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- 2021-04-25 发布
南京市2017～2018学年度第一学期期中考试
高三数学
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1. 已知集合A＝{2，3，5}，B＝{x|2≤x≤4}，则A∩B＝________.
2. 若复数z满足z(1－i)＝2i，其中i是虚数单位，则复数z＝________.
3. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为奇数的概率是________________________________________________________________________.
4. 某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，则该校高三学生共有________人.
5. 下面是一个算法的伪代码．如果输出的y值是30，那么输入的x值是________.
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6的值为________．
7. 若曲线y＝在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则实数a的值为________.
8. 已知函数f(x)＝sin，x∈R，若f(x)在区间上的最大值和最小值分别为a，b，则a＋b的值为________．
9. 已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x，那么f(6)的值为________.
10. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________.
11. 已知a>b>0，a＋b＝1，则＋的最小值等于________.
12. 在△ABC中，已知AB＝4，AC＝，BC＝，M为边AB的中点，P是△ABC内(包括边界)一点，则·的最小值是________.
13. 设函数y＝的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是______________．(e为自然对数的底数)
14. 在平面直角坐标系中，已知⊙O1与⊙O2交于P(3，2)，Q两点，两圆半径之积为.若两圆均与直线l：y＝kx和x轴相切，则直线l的方程为________.
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(－1，1)，c＝(1，1)，其中x∈[0，π]．
(1) 若(a＋b)∥c，求实数x的值；
(2) 若a·b＝，求函数sin的值.
16. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点.
(1) 若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；
(2) 若AB＝PC，求证：CG⊥平面PBD.
17. (本小题满分14分)
如图，把一块边长为30cm的正六边形铁皮剪去阴影部分，制成一个正六棱柱形的无盖容器．设容器的底面边长为xcm，棱柱的高为hcm，容积为Vcm3.
(1) 求出V关于x的函数关系式V(x)；
(2) 当容器的底面边长为多大时，无盖容器的容积最大？最大是多少？
18. (本小题满分16分)
已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，椭圆C的离心率为e.
(1) 若点A的坐标为，求椭圆C的方程；
(2) 记AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上.
①证明·为定值；
②设直线AB的斜率为k，若k≥，求e的取值范围.
19. (本小题满分16分)
设函数f(x)＝x3－ax，a∈R，g(x)＝xex，h(x)＝(e为自然对数的底数)．
(1) 当a>0时，求函数f(x)的极值；
(2) 若函数h(x)的最小值为－，求实数a的取值范围；
(3) 当h(x)＝g(x)时，求实数a的值.
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ax－3，g(x)＝bx－1＋cx－2(a，b，c是实数)且g－g(1)＝f(0)．
(1) 试求b，c所满足的关系式；
(2) 若b＝0，方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)有唯一解，求实数a的取值范围；
(3) 若b＝1，集合A＝{x|f(x)>g(x)且g(x)<0}，试求集合A.
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____________ 号学 ____________ 名姓 ____________ 级班 ____________ 校学
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南京市2017～2018学年度第一学期期中考试
数学附加题21. 【限选题】共2小题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B. 选修42：矩阵与变换
若点A(2，1)在矩阵M＝对应变换的作用下得到点B(4，5)，求矩阵M的逆矩阵M－1.
C. 选修44：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是(t是参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，选取相同的单位长度，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22. (本小题满分10分)
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AA1＝AC＝4.
(1) 求二面角A1BC1B1的正弦值；
(2) 在线段BC1上是否存在点D，使得AD⊥A1B？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
23. (本小题满分10分)
如图，已知正六棱锥PABCDEF的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积.
(1) 求概率P(X＝)的值；
(2) 求X的分布.
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南京市2017～2018学年度第一学期期中考试
数学参考答案
1. {2，3} 2. －1－i 3. 4. 600 5. 2或5 6. 12 7. －2 8. －1 9. －4 10. －
11. 9 12. －4 13. 14. y＝2x
15. (1) a＋b＝(sinx－1，cosx＋1)．
因为(a＋b)∥c，所以sinx－1＝cos x＋1，
则sinx－cosx＝2，
可得2＝2，
故sin＝1.
因为x∈[0，π]，所以x－∈，
故x－＝，解得x＝.
(2) 因为a·b＝，所以－sinx＋cosx＝，即sinx－cosx＝－，
可得2＝－，
故sin＝－.
因为－＝，
所以sin＝sin＝cos.
由x∈[0，π]，可得x－∈，
又sin＝－<0，则x－∈，故可得cos>0.
因为sin2＋cos2＝1，
所以cos＝＝.
16. (1) 如图，连结OE.
由四边形ABCD是正方形知O为BD的中点．
因为PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，
所以PD∥OE.
在△PBD中，PD∥DE，O为BD为中点，
所以E为PB的中点．
(2) 在四棱锥PABCD中，AB＝PC，
因为四边形ABCD是正方形，
所以AC＝AB＝2OC，则AB＝OC，
所以PC＝OC.
在△CPO中，PC＝OC，G为PO的中点，
所以CG⊥PO.
因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
所以PC⊥BD.
因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
因为AC，PC⊂平面PAC，AC∩PC＝C，
所以BD⊥平面PAC，
因为CG⊂平面PAC，所以BD⊥CG.
因为PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，
所以CG⊥平面PBD.
17. (1) 由题意可知A1B1＝CD＝x，CA1＝DB1＝h，
则AC＝(AB－x)＝(30－x)，
h＝AC·tan60°＝(30－x)，
故V(x)＝Sh＝6××(30－x)＝x2(30－x)，00；当x∈(20，30)时，V′(x)>0，
所以V(x)在(0，20)单调递增，在(20，30)单调递减，
所以当且仅当x＝20时，V(x)取得最大值9 000.
答：当容器的底面边长为20cm时，容器的容积最大，最大容积为9 000 cm3.
18. (1) 由题意知＋＝1，即＝，
所以3a4－16a2＋16＝0，解得a2＝4或a2＝.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1或＋y2＝1.
(2) 设F2(c，0)，A(x1，y1)，则F1(－c，0)，B(－x1，－y1)，
故M，N.
①由题意，得·＝0.化简，得x＋y＝c2，
·＝(－c－x1，－y1)·(c－x1，－y1)＝x＋y－c2＝0(定值)．
②由题意得到k2(a4－2a2)＝1.
因为k≥，所以a4－2a2＝∈(0，3]，
即00时，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(－∞，
－)
－
(－，
)
(，
＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以当x＝－时，f(x)取极大值f(－)＝＝，
当x＝时，f(x)取极小值f＝－＝－.
(2) g′(x)＝(x＋1)ex.
当x>－1时，g′(x)>0；当x<－1时，g′(x)<0，
所以函数g(x)在区间(－∞，－1)上是单调减函数，在区间(－1，＋∞)上是单调增函数，
所以g(x)min＝g(－1)＝－.
因为函数h(x)的最小值为－，
所以x＝－1是不等式f(x)≤g(x)的解，
所以－1＋a≤－，即a≤1－.
故实数a的取值范围是.
(3) 因为h(x)＝g(x)，所以g(x)≥f(x)恒成立，即xex≥x3－ax对一切x∈R恒成立．
令p(x)＝x2－ex，即p′＝2x－ex，p″(x)＝2－ex，
当x>ln 2，p″(x)<0；当x0，
所以p′(x)max＝2ln 2－2<0，
所以p(x)＝x2－ex在R上单调递减．
xex≥x3－ax对一切x∈R恒成立等价于
①当x>0时，问题转化为a≥p(x)在R上恒成立；
②当x＝0时，不等式恒成立，则a∈R；
③当x<0时，问题转化为a≤p(x)在R上恒成立．
因为p(x)＝x2－ex是R上的单调减函数，
所以当x>0时，p(x)p(0)＝－1，所以a≤－1.
综上所述，a＝－1.
20. (1) 由g－g(1)＝f(0)，得(－2b＋4c)－(b＋c)＝－3，
故b、c所满足的关系式为b－c－1＝0.
(2) 方法一：由b＝0，b－c－1＝0，可得c＝－1.
方程f(x)＝g(x)，即ax－3＝－x－2，可转化为ax3－3x2＋1＝0在(0，＋∞)上有唯一解．
令h(x)＝ax3－3x2＋1，则h′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
当a≤0时，h′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又h(0)＝1>0，h(1)＝a－2<0，h(x)在(0，＋∞)上连续，由零点存性定理，知h(x)在(0，1)内存在唯一零点，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；
当a>0时，令h′(x)＝0，得x＝0或x＝，
所以h(x)在上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h＝1－.
若h＝0，即a＝2，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)≥0，当且仅当x＝时，h(x)＝0，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；
若h>0，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上不存在零点；
若h<0，因为h(0)＝1>0，h＝1>0，
所以h(x)在和内各有一个零点，即函数h(x)的零点不唯一．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0)∪{2}．
方法二：由方法一可知a＝3x－1－x－3.
令x－1＝t，则由题意可得a＝3t－t3在(0，＋∞)上有唯一解．
令h(t)＝3t－t3(t>0)，则由h′(t)＝3－3t2＝0，可得t＝1，
当00，可知h(t)在(0，1)上是单调增函数；
当t>1时，由h′(t)<0，可知h(t)是在(1，＋∞)上是单调减函数，
故当t＝1时，h(t)取得最大值2；
当0h(0)＝0，
所以f(x)＝g(x)在(0，1)无解；
当t>1时，因为h()＝0，所以当t>时，h(t)<0，
由零点存在性定理可知h(t)在(1，＋∞)只有一个零点．
故当a＝2或a≤0时，方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)有唯一解．
从而所求a的取值范围是{a|a＝2或a≤0}．
(3) 由b＝1，b－c－1＝0，可得c＝0.
由A＝{x|f(x)>g(x)且g(x)<0}得
ax－3>且x<0，即ax2－3x－1<0且x<0.
当a>0时，A＝；
当a＝0时，A＝；
当a<－时，A＝(－∞，0)；
当－≤a<0时，A＝(－∞，)∪(，0)．
数学附加题
21. B. 由题意知M＝，则＝，
所以解得
所以M＝.
由|M|＝＝－7得M－1＝.
C. 因为ρ＝cos θ－sin θ，
即ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，
所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－x＋y＝0，即＋＝1，
所以圆心的直角坐标为.
因为直线的普通方程为x－y＋4＝0，
所以圆心C到直线l距离是＝5，
故直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是＝2.
22. (1) 如图，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)．
设平面A1BC1的法向量为n1＝(x，y，z)，
则即
取z＝3，则x＝0，y＝4，
所以平面A1BC1的一个法向量为n1＝(0，4，3)．
同理可得平面BB1C1的一个法向量为n2＝(3，4，0)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
因为〈n1，n2〉∈[0，π]，
所以二面角A1BC1B1的正弦值为.
(2) 假设存在．
设D(x，y，z)是线段BC1上一点，且＝λ，0≤λ≤1，则(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)，
所以x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ，
所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．
因为AD⊥A1B，所以·＝0，
即9－25λ＝0，解得λ＝.
因为∈[0，1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，此时＝λ＝.
23. (1) 从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，
共有C＝35(种)取法．
其中X＝的三角形如△ABF，这类三角形共有6个，
所以P(X＝)＝.
(2)由题意，X的可能取值为，2，，2，3.
其中X＝的三角形如△ABF，这类三角形共有6个；
其中X＝2的三角形有两类，如△PAD(3个)，△PAB(6个)，共有9个；
其中X＝的三角形如△PBD，这类三角形共有6个；
其中X＝2的三角形如△CDF，这类三角形共有12个；
其中X＝3的三角形如△BDF，这类三角形共有2个，
因此P(X＝)＝，P(X＝2)＝，P(X＝)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.
所以随机变量X的概率分布列为
X
2
2
3
P