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- 2021-04-25 发布
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江西省临川第一中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（文)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知复数在复平面上对应的点分别为A（1，2）、B（﹣1，3），则的虚部为（ ）
A．1 B． i C．i D．
【答案】D
【解析】
【分析】
点的坐标得到复数z1，z2，代入后由复数代数形式的除法运算化简求值即可得到的虚部．
【详解】
解：由复数在复平面上对应的点分别是A（1，2），B（﹣1，3），
得：＝1+2i，＝﹣1+3i
则．
的虚部为
故选：D．
【点睛】
本题考查了复数代数形式的表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．
2．已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A．变量x，y之间呈现负相关关系
B．可以预测，当x＝20时，y＝﹣3.7
C．m＝4
D．由表格数据可知，该回归直线必过点（9，4）
【答案】C
【解析】
由题意得，由，得变量，之间呈负相关，故A正确；当时，则，故B正确；由数据表格可知，，则，解得，故C错；由数据表易知，数据中心为，故D正确.故选C.
3．“三角函数是周期函数，是三角函数，所以是周期函数．”在以上演绎推理中，下列说法正确的是( )
A．推理完全正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．推理形式不正确
【答案】C
【解析】
【分析】
根据演绎推理的方法进行判断，首先根据判断大前提的正确与否，若正确则一步一步往下推，若错误，则无须往下推．
【详解】
∵对于y=tanx，而言，由于其定义域为，不符合周期函数的定义，它不是三角函数，
∴对于“三角函数是周期函数，y=tanx，是三角函数，所以y=tanx，是周期函数”这段推理中，大前提正确，小前提不正确，故结论不正确．但推理形式是三段论形式，是正确的．
故选：C．
【点睛】
此题考查演绎推理的基本方法，前提的正确与否，直接影响后面的结论，此题比较简单．
4．正项等差数列中的，是函数的极值点，则=( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
求函数的导数，由题意可得，是对应方程的实根，由韦达定理可得，的值，然后由等差数列的性质可得的值，代入化简即可．
【详解】
解：求导数可得f′（x）＝x2﹣8x+4，
由题意可得，是方程x2﹣8x+4＝0的实根，
由韦达定理可得+＝8，
由等差数列的性质可得2＝+＝8，
解得4，∴＝4
故选：C．
【点睛】
本题考查等差数列的性质和韦达定理，函数的极值点，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
5．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
试题分析：按程序框图，循环体执行时，
第五次后退出循环，输出，故选C．
考点：程序框图．
6．如果把的三边a，b，c的长度都增加m（m＞0），则得到的新三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
【答案】A
【解析】
【分析】
先设出原来的三边为a、b、c且c2＝a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+m、b+m、c+m，知c+m为最大边，可得所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，可得最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．
【详解】
解：设增加同样的长度为m，原三边长为a、b、c，且c2＝a2+b2，c为最大边；
新的三角形的三边长为a+m、b+m、c+m，知c+m为最大边，其对应角最大．
而（a+m）2+（b+m）2﹣（c+m）2＝m2+2（a+b﹣c）m＞0，
由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦0，则为锐角，
那么它为锐角三角形．
故选：A．
【点睛】
本题考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力，属于基础题．
7．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥4个侧面中，直角三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用题中所给的三视图，将该四棱锥放到长方体中，利用相关数据，得到长方体的长宽高，利用线面垂直得到直角三角形，最后一个利用勾股定理得到其为直角三角形，最后得到结果.
【详解】
由已知中的某四棱锥的三视图，可得该几何体的直观图如下图所示：
根据俯视图是等腰直角三角形，结合图中所给的数据，
可知所以对应的长方体的长宽高分别是，
其中三个可以通过线面垂直得到其为直角三角形，
右上方那个侧面可以利用勾股定理得到其为直角三角形，
所以四个侧面都是直角三角形，
故选D.
【点睛】
该题考查的是有关棱锥的侧面中直角三角形的个数问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，利用长方体研究棱锥，线面垂直的判定和性质，勾股定理证明垂直关系，属于中档题目.
8．已知命题；命题.若为假命题，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得p与q均为假命题，求出p与q均为假命题的a的范围，取交集得答案．
【详解】
∵为假命题，∴均为假命题，
若命题为假命题，则，即，解得；
若命题为假命题，则
∴实数的取值范围是
故选：A
【点睛】
本题考查复合命题的真假判断与应用，考查恒成立（存在性）问题的求解方法，是中档题．
9．已知抛物线,焦点为，点,直线过点与抛物线交于两点,若,则直线的斜率等于( )
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设AB方程y＝k（x﹣1），与抛物线方程y2＝4x联立，利用，建立k的方程，求出k，即可得出结论．
【详解】
设AB方程y＝k（x﹣1），设A（，），B（，）
y＝k（x﹣1）与y2＝4x联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0
可得＝1，+2，＝﹣4，
•0，即（+1，）•（+1，）＝0，
即
∴
索易k=2
故选：B
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数量积的坐标运算，正确运用韦达定理是解题的关键．
10．已知正数均小于2，若、、2能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形的三条边长的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由几何概型中的面积型，作图求面积即可得到它们能构成钝角三角形的三条边长的概率.
【详解】
解：由a、b、2能作为三角形的三条边长，且正数a、b小于2，则
记事件A为“它们能构成钝角三角形三条边长”，
则，
由古典概型中的面积型，
由图可得：P（A）1
故选：．
【点睛】
几何概型概率公式的应用：
（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；
（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
（3
）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.
11．已知双曲线中，左右顶点为，左焦点为，为虚轴的上端点，点在线段上（不含端点）,满足，且这样的P点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出直线的方程为bx﹣cy+bc＝0，利用直线与圆的位置关系，结合a＜b，即可求出双曲线离心率e的取值范围．
【详解】
解：由题意，（﹣c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx﹣cy+bc＝0，
∵在线段B上（不含端点）存在不同的两点P，
使得△PA1A2构成以线段为斜边的直角三角形，
∴a，
∴e4﹣3e2+1＜0，
∵e＞1，
∴e
∵在线段上（不含端点）有且仅有两个不同的点P，使得∠，
可得a＜b，
∴a2＜c2﹣a2，
∴e，
∴e．
故选：A．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
12．已知函数，若不等式恰有三个不同的整数，则的取值范围( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造新函数g（x）和h（x），研究函数g（x）的单调性与最值，数形结合可得a的范围．
【详解】
解：令g（x）＝（x﹣2）ex，h（x）＝a，
由题意知，存在3个正整数，使g（x）在直线h（x）的下方，
∵g′（x）＝（x﹣1）ex，
∴当x＞1时，g′（x）＞0，当x＜1时，g′（x）＜0，
∴g（x）min＝g（1）＝﹣e，
直线h（x）恒过点（﹣1，0），且斜率为a，
若不等式恰有三个不同的整数且，则三根为0，1,2
由题意可知：，
故实数a的取值范围是[，2），
故选：D．
【点睛】
本题考查导数的综合应用，及数形结合思想的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知函数，则___________
【答案】3
【解析】
【分析】
对函数求导，将x=代入即可得到答案.
【详解】
f’(x)=2cos2x+，
则
故答案为：3
【点睛】
本题考查导数公式的应用，考查计算能力.
14．已知向量，且，若实数均为正数，则最小值是______
【答案】16
【解析】
【分析】
根据向量的平行的得到3x+y＝1，再根据基本不等式即可求出答案．
【详解】
解：∵向量，且，
∴1×（1﹣y）＝3x，
∴3x+y＝1．
∴（）（3x+y）＝1010+216，当且仅当x
时取等号，
故的最小值是16，
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算与基本不等式的应用问题，是基础题目．
15．不难证明：一个边长为，面积为的正三角形的内切圆半径，由此类比到空间，若一个正四面体的一个面的面积为，体积为，则其内切球的半径为_____________．
【答案】
【解析】
由题意得，故．
将此方法类比到正四面体，设正四面体内切球的半径为，
则，
∴，即内切球的半径为．
答案：
点睛：类比推理应用的类型及相应方法
(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；
(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；
(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．
16．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______
【答案】e
【解析】
【分析】
设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围．
【详解】
解：设公切线与f（x）＝x2+1的图象切于点（，），
与曲线C：g（x）＝切于点（，），
∴2，
化简可得，2，
∴
∵2，
a，
设h（x）（x＞0），则h′（x），
∴h（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减，
∴h（x）max＝h（），
∴实数a的的最大值为e，
故答案为：e．
【点睛】
本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．
评卷人
得分
三、解答题
17．设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，已知曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线（为参数）与曲线交于， 两点，求的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接把极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）利用点到直线的距离公式，进一步利用垂径定理求出结果．
【详解】
（1）曲线的极坐标方程为，即.
∴曲线的直角坐标方程为.
（2）设直线（为参数）的直角坐标方程为.
，配方为，可得圆心，半径
∴圆心到直线的距离 ∴
【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用，垂径定理的应用．
18．南昌市在2018年召开了全球VR产业大会，为了增强对青少年VR知识的普及，某中学举行了一次普及VR知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了50人，女生中随机抽取了70人参加VR知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如左的列联表：
优秀
非优秀
总计
男生
a
35
50
女生
30
d
70
总计
45
75
120
（1）确定a,d的值；
（2）试判断能否有90%的把握认为VR知识测试成绩优秀与否与性别有关；
（3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传普及小组．从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求“到校外宣传的2名同学中至少有1名是男生”的概率.
附：
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）；（2）没有；（3）
【解析】
【分析】
（1）结合题表信息，即可计算a,d，即可。（2）结合，代入数据，计算，判定，即可。（3）计算概率，可以从反面进行进展，计算总数，计算2人全部都是女生的总数，计算概率，即可。
【详解】
（1），解得
（2）结合卡方计算方法可知n=120，得到而要使得概率为则90%,，不满足条件，故没有。
（3）结合a=15，结合分层抽样原理，抽取6人，则男生中抽取2人，女生抽取4人，则从6人中抽取2人，一共有，如果2人全部都是女生，则有，故概率为
.
【点睛】
本道题考查了古典概率计算方法，考查了计算方法，考查了列联表，难度中等。
19．如图，在三棱锥中，，，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）已知为棱上一点，若，求线段的长.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）取AC中点O，连结PO，BO，则PO＝BO＝1，且BO⊥AC，从而PO⊥BO，进而BO⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC；
（2）由D为棱PC上一点，四面体ABCD的体积为，过D作DE⊥AC，交AC于E，能求出点D到平面ABC的距离为DE，从而CE，进而AE＝2．由此能求出线段AD的长．
【详解】
（1）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，AB⊥BC，AB＝BC，PB＝，AC＝2，∠PAC＝30°．
取AC中点O，连结PO，BO，则PO＝BO＝1，且BO⊥AC，∴PO2+BO2＝PB2，∴PO⊥BO，
∵PO∩AC＝O，∴BO⊥平面PAC，∵BO⊂平面ABC，∴平面SAC⊥平面ABC．
（2）D为棱PC上一点，四面体ABCD的体积为，
＝1，
过D作DE⊥AC，交AC于E，则点D到平面ABC的距离为DE＝h，
则VABCD＝＝＝，
解得DE＝h＝，∴CE＝＝，∴AE＝2﹣＝．
∴线段AD的长为：AD＝＝＝．
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20．已知数列 满足 ，且 .
（1）求数列的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）（2）当 为偶数时， ，当 为奇数时， .
【解析】
试题分析：
(1)利用题意累加可得数列的通项公式为;
(2)结合(1)的结论对数列的通项公式进行裂项求和，分类讨论可得当 为偶数时， ，当 为奇数时， .
试题解析：
解：(1)由于
.
(2)由 ，可得
，
当 为偶数时，
，
当 为奇数时，
.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
21．已知椭圆的焦距为，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）A是椭圆与y轴正半轴的交点，椭圆上是否存在两点M，N，使得△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个，并求出直线MN；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，有3个．
【解析】
试题分析：先用待定系数法求出椭圆方程，因为，直角边AM，AN不可能垂直或平行于轴，设的斜率为，则的斜率为，写出的直线方程，分别与椭圆方程联立，解出点的坐标，同理把，写出点的坐标，求出，由，列出方程求出值.
试题解析：(Ⅰ)由题解得，．所以椭圆Ω的方程为．
(Ⅱ)由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于
轴，故可设AM所在直线的方程为，不妨设，则直线AM所在的方程为．
联立方程消去整理得，解得，将代入可得，故点 .
所以．
同理可得，由，得，
所以，则，解得或．
当AM斜率时，AN斜率；当AM斜率时，AN斜率；当AM斜率时，AN斜率．
综上所述，符合条件的三角形有个.
考点：1.求椭圆方程；2.设而不求思想；3.灵活运用方程组和一元二次方程的根及根与系数关系；4.存在性命题的解法；
22．已知函数，
（1）若，求的单调区间和极值；
（2）设，且有两个极值点， ，若，求的最小值.
【答案】（1）在单调递增，在单调递减; 极小值；（2）
【解析】
【分析】
（1）求出f（x）的导数，解不等式，即可得到函数的单调区间，进而得到函数的极值；
（2）由题意可得，，求出的表达式，，求出h（t）的最小值即可．
【详解】
（1）将代入中，得到，求导，
得到，结合，
当得到： 在单调递增，当，得到在单调递减，
且在时有极小值，
（2）将解析式代入，得，求导
得到，
令,得到,
，，
，
，
，
，
，
因为，所以设,令，
则所以在单调递减,又因为
所以,所以 或
又因为，所以 所以,
所以的最小值为
【点睛】
本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数的极值的意义，考查转化思想与减元意识，是一道综合题．