1）判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程及公共弦的长
【答案】（1）见解析； （2）x﹣2y+4=0； .
【解析】
【分析】
(1)先求出|C1C2|=，再判断两圆的位置关系.(2)把两圆方程相减得到相交弦的直线方程，再利用弦长公式求公共弦长.
【详解】
（1）将两圆化为标准方程，得C1：（x﹣1）2+（y+5）2=50，C2：（x+1）2+（y+1）2=10
∴圆C1的圆心为（1，﹣5），半径为r1=5；圆C2的圆心为（﹣1，﹣1），半径为r2=。
又∵|C1C2|=，
可得 r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2，
∴两圆相交。
（2）将两圆的方程相减，得4x﹣8y+16=0，化简得：x﹣2y+4=0，
∴公共弦所在直线的方程是x﹣2y+4=0．
由（2）知圆C1的圆心（1，﹣5）到直线x﹣2y+4=0的距离，
由此可得，公共弦的长。
【点睛】
本题主要考查两圆的位置关系,考查直线和圆的位置关系,考查弦长计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
19．如图所示，在四棱锥中，平面，，，.
（1）求证：；
（2）当几何体的体积等于时，求四棱锥的侧面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连结BD，取CD的中点F，连结BF，证明BC⊥BD，BC⊥DE，即可证明BC⊥平面
BDE，推出BC⊥BE．（2）利用体积求出DE=2，然后求解EA，通过就是BE2=AB2+AE2，
证明AB⊥AE，然后求解四棱锥E﹣ABCD的侧面积．
【详解】
（1）连结BD，取CD的中点F，连结BF，则直角梯形ABCD中，BF⊥CD，BF=CF=DF，
∴∠CBD=90°即：BC⊥BD
∵DE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴BC⊥DE
又BD∩DE=D∴BC⊥平面BDE
由BE⊂平面BDE得：BC⊥BE
（2）∵，
∴DE=2
∴，，
又AB=2，∴BE2=AB2+AE2
∴AB⊥AE
∴四棱锥E﹣ABCD的侧面积为
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积以及侧面积的求法，考查空间想
象能力以及计算能力．
20．已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在直线x+y﹣2=0上．
（1）求圆M的方程．
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．
【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）2．
【解析】试题分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；
（2）四边形PAMB的面积为S＝2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．
试题解析：
(1) 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根据题意得
解得a＝b＝1，r＝2.
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2) 由题知，四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.
又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，
所以S＝2|PA′|.
而|PA′|＝.
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝，
所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2＝2＝2.
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．
（1）求证：AC⊥DE；
（2）若E为PB的中点，且二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，求EC与平面PAB所成角θ的正弦值．
【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】
【分析】
（1）先求证AC⊥平面PBD，再证AC⊥DE.(2)先证明 EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求出EC与平面PAB所成角的正弦值.
【详解】
（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，
因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，
又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，
因为DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE．
（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，
所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），
E（0，0，），P（0，﹣，t）．
设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），
则 ，令，得，
平面PBD的法向量（1，0，0），
因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，
所以 ，
所以或（舍），
则
∴，
∴EC与平面PAB所成角的正弦值为．
【点睛】
(1)本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。（2）直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）
，其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.
22．已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于不重合的A、B两点，O是坐标原点，且三点A、B、O构成三角形．
（1）求k的取值范围；
（2）三角形ABO的面积为S，试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；
（3）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．
【答案】（1）且；（2）（且）；
（3）S的最大值为2，取得最大值时.
【解析】
【分析】
（1）解不等式(2)先求出dOM=和|AB|，再将S
表示成k的函数，并求出它的定义域.(3) 设k2+1=t（t≥1），则
,再利用二次函数的图像和性质求函数的最大值和k的值.
【详解】
（1）由题意，dOM= ，
∵三点A、B、O构成三角形，
∴，
∴﹣1＜k＜1且k≠0.
（2）直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0，
∴dOM=，
∴|AB|=，
∴S=dOM=••= （且）；
（3）设k2+1=t（t≥1），则 ，
∴，即t=时，， ，
∴S的最大值为2，取得最大值时．
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角形面积的计算和最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.